第7章多元函数积分学11-16(7.2.3 Green格林公式及其应用)-郑

解1
代入法,

xdy
AB
0
r
cos
td
(r
sin
t
)

r
2
2
0 2
cos2
tdt



4
r
2
解 2 引入辅助曲线L,
y
A
L OA AB BO
P 0, Q x P 0, Q 1
y x
D
o
Q P 1 应用 Green 公式, 有 x y

D
(Q x

P y
)dxdy


D1 D2 D3
(Q x

P y
)dxdy
D2 L2
D L

D1
(
Q x

P y
)dxdy


D2
(
Q x

P y
)dxdy


D3
(
Q x

P y
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)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
例2.求
cos(l ,
n)ds,
其中l为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量
(简化曲线积分)
例13 利用格林公式计算曲线积分 L (2x y 4)dx (3x 5y 6)dy
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
d
2 .
注意:
若计算I


L
(
x
? dx a)2

? dy (y
b)2 ,如何选择辅助曲线l ?
若计算I

? dx

L
x2
? dy,如何选择辅助曲线l ? y2
4
(4) 简化二重积分计算
例例67. 计算 e y2dxdy,其中D是以
D
O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭区域.
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知

D
(
Q x
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.2 曲线曲面积分
7.2.3 Green公式及其应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.2 曲线曲面积分
格林简介
Green
区域的连通性
格林(Green)公式 格林(Green)公式
应用习例1-2 应用习例3-4
Green公式的应用 应用习例5
应用习例6
求平面区域的面积

D
(
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
等价于证明

D
Q x
dxdy

L
Qdy


D
P y
dxdy

LPdx
y型区域
x型区域
证明依赖于区域的形状
既 x 又 y型 单连通
一般区域
复连通
思路:公式两边化为同一定积分. 从简单情形出发.
证明(1)
若区域 D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L 至
公
式
曲线积分与路径无关的定义
及
曲线积分与路径无关的条件
其 曲线积分与路径无关 应用习例7-9
应
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
用
应用习例10-12
二元函数的全微分 应用习例13-15
小结
一、格林公式及其应用
格林（Green）公式：平面区域的二重积分与 沿此区域的第二类曲线积分的关系。
意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推 广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重 要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件， 在积分理论的发展中起了重要的作用。
(3)应用Green公式条件缺一不可.
3、格林公式的简单应用 (1)直接用 ：当L是封闭曲线时，应用格林公式简化 曲线积分
注意：还应满足用格林公式的条件
例13 利用格林公式计算曲线积分 L (2x y 4)dx (3x 5y 6)dy
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
1、区域连通性
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
(不含有“洞”或“点洞”()含有“洞”或“点洞”)
注：D的边界曲线L的正方向? 负方向
当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边.
o
同理可证
P


D
y
dxdy

L
P
(
x,
y)dx
E DB
C
x 2( y)
x
两式相加得

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
cos(l ,
n)ds,
其中l 为任一给定方向,
n为闭合
C
曲线C的切向量
解： 设l的方向余弦为(cos a, cos b)(常数),
n的方向余弦为(cos , cos ),
则cos(l, n) (cos a, cos b) (cos , cos ),


cos(l ,
B
使L AB BO封闭,利用格林公式,有

(Q P )dxdy 0
AB BO L
L ABBO
D x y
AB BO OB BA L
又 (x2 y)dx (x sin2 y)dy OB
解2：令 P

y x2 y2
,
Q

x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x

(
y2 x2 x2 y2)2
P .
y
(0,0) D
不符合Green公式的条件,但是可以先将曲线方程 代入被积表达式的分母，化简后可用格林公式.
xdy ydx

L
xdy x2

P y
)dxdy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
D
D
2、Green公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有

L
Pdx

Qdy


D
(
Q x

P y
)dxdy,
( Green公式 )
或
(P cos
L

Q
cos

)ds


D
(
Q x

P y
)dxdy.
分析：待证表达式
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x) b x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
P .
y
记L所围成的闭区域为D ,
y L
D
y L
D
o
x
o
x
(1) 当(0, 0) D时,
符合Green公式的条件.
y L
D
L
xdy x2

ydx y2

D 0dxdy

0.
o
x
(2) 当(0,0) D时,
y
L
作位于D 内的足够小圆周l : x2 y2 r 2 ,

sin 4
2
7 sin 2
L
AB BO OB BA
6
4
三 格林公式的简单应用
（3）不能用：
方法一：简化被积函数后再用
方法二：在D内有使P，Q不连续的点存在，不能
直接用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖
去不连续点，再用格林公式。
例5 计算 xdy ydx,其中 L: x2 y2 a2 ,L 的方向为逆
1(x2 0)dx (x sin2 0) 0 1 x2dx 1
0
0
3
又 (x2 y)dx (x sin2 y)dy BA

1
(1
sin 2
y)dy

1
11 cos 2 y dy
0
02


3 2

sin 2 4
y
|10


3 2
n)ds


(cosa

cos

cosb
cos

)ds
C
C
Green公 式
cosadx cosbdy 0dxdy 0.
C
D
(2) 间接用：当L不是封闭曲线时，但
Q P k(或形式较简单) x y
可添加辅助曲线使之封闭，再用Green公式简化计算。
解: P(x, y) 2x y 4, Q(x, y) 3x 5y 6
P 1, Q 3
y
x
B
利用格林公式, 有
L (2x y 4)dx (3x 5y 6)dy
O
A


D
(
Q x

P y
)dxdy


D
4dxdy

12
例2.求
记D1由 L 和 l 所围成,
在D1上符合Green公式的条件.
lD
or
x
原式

L l
xdy x2

ydx y2

l
xdy x2

ydx y2

D
0dxdy

l
xdy x2

ydx y2

xdy
l x2
ydx y2

2r 2
0
cos2

r2
r2
sin2
L : y 2x x2上由点O(0，0)到点A(1,1)的一段弧。
解 : P(x, y) x2 y, Q(x, y) x sin2 y
P 1, Q 1 Q P 0
A
y
x
x y
O
添加路径AB : x 1, y :1 0; BO : y 0, x :1 0
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x

d
c
Q(
2
(
y),
y)dy

d
c
Q(
1
(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
例3
例
5
计算 AB
xdy,其中曲线
AB是半径为r
的圆在第一象限部分.
例例46.I (x2 y)dx (x sin2 y)dy, L L : y 2x x2上由点O(0，0)到点A(1,1)的一段弧。
例35 计算AB xdy,其中曲线 AB是半径为r 的圆在第一象限部分.

ydx y2
分母代入L

L
a2
2.
例ex63.计算L
xdy x2

ydx ,其中 y2
L
为一条无重点,分段光滑
且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
解
令P

y x2 y2
,
Q

x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x

y2 x2 (x2 y2)2
L Bx
由于 OA
xdy

0,
BO xdy 0,
y
A
xdy xdy xdy xdy
D
AB
L
OA
BO
o L Bx
"格"

(Q P )dxdy
D x y
注意：L的方向为顺时 针方向，即L的反向



D
dxdy


1 4

r
2
.
例例46.I (x2 y)dx (x sin2 y)dy, L
*格林（Green）[英] 1793- 1841 物理学家，数学家,自学成才
英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到40岁， 父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。 但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。 他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。
L x2 y2
时针方向.
例ex63.计算 L
xdy x2

ydx ,其中 y2
L
为一条无重点,分段光滑
且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
例5 计算 xdy ydx,其中 L: x2 y2 a2 ,L 的方向为逆
L x2 y2
时针方向. 解1：代入法，见练习题
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重 积分之间的联系.
注意:格林公式的应用条件
L为封闭曲线（取正向）
Ｐ，Ｑ在L所围的区域Ｄ 内有一阶连续偏导数
注意:

(1)便于记忆形式: Pdx Qdy x
L
DP
y dxdy Q
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积 分符号前添“”号!