线性变换与二阶矩阵 复习课件 PPT
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高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教版选修4-2
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1 矩阵称为切变变换矩阵.以 0
k 把平面上的点(x, 1
y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位, 当 ky>0 时沿 x 轴正方向移动, 当 ky<0 时沿 x 轴负方向移动,当 ky=0 时原地不动.
【基础自测】
1 -1 对应的变换作用下得到的点的坐 1. 点 A(3, -6)在矩阵 1 0 2
a11 a21
a12 b11 b12 a22b21 b22 a11×b12+a12×b22 . a21×b12+a22×b22
a11×b11+a12×b21 = a ×b +a ×b 21 11 22 21
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律 即(AB)C=A(BC), AB≠BA, 由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数 相等时才能进行乘法运算.
a11 (2)二阶矩阵 a21 a11×x0+a12×y0 a ×x +a ×y . 21 0 22 0
x0 a11 a12 x0 a12 与列向量 和乘法规则: = a22 y0 a21 a22y0
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵, 其乘法法则如下:
1 M1= 0 1 0 ,M2= 0 1 0 0 ,M3= 0 0
0 确定的投影变换.需要注意 1
的是投影变换是映射,但不是一一映射. (6)由矩阵
1 M= 0
k 1 或 1 k
0 确定的变换称为切变变换,对应的 1
1 k 为例,矩阵 1 0
第 1节
线性变换与二阶矩阵
【知识梳理】 1.矩阵的相关概念 (1)由 4 个数
a a,b,c,d 排成的正方形数表 c
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
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������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
线性变换与二阶矩阵PPT课件
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二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵,它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念,它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵,则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种,如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下, 如行列式值为零时,矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵:平移矩阵也是二阶矩阵的一种,用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中,tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作:平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换,使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念,它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中,线性变换可以用一个矩阵来表示,该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质,例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合,矩阵的转置对应于线性变换的共轭, 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型,它由四个数字组成,可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量,可以将一个线性变换转换为二阶矩阵,反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的,即对于任意两个线性变换A和B,以及任 意标量k,有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换,可以改变向量的长度、方向和位置,从而实现二维空间中的几何变 换。
高三数学一轮复习第1课时二阶矩阵与变换课件文新人教A版选修
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- 1 于 y 轴对称对应的矩阵为 A= 0
0 1 0 A=_______ 1 .
0 ,关于 y= 1
x 对称对应的矩阵为
0 (3)伸缩变换对应的二阶矩阵 ,表示 k2 k1 倍,纵坐标 将每个点的横坐标变为原来的 ____ k2 倍,k1,k2 均为非零常数. 变为原来的____ (4)投影变换: 关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩 1 0 0 . 阵为 A=________ 0 (5)沿与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位的切变变
1 k 0 1 . 换为________
k 1 A= 0
3.线性变换的基本性质 λx x λy (1)设向量 α= ,则 λα=______. y x1+ x2 x x 1 2 y1+ y2 . (2)设向量 α= ,β= ,则 α+β=_______ y1 y2 (3)A 是一个二阶矩阵,α、β 是平面上的任意两 个向量,λ 是一个任意实数,则 A(λα)=_____ λAα , Aα+Aβ . A(α+β)=__________ (4) 二阶矩阵对应的变换 ( 线性变换 ) 把平面上的
2 且 MN= - 2
0 . 0 (1)求实数 a,b,c,d 的值; 用下的像的方程.
1 M= b
c a 2 , N = , 1 0 d
(2)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作
解析:
方法一:
c+ 0= 2, 2+ ad= 0, (1)由题设得 bc+ 0=- 2, 2b+ d= 0. a=-1, b=-1, 解得 c= 2, d= 2.
所以 a=1, c=0.
由
1 2 a+ b 2 M = 得, = ,所以 1 2 c+ d 2 1 M= 0 1 2 M = 0
0 1 0 A=_______ 1 .
0 ,关于 y= 1
x 对称对应的矩阵为
0 (3)伸缩变换对应的二阶矩阵 ,表示 k2 k1 倍,纵坐标 将每个点的横坐标变为原来的 ____ k2 倍,k1,k2 均为非零常数. 变为原来的____ (4)投影变换: 关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩 1 0 0 . 阵为 A=________ 0 (5)沿与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位的切变变
1 k 0 1 . 换为________
k 1 A= 0
3.线性变换的基本性质 λx x λy (1)设向量 α= ,则 λα=______. y x1+ x2 x x 1 2 y1+ y2 . (2)设向量 α= ,β= ,则 α+β=_______ y1 y2 (3)A 是一个二阶矩阵,α、β 是平面上的任意两 个向量,λ 是一个任意实数,则 A(λα)=_____ λAα , Aα+Aβ . A(α+β)=__________ (4) 二阶矩阵对应的变换 ( 线性变换 ) 把平面上的
2 且 MN= - 2
0 . 0 (1)求实数 a,b,c,d 的值; 用下的像的方程.
1 M= b
c a 2 , N = , 1 0 d
(2)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作
解析:
方法一:
c+ 0= 2, 2+ ad= 0, (1)由题设得 bc+ 0=- 2, 2b+ d= 0. a=-1, b=-1, 解得 c= 2, d= 2.
所以 a=1, c=0.
由
1 2 a+ b 2 M = 得, = ,所以 1 2 c+ d 2 1 M= 0 1 2 M = 0
高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件新人教A版选修4-2
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2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论:设W 1 V,W2 V,且都是子空间,则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间? 1. (1) 交空间
交集: W1W2={ W1 而且 W 2}Vn(F) W1W2是子空间,被称为“交空间”
(2)和空间
W1W2 W1+W2
和的集合:W1+W2={=X1+X2X1W1,X2W2}
内容: 线性空间的一般概念 重点:空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点:其中的矩阵处理方法
特点: 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。 研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点:具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上连续}
运算:函数的加法和数乘
•Example: V=R+,F=R, a b=ab, a=a
不是线性空间的集合
V={X=(x1,x2,1)T:xi R}
运算:向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间,定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点:
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合:作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素:组成集合的事物.
设S表示集合,a表示S的元素,记为a∈S 读为a属于S;用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示:(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此,要研究线性空间,只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.1.2 变换、矩
![高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.1.2 变换、矩](https://img.taocdn.com/s3/m/ba8df175b4daa58da1114a0d.png)
������ = 2������ + 1,
从而有 ������-������ = ������ + 1, ������ + ������ = -������,
������ = 2������ + 1,
解得
a=-1,b=-1,c=
1 5
,
������
=
−
25.
反思两个矩阵相等,它们相应位置的对应元素分别相等.
(二)变换、矩阵的相等
1.理解并掌握变换相等与二阶矩阵相等的概念. 2.会利用变换、矩阵的相等解决简单问题.
12
1.变换相等 一般地,设σ,ρ是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果对 平面内的任意一点P,都有σ(P)=ρ(P),则称这两个线性变换相等,简 记为σ=ρ. 知识拓展根据与α角终边相同的角为2kπ+α(k∈Z),它们的三角函 数值一定相等,可知旋转变换Rα一定与旋转变换R2kπ+α(k∈Z)相等, 即有Rα=R2kπ+α.
cos������
=
cos
π 12
,
sin������
=
sin
π 12
,
∴α=
π 12
+
2������π,
������∈Z.
题型一 题型二 题型三
反思对于两个相等的旋转变换 Rα 与 Rβ,其二阶矩阵
������������������α -������������������α
������������������β -������������������β
A.−
2π 3
B.
4π 3
C.
−
4π 3
D.
线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt
![线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/5b6571ddb8f67c1cfad6b8c1.png)
4.运用旋转矩阵,求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程.
解:旋转矩阵 直线2x+y-1=0上任意一点(x0,y0)旋转变换后为(x0′,y0′),
直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线
方程是
2x 2 y 2 x 2 y 1 0,
2
2
矩阵. 2.二阶矩阵与二元一次方程组 (1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意
义.
(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组. (3)理解线性方程组解的存在性、唯一性.
解线性 方程组, 如求逆 矩阵, 另外特 征值与
3.变换的不变量
特征向
(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义,理解特征向 量的求
量的意义.
解:(1)由题设条件, 变换:
即有 解得
代入曲线C的方程为y′2-x′2=2, 所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后,得到的曲线C′ 的方程是y2-x2=2. (2)由(1)知,只需求曲线y2-x2=2的焦点及渐近线,由于a2 =b2=2,故c=2,又焦点在y轴上,从而其焦点为(0,2),(0, -2),渐近线方程为y=±x.
1.旋转变换
直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋
转α角的旋转变换的坐标变换公式是
对应的二阶矩阵为
.
2.反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线 性变换叫做关于直线l的反射.
3.伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍,纵坐标变为原来的k2倍,其中k1,k2为非零常数, 这样的几何变换为伸缩变换.
解:(MN)α= M(Nα)= 所以(MN)α=M(Nα). 又因为MN=
NM=
高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.2 二阶矩阵与平面向量的乘法课件 新人教A版选修42
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=
5 14
,
3
������2 + 1
5
答案:2
1234 5
-2 3
4
1.矩阵 A=
与向量������ =
的乘积为( )
2 -4
-1
-10
14
A.
B.
16
-18
-11
12
4 5
ab 解析:矩阵与向量的乘积法则为
-2 3 所以Aα=
cd
4
-11
=
.
2 -4 -1
12
答案:C
x
y
y
123
名师点拨二阶矩阵与平面向量的乘法实现了用二阶矩阵和平面 向量的乘积表示线性变换的目的,可以用二阶矩阵求出平面内的任 意一点在线性变换作用下的像的坐标.
123
【做一做 3】
线性变换
������' = ������ + 2������, ������' = 3������ + 4������
ax + by
=
,
y
cx + dy
1234 5
10
2.曲线 y= ������(������≥0)在矩阵
0 -1 对应的变换作用下所得的曲线方程为( ) A.y= ������(������≥0) B.y=− ������(������≥0) C.y=x2(x≥0) D.y=-x2(x≥0)
1234 5
-1 × 3 + 4 × 2
5
Bα=
=
=
.
35 2
3×3+5×2
19
10
反思与单位矩阵
相乘,向量 α 保持不变.
2016_2017学年高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵1.1.1几类特殊线性变换及其二阶矩阵课件
![2016_2017学年高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵1.1.1几类特殊线性变换及其二阶矩阵课件](https://img.taocdn.com/s3/m/735e040210a6f524ccbf85cb.png)
称为二阶单位矩阵, 记为E2. 0 1
名师点拨1.矩阵通常用大写的英文字母A,B,C…表示. 2.零矩阵和单位矩阵是常用的两个矩阵.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做3】 在下列矩阵中,二阶单位矩阵是( 0 0 0 1 1 0 1 1
)
A. 0 0
B. 1 0
C. 0 1
D. 1 1
解析:由二阶单位矩阵的定义知,选C. 答案:C
1
2
3
4
5
6
7
8
名师点拨1.(x,y)为平面内任意一点的坐标,(x',y')是旋转后的相应 点的坐标. 2.α角可正可负,α为正角说明按逆时针方向旋转|α|,α为负角说明 是按顺时针方向旋转|α|. -1 0
3.特别地,当 α=180° 时,对应的二阶矩阵为 0 -1
.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做 4】 在直角坐标系 xOy 内,将点 P(-1,3)绕原点按逆时 针方向旋转
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型六
解析:方法一:∵AA'与直线 y=kx 垂直, 又 kAA'= 18 = −2, ∴ ������ = .
5
-5-3
1
-2
1 2
方法二:AA'的中点应在直线 y=kx 上, 又 AA'的中点坐标(x,y)满足 代入 y=kx,得 k= 答案:B
反思只要明确了点A、点A'与直线y=kx的关系,此类题可灵活求 解,在点A、点A'及直线l中可知二求一.
0
1
1.1线性变换与二阶矩阵课件人教新课标2
![1.1线性变换与二阶矩阵课件人教新课标2](https://img.taocdn.com/s3/m/900c188818e8b8f67c1cfad6195f312b3169ebbf.png)
o
p' x
例3 如图,在直角坐标系xoy内,过任意一点P作x轴的垂线,垂足为点P',
我们称点P'为点P在x轴上的(正)投影.如果一个变换把直角坐标系内的每
一点变成它在x轴上的(正)投影,那么称这个变换为关于x轴的(正)
投影变换.
设在关于 x轴的(正)投影变换的 作用下,点 P(x, y)变成点P(' x', y'),
例2 在直角坐标系xoy内,将每一点的纵坐标变为
原来的2倍,横坐标保持不变. (1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵; (2)求点A(1,1)在该伸缩变换作用下的像A'.
解:(1)设在这个伸缩变换作用下,直角坐标系xoy内的
任意一点P(x, y)变成点P' (x', y' ),则x' x, y' 2 y.
因此,所求的坐标变换公式为xy''
x, 2 y.
从而,对应的二阶矩阵为10 02;
(2)将点A(1,1)的坐标代入坐标变换公 式,得
x' 1,
y
'
2 (1)
2.
从而A'的坐标为 (1,2).
一般地,在直角坐标系xoy内,将每个点的纵坐标变为原来 的k倍(k是非零常数),横坐标保持不变的线性变换,其变换公式是
0 -1
1 0
.
因此,这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶
矩阵是分别相同的.这时我们称这两个旋转变换相等.
一般地,设,是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果 对平面内的任意一点P,都有 (P) (P),则称这两个线性变换 相等,简记为 .
设,所对应的二阶矩阵分别为A
2014年人教A版选修4-2课件 1. 线性变换与二阶矩阵
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(一) 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1. 旋转变换 问题 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 内任一点 P(x, y) 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 180 后得到点 P(x, y), 点 P 与点 P 是怎样的对称? 两点的坐标有 什么关系? y P(x, y) 点 P 与点 P 关于原点 O 成 中心对称. x O x= -x, ① P (x, y) y= -y. ① 式称为旋转角为180的旋转变换表达式. 我们 称 P 是 P 在这个旋转变换作用下的像.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋 转变换. (1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A; (2) 试写出这个旋转变换的表达式. y P(x, y) 解: (2) 设平面内任一点 P(x, y), P(x, y) 旋转变换为 P(x, y). ∴x= |OP|cos(q +30) q x O 于是得这个旋转变换的表达式为 = |OP|(cosq cos30 - sinq sin30) 3 1 3 = x = x- x y, 1 y, 2 22 2 |sin(q +30) y= |OP y = 1 x + 3 y. |(sin 2 q cos30 2 +cosq sin30) = 1 x + 3 y. = |OP 2 2
像这样, 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表 a b 称为二阶矩阵, 数 a, b, c, d 称为矩阵的元素. c d 在二阶矩阵中, 横的叫行, 从上到下依次称为矩阵的 第一行、第二行; 竖的叫列, 从左到右依次称为矩阵
的第一列、第二列. B, C, … 表示.
矩阵通常用大写的英文字母 A,