时域分析经典法
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
时域分析方法时域分析方法
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
（2） PI 控制:
∫ u2 (t)
=
K
pu1 (t ) +
Kp Ti
t 0
u1
(t
)dt
G(s)
=
K
p 1 +
1 Ti s
=
K
3.2.3、频域分析方法：
频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。 这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且 还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系 统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自 于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主 要手段有极坐标图(Nyquist 图)和伯德图(Bode 图)法。
LTI时间系统响应的经典时域分析方法
LTI时间系统响应的经典时域分析方法【摘要】在信号与系统的学习中，由于信号系统频域分析法和复频域分析法具有物理意义明确，计算简便的特点，越来越多的人习惯了用频域和复频域分析法来求解系统。
而直观易于理解的经典时域分析法却被忽略，很多信号与系统的教材都缺少对其系统的介绍。
系统介绍LTI时间系统响应的经典时域分析方法的求解步骤和方法，并在此基础上分析经典法的适用场合和优缺点。
【关键词】经典法微分方程线性时不变、动态、因果、集总参数连续或离散的系统简称线性时不变系统（Linear Time Invariant , LTI）。
系统分析就是根据已知的系统的参数和结构，研究系统的特性，也就是求解系统的输入和输出的关系。
在进行系统分析时，一般的分析步骤是根据已知的系统结构和参数进行建模，即对离散系统列写差分方程，对连续系统列写微分方程。
然后求解模型，也就是求解列写的微分方程或者差分方程。
最后说明解的物理意义，当然这一步不是必须的，可以根据要求来看是否要解释其物理意义。
由此可见，系统分析时，最重要也是最关键的步骤就是求解模型。
在模型的求解过程中可以采取的方法很多，比如不经任何变换、以时间t为函数变量的时域分析法；经过拉氏变换转换为复频域的复频域分析法等。
时域分析法中，又有经典法和算子法。
算子法是把求导符号用一个算子符表示，然后算子符可以参与到数学的基本运算中，大大简化了微分方程的复杂的求解方法。
由于算子法这一计算简便的特点，所以被很多教材重点介绍，而忽略了直观且易于理解的经典法。
经典法的计算虽然稍微麻烦一些，但是经典法求解系统是学习其他方法的基础，也是理解系统的全响应分解为自然响应和受迫响应的基础。
另外，在电路中求解一阶和二阶电路系统重点介绍的就是经典法。
所以经典法求解系统在信号与系统的学习中起着举足轻重的作用，也是我们必须要系统掌握的一种方法。
一、经典时域分析方法的求解步骤和方法经典时域分析方法即直接求解微分方程，微分方程的全解即系统的全响应，由齐次微分方程的通解 r n(t) 和非齐次方程的特解 r p(t) 组成。
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
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THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
滤波器的时域和频域分析方法
滤波器的时域和频域分析方法滤波器是信号处理中常用的工具，它可以对信号进行去噪、降低干扰等操作。
在使用滤波器进行信号处理时，我们需要了解滤波器的时域和频域分析方法，以便更好地理解和优化滤波器的性能。
I. 时域分析方法时域分析是对滤波器在时间上的响应进行研究的方法。
下面介绍几种常用的时域分析方法。
1. 输入-输出时域分析输入-输出时域分析是通过给滤波器输入一个已知的测试信号，观察输出信号的变化来研究滤波器的特性。
常用的测试信号包括脉冲信号、正弦信号等。
通过分析输出信号的振幅、相位和波形等参数，可以得到滤波器的时域响应。
2. 单位冲激响应单位冲激响应是指在滤波器输入端输入单位冲激信号时，滤波器的输出响应。
单位冲激响应可以通过计算滤波器的冲激响应函数得到，也可以通过实验测量得到。
单位冲激响应对于分析和设计滤波器非常重要，可以用于计算滤波器的频率响应等。
II. 频域分析方法频域分析是通过将信号从时域转换到频域，研究信号在频率上的特性。
下面介绍几种常用的频域分析方法。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种数学工具。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，即信号在不同频率上的幅度和相位。
对于滤波器的频域分析，傅里叶变换可以帮助我们理解滤波器对不同频率成分的响应。
2. 频率响应频率响应是指滤波器在频域上对不同频率成分的响应情况。
我们通常使用幅度响应和相位响应来描述滤波器的频率特性。
幅度响应表示滤波器对不同频率成分的衰减或增益程度，相位响应表示滤波器对不同频率成分的相位延迟。
通过分析滤波器的频率响应，可以判断滤波器的通带、阻带和截止频率等参数。
III. 综合分析方法在实际应用中，时域和频域分析方法常常相互结合，进行综合分析。
通过同时分析滤波器的时域和频域特性，我们可以更全面地了解滤波器的性能和特点。
综上所述，滤波器的时域和频域分析方法是对滤波器进行性能评估和优化的重要手段。
通过时域分析方法，我们可以了解滤波器在时间上的响应特性；通过频域分析方法，我们可以了解滤波器在不同频率上的响应情况。
时域分析方法
x1(t) r(t) y(t),
X1(s) R(s) Y (s)
x2(t)
d
x1 (t ) dt
k1 x1(t),
X2(s) sX1(s) k1X1(s)
x3(t) k2 x2(t),
X3(s) k2X2(s)
x4(t) x3(t) x5(t) k5 y(t), X4(s) X3(s) X5(s) k5Y (s)
y(0)
y(t ) t0
0
y()
y(t ) t
1
t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632 t＝2T时, y(2T)＝0.865
t＝3T时, y(3T)＝0.95 t＝4T时, y(4T)＝0.982 t＝5T时, y(5T)＝0.993…
y(t)
1
0.632
B A86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
R
U1(t) i(t) C U2(t)
T 设 T RC
RC
dU 2 (t dt
)
U
2
(
t
)
U1
(t
)
描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：
T dy(t) y(t) Kr(t) dt
T RC,
K 1,
T duc dt
uc
u
dh T AR, K R, T dt h KQin
(t)
0
t0
0 t t
1
E
t
(b) 脉冲信号
• 用来表示冲击型的脉冲扰动 • 理想的δ(t)函数无法得到，持续时间非常短的脉
信号处理中的时域分析方法及其应用
信号处理中的时域分析方法及其应用在信号处理领域中，时域分析是一种基本的分析方法。
时域分析是指对信号在时间轴上的特性进行分析，它是从时间域的角度，对信号本身进行的分析和处理。
时域分析方法包括时域波形分析、自相关分析、互相关分析、谱分析等，本文将对这些方法进行介绍，同时介绍它们在实际应用中的表现。
一、时域波形分析时域波形分析指的是对信号波形形态的分析。
通过时域波形分析，可以对信号的震动、周期、幅值、偏移等特征进行分析和处理。
时域波形分析适用于振动信号、机械振动、声音信号、脑电信号等领域。
时域波形分析的方法有很多种，其中最常见的方法是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
通过傅里叶级数展开，可以将不规则的波形化为一系列正弦信号的叠加，从而分析信号的频率成分和幅度。
另外，还有小波变换、离散余弦变换等方法也可以进行时域波形分析。
二、自相关分析自相关分析是指将同一信号在时间上进行平移，再进行相关分析的一种方法。
通过自相关分析，可以得到信号的自相关函数，从而得到信号的时间延迟、周期、相关性等信息。
在自相关分析中，自相关函数可以用以下公式来表示：R_{xx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]x[n+m]其中，x[n]表示原始信号，R_{xx}[m]表示信号在时间上平移m 个单位后的自相关函数。
通过自相关函数的分析，可以得到信号的自相似性和周期，同时对于极化信号、超声检测、遥感图像的分析中也有广泛的应用。
三、互相关分析互相关分析是指对两个不同信号进行相关分析的方法。
通过互相关分析，可以计算出两个信号之间的相似度。
对于两个信号之间具有强相关性的情况，可以使用互相关分析来分析它们之间的关系。
在互相关分析中，互相关函数可以用以下公式来表示：R_{yx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]其中，x[n]表示第一个信号，y[n]表示第二个信号，R_{yx}[m]表示两个信号相位不同后的互相关函数。
离散系统的时域分析法
第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
第二章 连续时间系统的时域分析
19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
第3章 时域分析法
6．稳态误差 在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表 示，通常用ess反映系统跟踪输入时的稳态精度。
稳态误差ess：对单位负反馈系统，当t→∞时，系统单位阶跃响应的实际稳态 值与给定值之差，即
ess1= 1 − c(∞) 如果c(∞)为1, 则系统的稳态误差为零。
函数的图形如图3-5所示。
t 0
图3-5 正弦函数图形
3.2 阶跃响应的性能指标
（1）动态过程。动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信 号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数 选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一 个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳 定的，动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼 情况等信息，这些信息是用系统动态性能描述的 。
（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t→∞时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复 现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。在分 析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后， 系统进入稳态。
由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状 态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么在其他输入形式 作用下的动态性能也能满足要求。
时间ts。稳态值称为误差带，可以是5%或2%，前者称为5%误差带， 后者称为2%误差带。
5．峰值时间
在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的峰值时间可以用tp来 表示，通常用tp评价系统的响应速度，也反映系统的局部快速性。
时域分析法
m
或 (s) kg q
(s zi )
i 1 r
(s s j )
(s2
2
k nk
s
2 nk
)
j 1
k 1
n q 2r 3
一、单位阶跃响应
输入： 输出：
R(s) 1
s
m
C(s)
(s)
1 s
kg
q
(s sj )
(s zi )
i1
1
r (s2 2 knk s n2k ) s
j 1
j
n
0
j n 1 2
n
n
0
（3）临界阻尼 1
s1,2 n
（4）过阻尼 1 s1,2 n n 2 1
j
n 0
j
0
1、单位阶跃响应
输入： R(s) 1 s
无阻尼 0
C(s)
n2 s2 n2
1 s
1s
s s2 n2
c(t) 1 cosnt
欠阻尼 0 1
C(s)
关键点： t T c(t) 0.632 t 3T c(t) 0.95 t 4T c(t) 0.98
调节时间：
3T ts 4T
5% 2%
2、单位脉冲响应
输入： r(t) (t) R(s) 1
c(t )
1
1
T
输出： C(s) 1 R(s) T
Ts 1
s 1
T
5% 1 T
(s)
1.050.4762s 1
(0.125s 1)(0.5s 1)(s2
s
1)
1.05 (s2 s 1)
1s
Amplitude
Step Response 1.4
时域分析方法总结
时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
LTI系统的时域分析法
S ? y(t)
2
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法
一、 微分方程的经典解
如果单输入一单输出系统的LTI连续系统激励为f(t)，响应为y(t)，则系统的数
学模型是n 阶线性常系数微分方程。
n
n
ai y( i )( t ) bj f ( j )( t )
i0
j0
ai 和bj 为常数，且an=1
第二章 LTI系统的时域分析法
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法 2.2 LTI离散系统的经典时域分析法 2.3 LTI连续系统的单位冲激响应 2.4 LTI离散系统的单位序列响应 2.5 卷积 2.6 卷和
1
LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程； LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程； 时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应； 两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；
P 1 yp (t) et
8
(3) 求全解
h
p
i
p
n
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
Ci t 2
e 3yt
p(et)t
i1
C1e2t C2e3t et
C1 3,C2 2
齐次解
特解
6 4 7 4 48 }
y( t ) 13e42t2 24e33t e{t
齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的 特性，与激励f(t)的函数形式无关，称为 系统的自由响应或固有响应。但齐次解的
自由响应
强迫响应 系数Ci的值是与激励f(t)有关。
特解的函数形式由激励信号f(t)确定，
电路分析基础-动态电路的瞬态分析-时域经典分析法
uc(0+)= uc(0-) =8V
i 12V
-
+
K 2
R3 R1
Us
+ uc
-
5R2
ic
+ uL
-
(a)
在0+等效图中: ③ 由0+等效图有：
4 iL 12V
-
+
i(0+) R1 Us uc(0+)
+
5
ic(0+) 8V
(b) 0+等效图
R2 4 +
uL(0+)
-
iL(0+)=2A
电容元件用uc(0+)电压源代替 电感元件用iL(0+)电流源代替
对于线性电感，设uL, i L取关联参考方向:
iL
自感电压：
+
uL
L 或
–
注：(1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。 当 i L为常数(直流)时，diL/dt =0 uL=0。 电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL，iL为非关联方向时，uL= –LdiL/dt 。
例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图
并求ic(0+)和uL(0+)。
K
ic
R2
C
Us
R1
+ L uL
-
(a)
K ic(0+)
C
Us
R1
R2 L
(b) 0+图
+
uL(0+) -
解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
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)
C
nr(t
)
0
特解是满足n阶线性常微分方程的特殊的解：
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
E0
dm e(t) dtm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d e(t) dt
Em e(t )
初始条件问题：
r
0
,
d
r0
dt
,
d
2 r0
dt2
,
dn1 r 0
d t n1
0 状态: 初始条件(初始值）、导出的起始状态
r k0
r
0
,
d
r0
dt
,
d2 r0
dt2
,
dn1 r 0
d t n1
为t 0 时的方程的解，初始条件
r(0 ) ,
d r(0 ) ,
dt
d2 r(0 ) dt2 ,
,
dn1 r(0 ) d t n1
初始条件的确定是此课程要解决的问题。
一．起始点的跳变
0
0
t 0
0
t
0 状态: 初始状态(激励信号加入前的瞬间的状态）
r k0
)
vc
(0
)
1 C
0 0
ic
(
)
d
0
如果ic (t)为有限值
当有冲激电流
或阶跃电压作 用于电容时：
0 0
ic
(
)
d
0,
此时vc (0 ) vc (0 )
vC (0 ) vC (0 )
如果ic (t)为 t
1
C
0 0
ic
(
)
d
1， C
vc (0 ) vc (0 )
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
d rt 3rt 3 t
dt
3 t 3 t 3 t
d rt包含3 t rt包含3 t
dt
3
9 t 9 t ut:
2. 平衡先使方程右边δ函数最高阶次项和方程左边r(k)(t)的最高次 项得到平衡；
3. 当平衡低阶次项δ函数时，若方程左边同阶次δ函数项系数之和 不能和右边平衡时，则由方程左边r(k)(t)最高次项来补偿。
具体做法是：
1.设出0－<t< 0＋区间内响应各阶导数; 2.再代入微分方程根据冲激函数平衡求出待定系数; 3. 分别观察对应各阶导数的跳变值；
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0
c 3b 0
所以得 r0 r0 b 9
2 系统时域分析的基本思路
建立系统模型（写微分方程）: 元件约束,网络拓扑约束
经典法
求系统响应（解方程）: 双零法
零输入 零状态
: :
经典法 用卷积积分法
连续系统时域分析：经典法
经典法:求线性系统响应即进行系统分析，其实质是 求解线性常系数系统微分方程。应用高等数 学求解微分方程方法称为经典法。
L iL (t )
vL(t)
如果 vL(t)为有限值，
0 0
v
L
(
)
d
0，此时iL(0 )
iL(0 )
冲激电压或阶 跃电流作用于 电感时：
如果vL(t) (t) ，
iL(0 ) iL(0 )
1
L
0 0
v
L
(
)
d
1, L
此时iL0 iL0
9ut 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
d rt 3rt 3 t
分析
dt
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
rt中包含3 t
dt
d rt必含 9 t以平衡3rt中的9 t
例2-3-2
vL(t)
L
d
iL(t) dt
L
d[
I s v(t )] dt
LIs
(t)
i L (0
)
iL (0
)
1 L
0 0
LI
s
(t
)
d
t
iL(0 ) Is
I su (t )
iL (t)
L
vL(t)
二．冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导 数应该平衡(其它项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其它项）
一个n阶微分方程需要n个初始条件才能求出它的全解。 典型的初始条件记为：r(0)、r'(0)、r"(0)、...、r(n)(0) 等表 示 t 0时的响应及其各阶连续导数值，且得出的解在
t 0 时有效。
求解LTI连续系统的微分方程需要从已知的系统初始 状态 r(0 )、r'(0 )、r"(0 )、...、r(n)(0 ) ，求出系统的初 始值 r(0 )、r'(0 )、r"(0 )、...、r(n)(0 ) 来确定待定系数， 从而求出微分方程的全解即系统响应。
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
（二）．求解系统微分方程的经典法
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
齐次解是齐次微分方程的解：
C0
dn r dt
(t
n
)
C1
d n1 dt
r(t
n1
)
Cn1
d r(t dt
a 3
即 b 9
c 9
即 r0 r0 9
总结：
配平的原理：
t=0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其 它项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其它 项）:
注意以下3点：
1. δ函数平衡法只平衡微分方程两边的δ(t)项及其各阶导数项，使 两边δ(t)函数相等；
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
自由响应 n
固有频率
Akekt 注意重根情况处理方法。
k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系
强迫响应 数的特解函数式→代入原方程，比较系数
定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
完全响应
我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r(之t)间的
关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
dn r(t)
dn1 r(t)
d r(t)
C0 d t n C1 d t n1 Cn1 d t Cnr(t)
dm e(t)
dm1 e(t)
d e(t)
E0 d t m E1 d t m1 Em1 d t Eme(t )
说明
•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的
电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
vC 0 vC 0 , iL0 iL0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
信号与系统
Signals and Systems
第二章 连续时间系统的时域分析
1 系统分析的任务和方法
两项任务： 一是用数学语言描述待分析的系统，建立系统 的数学模型； 二是分析信号通过系统产生的响应。
目的：就是根据给定的系统模型和输入信号，求系 统的输出（响应）。
系统分析的方法： 时域分析、频域分析、变换域分析。
作用于电感， 0 到状0态 就会发生跳变。
•当系统用微分方程表示时，系统的 0到 状0态有没有
跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其t各 阶
导数项。
uc (0 ) uc (0 )
我们来进一步讨论 iL (0 ) i的L (0条 )件。
1．电容电压的突变
由伏安关系
iC (t) C
vc
(t)
1 C
t
ic 1
C
0
ic (
)d
1 C
0 0
ic
(
)d
1 C
t
0 ic ( )d
1
vc (0 ) C
0 0
ic
(
)d
1 C
t
0 ic ( )d
令t
0
,
vc
(0
dt
d rt 中的 9 t
dt
在 r中t t 时 0刻有 9ut
ut表示 0到 的0相对跳变函数，所以，
r0 r0 9
即 r0 r0 9
数学描述
由方程 d rt 3rt 3 t可知