空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五)

一、选择题

1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④

【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．

【答案】 D

2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．以上都不对

【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b

＝|c |2

，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D

3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )

与BD →

与PB → 与AB → 与CD →

【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所

以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB

→＝0，排除C.

【答案】 A

4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )

图3-1-21

A ．2BA →·AC →

B ．2AD →·DB →

C ．2FG →·AC →

D ．2EF →·CB →

【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；

2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．

【答案】 C

二、填空题

5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________.

【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2

＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61，

∴|2a －3b |＝61.

【答案】 61

6．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

【解析】 由题意知⎩⎨⎧ ?a ＋λb ?·?λa －2b ?<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.

即⎩⎨⎧ ?a ＋λb ?·?λa －2b ?<0，?a ＋λb ?·

?λa －2b ?≠－|a ＋λb ||λa －2b |?λ2＋2λ－2<0.

∴－1－3<λ<－1＋ 3.

【答案】 (－1－3，－1＋3) 7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．

图3-1-22

【解析】 不妨设棱长为2，则|AB →1|＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，

cos 〈AB 1→，BM →〉＝?BB 1→－BA →?·?BC →＋12BB 1→?22×5＝0－2＋2－022×5

＝0，故填90°.

【答案】 90°

三、解答题

8．如图3-1-23在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .

图3-1-23

【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c .

则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.

而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，

BD →＝AD →－AB →＝b －a ，

OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .

∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )

＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)

＝12(|b |2－|a |2)＝0.

∴A 1O →⊥BD →.

∴A 1O ⊥BD .

同理可证A 1O →⊥OG →.

∴A 1O ⊥OG .

又OG ∩BD ＝O 且A 1O ?面BDG ，

∴A 1O ⊥面GBD .

9．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为

侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；

(3)EF →·FC 1→.

【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，

则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.

(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)

＝AD →·⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12?AA 1→－AB →?＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12?c －a ?＋b ＝|b |2＝42＝16.

(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)

＝⎝

⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.

(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→)

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12?AA 1→－AB →?＋12AD →·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12?c －a ?＋12b ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12b ＋a