二次曲线的类型.ppt

y
z
1)a12
a22
a23
a24

y

,
aa1143
a23 a24
a33 a34
a34 a44

z 1
a11 a12 a13 x
(x, y, z) (x
y
z)a12
a22
a23

y

,
a13 a23 a33 z



x x

y

2a24 y

2a34 z
a4' 4

2 a224 a324

z a34 y a24 z

a224 a324
通过此变换,(2.11)可化简成形式:
14° x 2 2 py.
抛物柱面
（2） a24 a34 0
15° 1 与 a4' 4异号,则同于形式:
(2.9) 椭圆抛物面 双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:
二次曲面分类 ：
在(2.6)的基础之上，通过配方，再作移轴，就可
将方程(2.6)进一步化简，并了解其所对应的曲面。
情形1 1, 2 , 3, 都不为0. 作移轴:
x x a14 ,

1

y

y
a24
,

2

z

z

a34
3
,
则有:
F(x, y, z)
x2 a2 0.
一对平行平面
16° 1
与
a
' 44
同号,则同于形式:
x2 a2 0.
一对虚的平行平面
17°a4' 4 0 , 则同于形式:
x2 0.
一对重合平面
综合以上结论,我们有
定理2.1 选取适当的坐标系，二次曲面方程总
可以化简为以下五个简化方程中的一个
(1) a11 x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0;
记 a11 A a12 aa1143
a12 a22 a23 a24
a13 a23 a33 a34
a14
a24

a34 a44

,
a11 A a12
a13
a12 a22 a23
a13
a23

a33
.
分别称为二次曲面F(x,y,z)=0和Φ(x,y,z)的矩阵，

0
0
1
1

T
1
T T AT

TT
T T
a44

百度文库
1

T

1 TT
T T
a44

1

记 TT (a1'4 a2' 4 a3' 4 ) .因此经过直角坐标变换(2.4) ，
x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.
它们是实对称的。
记 T (a14 , a24 , a34 ), T ( x y z),则 A 可以分块
写成 :
A
A T
a44

.
二次曲面的方程(2.1)可表示成 :
F(x, y, z) (T
A
1) T

a44


1

.
(2.3)

y2 b2

z2 c2

0.
二次锥面
情形2 1, 2 , 3,中只有一个为0.不妨设 3 0 ,
作移轴:

x
'


x
a14
1

y'


y
a 24
2

z
'

z
则有
1 x2 2 y2 2a34z a4'4 0.
(2.8)
(1) a34 0 ,再作移轴:
( x, y, z) a11 x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
(2.1) (2.2)
利用矩阵的乘法可以把F(x,y,z)，Φ(x,y,z)写成
下列形式 :
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到:
定理 2.1' 平面上的二次曲线方程可化简为以
下三个简化方程之一：
(1) a11 x 2 a22 y 2 a33 0, a11a22 0; (2) a22 y2 2a13 x 0, a22a13 0; (3) a22 y 2 a33 0, a22 0.
曲面方程变为 : F( x, y, z)
1 x2 2 y2 3z2 2a1'4 x 2a2' 4 y 2a3' 4z a44
0
(2.6)
由以上知道，我们总能找到适当的右手直角坐标
系使二次曲面的方程具有(2.6)的形式。因而不妨设二 次曲面的方程就是(2.6)的形式，并将方程中的符号 “ ” 去掉。

1( x

a14
1
)2

2(
y

a24
2
)2

3(z

a34
3
)2

a124
1

a224
2

a324
3

a44
0
令常数项为 a4' 4 , 得:
1 x2 2 y2 3 z2 a4' 4 0
(1) 123a4' 4 0
(2.7)
1°1, 2 , 3, 同号 ,则同于形式
则有:
( x, y, z) x1( x, y, z) y2( x, y, z) z3( x, y, z).
由代数知识知道(参见附录)，实对称矩阵可用正交
矩阵对角化。即对实对称矩阵 A ，存在正交矩阵T，使
T T A T 为对角矩阵，且对角线上的元素为A 的特征值 1, 2 , 3, 即方程:
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT


2



.

3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1 0.
虚椭球面
2°1, 2 , 3 , 异号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c2 1 0.
单叶双曲面
(2) 123a4' 4 0
3°
1x, 22
,
3 ,
y
同号,则同于形式:
2 z2
a 2 b2 c 2 1 0.


x" y"

x' y'
z" z'
a4' 4
那么(2.8)化简为:
2a34
1 x2 2 y2 2a34z 0.
7°12 0, 则同于形式:
x2 a2

y2 b2
2z.
8°12 0, 则同于形式:
x2 a2

y2 b2
2z.
(2.4)
T 0

1



0
1 1
,
(2.5)
将(2.5)代入二次曲面的方程(2.3)中得:
T
1
A
T

a44

1

T
1
T T

0
0 A
1 T
T
a44

椭球面
4° 1, 2 , 3, 异号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c2 1 0.
双叶双曲面
(3)
a
5°
4' 41,
0
2
,
3
,
同号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c 2 0.
一点
6°1, 2 , 3, 异号,则同于形式:
x2 a2
(2) a11 x2 a22 y2 2a34z 0,
a11a22a34 0;
(3) a11 x 2 a22 y2 a44 0, a11a22 0;
(4) a11 x2 2a24 y 0,
a11a24 0;
(5) a11x2 a44 0,
二次曲面总共有17种曲面.
x2 y2 a2 b2 0.
一对相交平面
情形3 1, 2 , 3,中有两个为0.不妨设 1 0,
作移轴:

x
'

y
'

x y
a14
1

z
'

z

则有 1 x2 2a24 y 2a34z a4' 4 0. (2.11)
(1) a24 , a34 中至少有一个不为0,作变换:
§2 二次曲线的类型
记空间中二次曲面的一般方程为 F(x, y, z) a11 x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
其中 a11 , a22 , a33 , a12 , a13 , a23 不全为0. 记F(x,y,z)的二次部分为
二次曲线共分为9种，它们的方程形式如下：
(1) 椭圆:
x2 y2 a2 b2 1 0,
x2 y2 (2) 虚椭圆: a2 b2 1 0,
x2 y2 (3) 交于一实点的二虚直线: a2 b2 0,
x2 y2 (4) 双曲线: a2 b2 1 0,
(5)
两条相交直线:
x2 y2 a 2 b2 1 0.
椭圆柱面 虚椭圆柱面
11°12 0, 则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
双曲柱面
(3) a34 a4' 4 0,
12°12 0,
则同于形式:
x2 y2
a2 b2 0.
一对相交于一条 实直线的虚平面
13° 12 0, 则同于形式:
a11 0;
类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平
面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲
线方程为 :
F ( x, y) a11x2 a22 y2 2a12 xy 2a13 x 2a23 y a33
a11 a12 a13 x
x
y
1 a12
a22
a23

y

0
a13 a23 a33 1
(2.12)
记
(x,y)

(x,y)
a11 a12
a12 a22

x y
,
1( x, y) a11 x a12 y, 2( x, y) a12 x a22 y,
3 ( x, y) a13 x a23 y.
Φ(x,y,z)可以表示为:
( x, y, z) T A
记:
1 ( x, y, z) a11 x a12 y a13z,
2 ( x, y, z) a12 x a22 y a23z, 3 ( x, y, z) a13 x a23 y a33z,
4 ( x, y, z) a14 x a24 y a34z,