导数章末总结

∆x 0
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4 4 (10＋∆x)2－ ×102 ＋ ) 5 5 ∆y 解：∵ lim－ ＝ lim－ ∆x→ 0 ∆x ∆x→ 0 ∆x 4 16∆x＋ (∆x)2 ＋ ) 5 ＝ lim－ ∆x→0 ∆x 4 ＝ lim－ (16＋ ∆x) ＋ ∆x→0 5 ＝16， ， 4 [16(10＋∆x)－80]－( ×102) ( ＋ ) － 5 ∆y lim＋ ＝ lim＋ ∆x→ 0 ∆x ∆x→0 ∆x 16∆x ＝ lim＋ ＝16. ∆x→0 ∆x ∆y ∆y ∆y ∴ lim ＝ lim＋ ＝ lim－ ＝16， ， ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 即 y′|x＝10＝16. ′
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导数定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、 导数定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导 就要考虑用定义去求导，本题是分段函数在分段点处的导数，就只能用定义去求， 时，就要考虑用定义去求导，本题是分段函数在分段点处的导数，就只能用定义去求，这时 － ＋ 要特别注意只有当 ∆x→0 ，∆x→0 左右导数均存在且相等时函数在这点的导数才存在． → → 左右导数均存在且相等时函数在这点的导数才存在．
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导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数 】 1 2 3 (1)y＝ － 2＋ 3； ＝ x x x x (2)y＝esin ； ＝ 10 cos x (3)y＝ ＝ ； 2sin2x (4)y＝ln(cos x＋sin 3x)； ＝ ＋ ； (5)y＝(2x2－5x＋2)ex. ＝ ＋
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2
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＋ ( ≤ ) x ＋x＋1(x≤0) ，若 f(x)在 x＝0 处可导，求 a，b 的值． 在 ＝ 处可导， ， 的值． 变式训练 11：已知函数 f(x)＝ ： ＝ ax＋b(x>0) ＋ ( )
f(0＋∆x)－f(0) ( ＋ ) ( ) (∆x)2＋∆x ) 解：∵ lim－ ＝ lim－ ∆x→ 0 ∆x ∆x→0 ∆x ＝ lim－ (∆x＋1) ＋ →
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1 (4)y′＝ ′ (cos x＋sin 3x)′ ＋ ′ cos x＋sin 3x ＋ －sin x＋3cos 3x ＋ . ＝ cos x＋sin 3x ＋ (5)y′＝(2x2－5x＋2)′ex＋(2x2－5x＋2)(ex)′ ′ ＋ ′ ＋ ′ x 2 x ＝(4x－5)e ＋(2x －5x＋2)e － ＋ ＝(2x2－x－3)ex. －
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(2)解题指导 解题指导 ①利用导数求曲线的切线方程 ②求可导函数单调区间的一般步骤和方法 的定义区间． a．确定函数 f(x)的定义区间． ． 的定义区间 b．求 f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出它们在定义区间内的一切实根． 定义区间内的一切实根． ． ′ ， ′ ＝ ，解此方程，求出它们在定义区间内的一切实根 c．把函数 f(x)的间断点 即 f(x)的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序 的间断点(即 的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序 ． 的间断点 的无定义点 排列起来， 的定义区间分成若干个小区间． 排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间． 的定义区间分成若干个小区间 d．确定 f′(x)在各个开区间内的符号，根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开 在各个开区间内的符号， ． ′ 在各个开区间内的符号 ′ 的符号判定函数 在每个相应小开 区间内的增减性． 区间内的增减性． ③求可导函数 f(x)极值的步骤 极值的步骤 a．求导数 f′(x)． ． ′ ． ． ′ ＝ 的根． b．求方程 f′(x)＝0 的根． c．检验 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，右 ． ′ 在方程 ′ ＝ 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正， 侧附近为负， 在这个根处取得极大值； 侧附近为负，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近 ＝ 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负， 在这个根处取得极小值． 为正， 为正，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极小值． ＝ 在这个根处取得极小值 上单调递增， 为函数的最小值， 为函数的最大值； ④若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函 在 ， 上单调递增 为函数的最小值 为函数的最大值 上单调递减， 为函数的最大值， 为函数的最小值 为函数的最小值． 数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 在 ， 上单调递减 为函数的最大值
∆x 0
＝1. f(0＋∆x)－f(0) ( ＋ ) ( ) a∆x＋b－1 ＋ － ＝ lim＋ ∆x 0 ∆x ∆x→ 0 ∆x b－1 － . ＝a＋ lim＋ ＋ → ∆x 0 ∆x f(0＋∆x)－f(0) ( ＋ ) ( ) 不存在， 不存在， 若 b≠1，则 lim＋ ≠ ， ∆x→ 0 ∆x ∴b＝1. ＝ 又∵f(x)在 x＝0 处可导， 在 ＝ 处可导， ∴a＝1. ＝ lim＋ →
思路点拨：利用导数公式求导． 思路点拨：利用导数公式求导．
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解：(1)y＝x 1－2x 2＋3x 3， ＝ － － － ∴y′＝－ 2－2·(－2)x 3＋3·(－3)x 4 ′＝－x － － 1 4 9 ＝－ 2＋ 3－ 4. x x x x x x x x (2)y′＝esin (sin )′＝esin (cos )( )′ ′ ′ ′ 10 10 10 10 10 1 x x )esin . ＝ (cos 10 10 10 1 cos x (3)y′＝ ( 2 )′， ′ ′ 2 sin x 2 ) － ( 2 ) 1 (cos x)′sin x－cos x(sin x)′ y′＝ · ′ 2 (sin2x)2 ) 3 2 －sin x－2cos xsin x － ＝ 2sin4x sin2x＋2cos2x ＋ . ＝－ 2sin3x
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导数的概念
4x2，(x≤10) 5 ≤ ) 【例 1】 用定义求 y＝ 】 ＝ 在点 x＝10 处的导数． ＝ 处的导数． 16x－80，(x>10) ) － ，
思路点拨：分别求出lim 思路点拨：分别求出 → ∆y 在 x＝10 处的左右极限， ＝ 处的左右极限， ∆x
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解：(1)y′＝[(2x－3)5]′＝5(2x－3)4(2x－3)′ ′ － ′ － － ′ 4 ＝10(2x－3) . － )(1－ －cos x(1＋cos x)－(－sin x)( －sin x) ( ＋ ) )( ) (2)y′＝ ′ (1＋cos x)2 ＋ ) sin x－cos x－1 － － . ＝ (1＋cos x)2 ＋ ) 1 (3)y＝ [ln(a－x)－ln(a＋x)]， ＝ － － ＋ ， 2 1 1 1 a ]＝ 2 . ∴y′＝ [－ ′ － － ＝ 2 a－x a＋x x －a2 － ＋ cos2x－sin2x － (4)y＝(ae)x＋ ＝ sin x＋cos x ＋ ＝(ae)x＋cos x－sin x， － ， x ∴y′＝(ae) ln(ae)－sin x－cos x ′ － － x x ＝a e (1＋ln a)－(sin x＋cos x)． ＋ － ＋ ．
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公式 函数的四则运算求导法则 导函数复合函数的求导法则 → 导数 判断函数的单调性 导数的应用判断函数的极大(小)值 判断函数的极大( 求函数的最大(小)值 求函数的最大(
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2．应试对策 ． (1)学法指导 学法指导 － 利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号， ①利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn 1 中 n∈N，(cos ′ ∈ ， －1 x)′＝－ ′＝－sin x，还要注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是 x)′＝xax .还要特别注 ，还要注意公式不要用混， ′ ，而不是(a ′ 还要特别注 u′ ′ u ′≠u′ ′ . 意(uv)′≠ ′v′，( )′≠ ′≠ ′≠ v v′ ′ 求复合函数的导数时 应分析复合函数的结构， 合函数的导数时， ②求复合函数的导数时，应分析复合函数的结构，引入中间变量 u 将复合函数分解为基 本初等函数或较简单函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)，然后用复合函数的求导法则求导．有时一个函 ＝ 和 ＝ ，然后用复合函数的求导法则求导． 数不能一次分解完成，这就需要进一步分解． 数不能一次分解完成，这就需要进一步分解． ③函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的 函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点， 性质比用初等方法研究要方便得多，因此一定要在复习中引起重视． 性质比用初等方法研究要方便得多，因此一定要在复习中引起重视．
首先应弄清函数的结构特征，一是运算结构，二是复合函数的过程结构， 首先应弄清函数的结构特征，一是运算结构，二是复合函数的过程结构， 特征 然后再选取求导公式及运算法则． 然后再选取求导公式及运算法则．
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变式训练 21：求下列函数的导数： ：求下列函数的导数： (1)y＝(2x－3)5； ＝ － 1－sin x － (2)y＝ ＝ ； 1＋cos x ＋ a－x － (3)y＝ln (a>0)； ＝ ； a＋x ＋ cos 2x (4)y＝axex＋ ＝ . sin x＋cos x ＋
导数的概念——导数的几何意义 导数的几何意义——基本导数 导数的概念 导数的几何意义 基本导数
求简单函 数的导数
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本章要解决的问题主要是导数的概念，求导数的方法，以及导数的应用． 本章要解决的问题主要是导数的概念，求导数的方法，以及导数的应用． 解决上述问题的关键是： 解决上述问题的关键是： (1)认真掌握导数的概念； 认真掌握导数的概念； 认真掌握导数的概念 (2)把握好导数的运算法则； 把握好导数的运算法则； 把握好导数的运算法则 (3)会用求导的方法判断或论证函数的单调性，会求函数的极值和最值． 会用求导的方法判断或论证函数的单调性， 会用求导的方法判断或论证函数的单调性 会求函数的极值和最值． 1．命题趋势 ． (1)试题分数比重在逐年增加，选择题、填空题、解答题都有可能出现； 试题分数比重在逐年增加， 试题分数比重在逐年增加 选择题、填空题、解答题都有可能出现； (2)选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，如求函数的导数，切线 选择题、 和基本方法的应用， 选择题 填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用 如求函数的导数， 的斜率，函数的单调区间、极值、最值； 的斜率，函数的单调区间、极值、最值； (3)解答题一般为导数的应用，主要考查利用导数判断函数的单调性，在应用题中用导数 解答题一般为导数的应用， 解答题一般为导数的应用 主要考查利用导数判断函数的单调性， 求函数的最大值和最小值． 求函数的最大值和最小值．