2021年高考数学预测一校五题(海安中学)

P (x 0,y 0)

l 2

l 1

O

x

y

2021年高考数学预测一校五题（海安中学）

1.（星级：二星，海安中学高三数学组）

若集合A ={x | –1<|x –1|<2，x Z }，用列举法表示A = ▲ ．

【解析】

2.（星级：五星，海安中学高三数学组）

设短轴长为是的椭圆C :和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．

【解析】 双曲线的离心率为，于是椭圆C :的离心率为． 即，又由题意，以及，解得，椭圆C 的方程为．

设是⊙E 上的任意一点，过P 的直线，代入中，得，

即()()0624)21(2

00002

2

=--+-++kx y x kx y k x k ，①

若直线与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，

即()()22

220000168(12)30k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦

，

整理得关于的方程：，②

要使得⊙E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为，故，即，

又对于点，，，，直线中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E ，方程为：． 3.（星级：二星，海安中学高三数学组）

已知，则 ▲ ． 【解析】222

sin cos tan 3

sin cos sin cos tan 110

αααααααα=

==++． 4.（星级：五星，海安中学高三数学组）

设数列满足:，N ．

（1）求与之间的递推关系式； （2）求证：当时，； （3）求的整数部分．

【解析】 （1）易知，对一切由可知：

，整理得． 依次利用上述关系式，可得

11

212112

1

211111

111

n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-----====

=

=+++

+

+

，

从而． （2）由及可知数列递增，则对一切，有成立，

从而． 当时，， 于是，

所以 ． （3）当时，，

. ，则当时，有，

2220112

22010

1

11

2(20111)4020396963a a

a =

++

+->>=，

()(

)(

)

111111114021223

3940

199200

2010⎡⎤=++++++

+++

+⎢⎥⎣⎦

()(

)(

)

1111111402122

240

40200

200⎡⎤<++

+++

+++

+⎢⎥⎣⎦

.

所以，即的整数部分为63． 5.（星级：五星，海安中学高三数学组）

已知n 是不小于3的正整数，，． （1） 求，； （2） 设，求证： 【解析】（1）， 因为，所以．…3分

因为，而()()11121

11121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥，

所以，()()2

212

1

2

1

2

11

2

2

2

C 1C

C

1C

C n n

n

n

k

k k k k n n

n n n n k k k k b k n n n n n n n n --------====⎡⎤==+-+=+-+⎣⎦∑∑∑∑ .

（2）， 所以()()

()11

1

11114421222n

n

k k k k c c k k n +===-=-<+++∑∑

．

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