关联线面角与面面角的一个公式及应用

故 命 题 获证
图 １
又 过 Ｃ 作 回 上
特 别地 ， 在 ￣． Ａ Ｂ Ｃ中， 当 ｃ＝９ ０ 时， 则有
ｓ ｉ ｎ ２ ￣ Ｉ ＋ｓ ｍ２ ． 岛 ＝ｓ ｍ ’ ２ 口 （ Ⅱ）
ＡＢ 于 Ｄ．连 结 （ ９ １ ９ ， 由 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 知 口 ＝ ， 令
Ｂ ｃ ｛ ， 所 以 Ｂ Ｄ Ｃ １ ＝９ ０ ＊
又 易知 Ｂ Ｄ， Ｃ１ Ｄ 与面 Ｃ ／ ３ Ｃ１ 所 成 的 角 均 为
３ ０ 。 ， 故 由公 式 （ Ⅱ） 得
与 ＡＡ Ｂ Ｃ所 在平 面 所成 角 的度 数 ． 解： 设 所 求 角 为 ｎ， 则 由 公 式 （Ⅱ） 得
《 ｎ ２ ０ ＝ ｓ ｉ ｎ ｚ ３ ０ ． ＋ ｓ ｉ ｎ ４ ５ ． ＝｝
Ｂ Ｅ＝Ｅ Ｂ ｌ ， 所以 Ｄ Ｂ１ ＝Ｂｌ Ｃ １ ．
令 ＡＡｌ ：Ａ１ Ｂ１ ＝１ ． 则
ＡＩ Ｄ ， ／ ３ ， Ａｌ Ｃｌ ＝ ＯＣｌ ＝ｌ ， ＤＣｌ ＝２
．
故． ４ Ａ ｌ 与 底 面 所成 的 角为 ４ ５ 。 （ ２ ）过 Ａｌ作 Ａ１ Ｄ 上ＡＣ 于 Ｄ， 则 易 知 Ａ１ Ｄ
所以Ａ Ｄ＝Ｄ Ｃ＝Ｄ Ｂ． 从而 Ａ １ Ｂ 与 底 面Ａ Ｂ Ｃ
． ｓ ｉ ｌ Ｄ：１ ． 所 成 的角 为 ４ ５ ． ， 且 Ａ１ Ｂ ＝Ａ Ａ１ ＝
所 以
（ ｊ ［ Ｈ１ ：
Ａ ｌ Ｃ， Ｄ Ｃ 与 底 面 Ａｌ Ｄ Ｃ ｌ 所 成 的 角 分 别 为
ｃ４ ｌ Ｃｌ和 ∞ ｃ１ ，设 平 面 Ａ１ Ｅ ｃ 与 平 面 Ａ１ Ｂｌ Ｃｌ 所 成 的二面 角 为 口 ， 则 由公 式 （Ｉ） 得
点． （ １） 证 明
Ｂ Ｂ
解： （ １ ） 从略 ． （ ２ ）设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 ｒ ， Ａ Ｂ Ｅ ＝ｎ， 则
＿
ｊ
：３ ．
图 ２
÷ ｓ ｉ ｎ ２ ｄ ・ ２ ｒ
所以ｓ ｉ ｎ ２ ａ＝１ 。 所 以 口＝４ ，． ５
Ａ Ｂ １ ∥平面 Ⅱ １ ．
Ｂ１ Ｅ＝、 ／ Ⅱ ４ － １ ， Ｂ Ｃ １ ＝、 ／ 口 ＋４ ．
又 Ｒ ｔ ／ ， ． Ｂ Ｅ Ｆｃ ， ＇ ￣ Ｒ ｔ ／ ， ． Ｃ１ Ｂ１ Ｆ， 所 以 ＥＦ＝
即ｓ ｉ ｎ Ｚ ０ ￣ 寺＝ 号
所以ｓ ｉ ｎ ２ １ ＝
厂＝
号 Ｂ Ｅ ＝ ｛ ／ ， Ｂ Ｆ ＝ 号 Ｂ ｃ － ＝ 号 ／ ，
上 面 ＡＢ Ｃ． 叉． ４ Ａｌ 上Ａｌ Ｃ， ． ４ Ａｌ ＝Ａ１ Ｃ， 所以 Ａ Ｄ＝
ＤＣ ．
从 而 Ａｌ Ｃ＝ √ 芝 ， Ｃ Ｄ＝
在／ ＂ Ａｌ ＤＣ 中 ， 因 为 Ａ１ Ｄ ＋Ａ１ Ｃ ＝
以 Ｃ Ａｌ Ｄ ＝９ ０ ＂
． 所
又 Ｌ ＡＢ Ｃ ＝９ ０ ＂
ｉ ｎ ２ ０ ＝
证： 如 图 １ ，
过 Ｃ 作 ∞ Ｊ ＿口
一
于 ０． 连 结 ∞ ．
ｔ ３ ０． 则 Ｃ Ａ Ｏ＝
口 １ ， ａ Ｄ ＝ ２ ．
ｓ ｉ ｎ ２ Ｃｓ ｎ ２ ０＝
（ ｓ ｉ ｎ ２ Ａ ＋ｓ ｍ ． ２ Ｂ） ｓ ｉ ｎ ２ 口
面
Ⅲ
‘ 数 学教 学 通 讯 ） ∞ ∞ 年 第 ４期 （ 总第 １ ２ ５期 ）
重 庆 ・４ ５
高 考试 题 ） 解 ： （１） 从
略
解： （ １ ）因为 Ａ Ａ ｌ ＝Ａｌ Ｃ ． 所以 Ｍ ｌ ， Ａｌ Ｃ与 底 面Ａ Ｂ Ｃ 所成 的 角相 等 ．
并设其 角为 口 ， ．
由 勾 股 定 理 得
ＥＦ ２ ＋ＢＦ ２ ＝ＢＥ ， 所 以 Hale Waihona Puke Baidu
（ ） ＋ （ ） ：１
从而 ０ １ ＝ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ． 例 ５ 如图 ４ ， 在 正 三 棱 柱 ＡＢ ｃ— Ａ１ Ｂ１ ｃ１
中， Ｅ∈Ｂ Ｂ ｌ ， 截面 Ａ １ Ｅ Ｃ Ａ ＿ 侧面 Ａ Ｃ １ ．
０／ ２ ３ ． ２
＝＿ ａ ｂ ｓ ｉ ｎ Ｃ
命题． 若 ￣． Ａ Ｂ Ｃ 所 在 平 面 口与 过 Ａ Ｂ 的平
面０ ｔ 成 角 口， 另两边 Ａ Ｃ， Ｂ Ｃ与平面 ０ ｔ 所 成 的 角 分别为 口 １ ， 口 ２ ， Ａ， Ｂ 为 ￣． Ａ Ｂ Ｃ 的两个 内角 ． 则
ｓ ￣ ｎ ２ ８ ｌ ＋ｓ ｉ ｎ ２ ８ ２ ＋ ＝（ ｓ ｉ ｎ ２ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ） ｓ ｉ ｎ ２ ８
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室 Ｊ 习 南 朗距 离
（ 效学 教 学通 讯 ） ２ ０ ∞ 年 第 ４期 （ 总第 １ ２ ５期 ）
僻 够一
关联 线面 角与 面面 角的． 一个 公 式 及 应 用
（ 湖 南 东安 １中 ４ ２ ５ ９ ０ ０ ） 陈 世 明
６ ６ ；
例 ３ 如 图 已 知 Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ 一 Ａ Ｂ Ｃ 是 正 三 棱
（ ２ ）如 果 圆 柱 与 三 棱 锥 Ｄ— ＡＢ Ｅ 的 体 积 比 等于 ３ ， 求直 线 Ｄ Ｅ 与平 面 Ａ ／ Ｋ ／ ）所 成 的 角 ． （ １ ９ ９ ５年 全 国 高 考 试 题 ）
柱。 Ｄ 是Ａ Ｃ 的 中
为０ １ ， 则 由公式 （ Ⅱ） 得 ｓ ｉ ｎ ２ ０ １ －ｓ ４ ｉ ｎ ２ ４ ５ 。 ＝ｓ ｊ ｎ ２ ０
Ｂ Ｃ Ｕ１ Ｂ１ ， 连 结 Ｂ１ Ｅ交 Ｂ Ｃ１ 于 Ｆ， 由三 垂 线定 理 的 逆 定 理 知 Ｂ１ ＥＡ ＿ Ｂ Ｃ１ ， 设 Ａ Ｂ＝２ ， Ｂ１ Ｂ ＝ａ， 则
（ ２ ）假 设 Ａ Ｂ１ Ａ ＿ Ｂ Ｃ１ ， 求以 Ｂ Ｃ１ 为棱， Ｄ Ｂ Ｃｌ 与 ａ ， 为 面 的二 面 角 ａ的度 数 （ １ ９ ９ ４年 全 国 高 考 试题 ） 解 ： （ １ ） 从 略
（ ２ ）过 Ａ 作 Ａ Ｅ上 Ｂ Ｃ 于 Ｅ，则 Ａ Ｅ 上 面
设 二 面 角 Ｅ一 肋 一 Ａ 的 大 小 为 ０ ，易 得 ｓ ｉ ｎ ０＝ ， 又 易知 Ｅ Ｂ ＮＩ ￣Ａ Ｂ Ｏ９所 成 的 角 为 。 ＝４ ５ 。 ， Ｅ 上Ｅ Ｄ Ｂ， 又设 Ｅ Ｄ 与 面 ＡＢ Ｅ Ｄ 所 成 的 角
又面Ａ Ｂ Ｃ上 面 Ａｘ Ａ Ｇ Ｃ１ ， 且 ＡＡｌ 上 Ａ１ Ｃ， 则
（ ２） 延 长
ｃ Ｅ交 ｃｌ Ｂｌ的 延
长 线 于 Ｄ。 连 结 Ａｌ Ｄ，由 （１ ）得 Ｄ图 ４
由公 式 （Ⅱ） 得 ｓ ｉ ｎ ２ 日 １ ＋ｓ ｉ ｎ ２ ＝ｓ ｉ ｎ ２ ９ ０ 所以 ｓ ｉ ｎ ０ ｌ ＝ ． 从而 目 １ ＝４ ５ ．
所以ｓ ｉ ｎ ０＝
从 而 ０＝６ ０ ￣
ｓ ｉ ｎ 口＝ｓ ｉ ｎ ３ ０ 。 －ｓ ４ ｉ ｎ ２ ３ ０ 。 ＝÷
所以 ｓ ｉ ｎ ｎ＝ ， 从 而 ａ＝４ ， ５ 例 ４ 如 图 ３ 。 圆柱 的轴 截 面
Ａ／ Ｋ／ ） 是 正 方
Ｄ
例 ２ Ｒｔ ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｃ ＝２ ４ ｃ ｒ ｎ ， Ｂ Ｃ ＝７ ｃ ｒ ｎ ， 过斜边 Ａ Ｂ 作 平 面 ａ与 平 面 Ａ Ｂ Ｃ成 ３ ０ ＊ 角， 求 ｃ
到 平 面 ａ的 距 离 ．
形。 点 Ｅ 在 底 面 的圆周 上， Ａ Ｆ上 Ｄ Ｅ， Ｆ 是垂 足 （ １） 求 证 ：
ＡＦ上 Ｄ８
Ａ
解 ： 设 所 求 距 离 为 ｈ， 则 由公 式 （ Ⅱ） 得
（ 刍 ） ＋ （ 号 ） ｓ ｉ ￣ ３ ｏ 。
解 之 得： ｈ ＝ 巽＝ ３ ． ３ ６ （ ｃ ｒ ｎ ）
故 ＡＤ Ｓ＝９ ０ ＊ ， 所以平面 Ａ Ｂ Ｃ上 平 面 Ｓ Ｂ Ｃ， Ａ Ｄ
上平面 Ｓ Ｂ Ｃ．
练习 ： 已知 正 方 体
一Ａｌ Ｂｌ Ｃｌ Ｄ１的 棱
长为 ａ ， 试求 （ １ ） Ｂｌ 到 平面 Ｂ Ｃ ｌ Ａｌ 的距 离 ； （ ２ ）
下列 异 面直 线 的距 离 ： ① Ｄｌ Ｂ 与 Ｃｌ Ｃ； ② ＡＣ 与
ｓ
又Ａ Ｂ＝√ ＾ ｃ 一Ｂ ｃ ＝√（ ２ ） 一 ２ ２ ＝ ２
所 以 ｓ ｉ ｎ Ｌ ＡＩ ＡＢ ＝ ｓ ｈ ｎ Ａ１ Ｂ Ａ ＝
ｒ ＿ — — — — —— — — 一
ｍ ＿ ２ Ｃ４ ｌ Ｃｌ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｌ ａ） Ｃｌ ＝（ ｓ ｉ ｎ ２ ＬＣ Ｄ Ａｌ ＋
求 的有 关 空 间 角和 空 间距 离 ， 举例如下 ． 例 ｌ Ｒｔ △ ＡＢ ｃ 的斜 边 Ａ Ｂ 在 平 面 ｄ 内。 Ａ Ｃ， Ｂ Ｃ 分 别 与 平 面 ａ成 ３ ０ 角和 ４ ５ ＂ 角， 求 平 面
ｎ
又 肋 ＝Ｃ １ Ｄ ＝， ／ ｇ ， 所 以 ｃ１ Ｄ ＋／ ３ Ｄ ＝
设 Ｐ Ｅ 为 ｚ， 贝 ４Ｃ Ｅ ＝Ｐ Ｅ ＝ｚ， Ｂ Ｅ ＝√ ２ 口一 ．
Ｅ ＝ １
未
匆
二
。 ｃ 的 距 离 ， 故 异 面 直 线 ｓ Ｂ 、 Ａ Ｃ 的 距 离 为 学 ｎ
解 法 ２ ：由
已知可 得 两个 全
Ａ
等 的等 腰 直 角 三
誓一
牧
角 形 ＡＢ Ｃ 和 三
（Ｉ ）
￣Ｚ Ｘ Ａ ／ ３ Ｃ中， ∞ ＝
在 Ｒｔ ｚ ｘ （ ｘ ］ Ｄ中， ∞ ：Ｃ Ｄ． ｓ ｉ ｎ 口：ａ ｂ ｓ ｉ ｎ Ｃｓ ｉ ｎ 口
所以 ｓ ｉ ｎ Ｚ Ｏ ｌ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｏ ： ＝（ ） ＋（ ） ２ ＿
（ ＋ ） （ａ ｂ ｓ ｉ ｎ ｃ） ２ ｓ ｉ ｎ ２ ８ ＝ ・
詈 （ Ｘ － 等 ｎ ） ＋ 詈 ｎ ≥ 詈 ｎ ２ ， 所 以 当 ｚ ＝ 等 。
时， Ｐ Ｆ 的 最 小 值 为 ｎ， 它就 是 异 面 直 线 Ｓ Ｂ 与
ＡＣ 的 距 离 ．
平 面Ａ Ｂ Ｃ与 平 面 Ｓ Ｂ Ｃ 所 成二 面 角 的平 面 角 ， 且
ＡＤ＝ 印 ： Ⅱ． 在 ／ ＇ ＡＤ Ｓ 中， Ａ Ｄ ＋ ） ２ ＝口 ．
在Ａ Ｃ上 任 取 一 点 Ｐ， 在平 面 Ａ Ｂ Ｃ 中过 Ｐ 作Ｐ Ｅ上 １ ３ ￣ ７ ， 在平面 Ｓ ／ ３ Ｃ 中 过 Ｅ作 Ｅ Ｆ上 Ｓ Ｂ． 垂
Ｄ１ Ｂ； ③Ａ Ｃ与 Ｂ Ｃ１
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４ ４・ 重庆
（ 数学教学通讯） ２ ∞０ 年 第 ４期 （ 总第 １ ２ ５期 ）
ＡＢ ＝ ｃ． １ ３ ￣ ７＝ ａ， Ｃ Ａ ＝ ｂ．
在 一定 的 条件 下 ， 应用 公 式 （ Ｉ） ． （ Ⅱ） 可直 接 求 出 有 关 空 间 角 和 空 间距 离 ． 而 不 需 作 出 所
足 为 Ｆ， 因为 Ｐ Ｅ／ ／Ａ Ｄ． 所 以 Ｐ Ｅ上 平 面 ｓ 配 ， Ｐ Ｅ上 ｓＢ， 连 Ｐ Ｆ， 则 Ｐ Ｆ 为平 面 ｓ 配 的斜 线 ， 由 于它 的射 影 Ｅ Ｆ上 ｓ Ｂ， 所以 Ｐ Ｆ上 ｓ Ｂ， Ｐ Ｆ 即 为 Ａ Ｃ上 任 意 一点 Ｐ到 ｓ Ｂ的距 离 ． ，
（ １ ）求 证 ： 皿 ＝Ｅ Ｂ， （ ２）若 Ａ Ａ１ ＝Ａ１ Ｂ， 求 平 面 Ａ１ 与 平 面 Ａ１ Ｂｌ ｃｌ 所 成二 面 角 （ 锐角 ） 的度 数 （ １ ９ ９ ６年 全 国
解 之得 ｎ＝ √ ２ ， 从而 Ｂ Ｃ， ＝ ， ／ ｇ
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角形 ￥ １ ３ Ｃ，斜 边
１ ３ ￣ ７＝ √ ２ ｎ． 设 １ ３ ￣ ７ ｓ
图 ３ Ｃ
ｎ—ｚ） ， 在 Ｒｔ ＡＰ Ｅ Ｆ 中，
ｐ Ｆ２ ＝ ｌ Ｅ ２ ＋Ｅ Ｆ ２ ：ｚ ２ ＋
２ 一 √ 互 ＋ａ ２ ＝
的 中 点 为 Ｄ。连
Ａ Ｄ、 印 。 则 ＡＤ上 １ ３ ￣ ７ ． 印 上１ ３ ￣ ７ ， 所 以 ＡＤ Ｓ 为