高阶差分方程

第六章 高阶差分方程
在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。

这样便引出了二阶差分方程。

严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。

Δ2y t
读作y t 的二阶差分。

而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：
Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t
因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。

因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。

类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。

我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。

为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。

但对常数项和可变项两种形式，均作考察。

具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
一类简单的二阶差分方程的形式为：
y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。

二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。

特别积分是
1,1212
1-≠+++=
a a a a y c p
6.2
2,1,212
11-≠-=++=
a a a a y
t c
p
6.2’ 2,1,2
1212
-=-=+=
a a a t y
c p
6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程
y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。

因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。

我们的任务便是确定A 和b 的值。

将试探解代入简化方程，方程变成 Ab t+2+a 1Ab t+1+a 2Ab t ＝0 或在消去（非零）共同因子Ab t 后，有b 2+a 1b+a 2＝0 6.3’ 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。

它具有两个特征根：
2
4,2
2
1
12
1
a a
a b
b -±-=
6.4
对解Ab t 中的b 而言，上述每个根都是可接受的。

事实上，b l 和b 2均应在齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。

与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。

第一种情况（不同的实根）：当a 12＞4a 2时，b 1和b 2为不同的实根。

在这种情况下，b 1t
和b 2t 线性无关，余函数可以简单地写成b 1t 和b 2t 的线性组合，即y c =A 1b 1t +A 2b 2t 。

6.5
第二种情况（重实根）：当a 12＝4a 2时，特征根为重根：b （＝b 1＝b 2）＝-a 1／2。

现在若将余函数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合并为一项：A 1b 1t +A 2b 2t ＝（A 1+A 2）b t ≡A 3b t 此式无效，因为现在缺一个常数。

为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应与A 3b t 项线性无关），还需要以变量t 乘b t 这个老方法。

这样这个新的项可取A 4tb t 形式。

它与A 3b t 项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给A 3b t 项加上一个常系数而得到A 4tb t 。

A 4tb t 像A 3b t 一样，确实可以作为简化方程的解这一事实，可以很容易得到验证：只需将y t =A 4tb t [和y t+1=A 4（t+1）b t+1等]代入简化方程，便可以看到该方程是一个恒等式。

因此，重实根情况下的余函数为：
y c =A 3b t +A 4tb t 6.6 例：求下列方程的通解 （1）1416
101
2
=+-++y
y
y t
t t ； （2）12561
2
=+-++y y
y
t
t t ；
（3）
82
1
2
=+
-++y
y
y
t
t t
解：（1）
1416
10
1
2
=+-++y
y
y
t
t t
该方程的特别积分为：
216
10114
=+-=
y
p
该方程的特征方程为：b 2-10b+16=0，所以特征根为：
8,22
6
10216410010,21=±=⋅-±=
b b
所以，)8()2(21t t c
A A y += 因此，方程的通解为2)8()2(21++=t t t
A A y
若给定y 0=10和y 1=36，可求出该方程的特解： 令t=0和t=1则：222102010
)8()2(++=++=A A A A y 2282)8()2(2
1
1
2
1
1
1
++=++=A A A A y
按照初始条件，令y 0=10和y 1=36，则
A 1+A 2+2=10 2A 1+8A 2+2=36
联立方程求解A 1＝5和A 2=3，最后把它代入通解中可得特解：235)8()2(++=t t t
y
（2）12561
2
=+-++y y
y
t
t t
该方程的特别积分为：t t y p
36
212-=-=
该方程的特征方程为：b 2-6b+5=0，所以特征根为：
5,12
4
6254366,2
1
=±=⋅-±=
b
b 所以，)5()5()1(2121t t t
c A A A A y +=+= 因此，方程的通解为t t
c
A A y 3)5(2
1
-+=
(3)821
2
=+
-++y
y
y
t
t t
该方程的特别积分为：t t y p
2242
8==
该方程的特征方程为：b 2-2b+1=0，所以特征根为：
12
2
2144221==⋅-±=
=b b 所以，t t A A A A y t t c
2121)1()1(+=+= 因此，方程的通解为t A A y
t c
2
2
1
4++=
第三种情况（复数根）：当a 12＜4a 2时，b 1和b 2为一对共轭复数根。

具体地，根的形式为h ±vi ，其中2
4,2
2
1
21
a a a
v h -=
-= 6.7
因此，余函数变成：y c =A 1b 1t +A 2b 2t =A 1(h+vi)t +A 2(h-vi)t
上式表明，解释y c 并不容易。

但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。

具体如下。

若将v=Rsin θ，h=Rcos θ，则共轭复数可以变换如下：h ±vi ＝Rcos θ±Risin θ＝R （cos
θ±isin θ）。

进而，由欧拉关系（即e i θ=cos θ+isin θ，e -i θ
=cos θ-isin θ）可再写成h ±vi
＝Re ±i θ。

则相应地（h+vi ）n ＝(Re i θ)n =Re in θ类似地，（h-vi ）n ＝(Re -i θ)n =R n e -in θ。

所以(h ±vi)n ＝[R(cosn θ±isinn θ)]n ＝R n (cosn θ±isinn θ)，此即为棣莫弗定理。

根据棣莫弗定理，可以写出(h ±vi)t ＝[R(cosn θ±isinn θ)]t ＝R t (cost θ±isint θ)
其中，a
a a a v
h R 2
2
1
2212
24
4=
-+=
+=
， 6.8
θ为（0，2π）内的角，以弧度度量。

它满足条件：
a a a a R v and R h 2
2
1
2
141sin 2cos -==-==θθ 6.9 因此，余函数可以变换如下：
y c =A 1R t (cos θt+isin θt)+A 2R t (cos θt-isin θt)＝R t [(A 1+A 2)cos θt+（A 1-A 2）isin θt)]＝R t
（A 5cos θt+A 6sin θt) 6.10
该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。

首先，表达式cos θt 和
sin θt 巳取代了原来使用的cosvt 和sinvt 。

其次，乘积因子R t (以R 为底的指数)已取代了自然指数式e ht 。

总之，我们已由复根的笛卡尔坐标系(h 和v)转换到极坐标系(R 和θ)。

一旦h 和v 已知，则R 和θ的值可由此确定，或可由参数a 1和a 2直接确定。

例：求y t+2+1/4y t =5的通解。

这里，系数a 1＝0和a 2＝1/4，这是一个a 12＜4a 2的复根的例子。

根的实数和虚数部分分别为h ＝0，v ＝1/2。

并可得
2
10)2
1(2
=
+=
R
因为θ值可满足两个方程1sin 0cos ====R
v
and R h θθ 则θ＝π/2 因而，余函数为
)2sin 2cos (6
5
)2
1(
t t A A y
t
c
ππ+=
为求y p ，我们在完备方程中尝试常数解y p ＝k 。

这产生k ＝4，因此y p ＝4，且通解可以写成：
4)2sin 2cos (6
5
)2
1(++=t t A A y t
t
π
π 6.11
时间路径的收敛性
同在一阶差分方程中的情况一样。

时间路径y t 的收敛性仅取决于当t →∞时，y c 是否趋近于零。

因此，我们在关于t 的7个区域分布图中所了解的关于b t 式的各种图形仍可应用，尽管在这里我们必须考察两个特征根，而非一个特征根。

首先考察不同实根的情况：b 1≠b 2。

若│b 1│＞1，│b 2│＞1，则余函数中的两项A 1b 1t
和A 2b 2t 将是放大的，因此y c 必然是发散的。

相反，若│b 1│＜1，│b 2│＜1，当t 无限增大时，y c 中的两项将收敛于零，y c 也将收敛丁零。

但若│b 1│＞1而│b 2│＜1，会如何呢？在这种中间情况下，很明显，A 2b 2t 项将会“消失”，而另一项会越来越偏离零值。

由此可知，A l b 1t 最终必将控制局势，并使路径发散。

我们将绝对值较大的那个根称作强根。

由此看来，实际决定时间路径的特征，至少是关于其敛散性这一特征的是强根。

实际情况也的确如此。

因此，我们可以这样表述；无论初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于1时，时间路径将是收敛的。

读者可以验证，在两个根的绝对值都大于1或小于1的情况下(上面讨论过)，以及在一个根的绝对值恰好为1的情况下(上面未曾讨论)，这个结论都是成立的。

但要注意，尽管收敛性最终仅取决于强根，但非强根也会对时间路径施加一定的影响，至少在起始阶段是如此。

因此y t 的确切图形仍取决于两个根。

其次考察重根的情况，此时余函数包含项A 3b t 和A 4tb t 。

前者我们早巳熟悉，但对后者(它包含一个乘积因子)仍需做一点解释。

如果│b │＞1，b t 项将放大，而乘积项t 随着t 的增加，会进一步增强放大性。

另一方面，如果│b │＜1，则b t 部分(当t 增加时m 它趋于零)和t 部分变化方向相反，即t 值将会抵销而非强化b t 。

那么，哪种力量更强一些呢?答案是，b t 的衰减力量总是会超过t 的放大力量。

因此，在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于1。

例：
216
10114
=+-=
y
p
的解为：235)8()2(++=t t t y 。

其特征根分别为2和8，
瞬时均衡值为2。

因为强根的绝对值大于1，所以时间路径发散。

t t y
p
36
212
-=-=
的解为：t t
c A A y 3)5(2
1
-+=。

其特征根为1和5，还存在一
个移动均衡3t 。

因为强根的绝对值大于1，所以时间路径也发散。

现在我们考察复数根的情况。

由余函数的一般形式y c ＝R t （A 5cos θt+A 6isin θt)。

显然可知，括号中的表达式，像连续时间状态中的表达式一样，将产生一种周期性波动形式：但因在这里，变量t 仅取整数值0，1，2，…，我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集。

在每个这样的点上，直到达到下一个相关的点以前，y 值在一个完整的时期内都是有效的。

如图17.1所描述的那样，所产生的路径既不是通常的振荡形式(在紧邻的时期中，不在y p 值的上下交替)，也不是通常的波动形式(非平滑)，而是表现出一种阶梯波动。

就收敛性而言，
尽管决定性的因素实际上是R t 项，它像连续时间状态中的e ht
项一样，将确定阶梯波动在t 增加时是得到强化，还是受到削弱。

在现在这种情况下，当且仅当R ＜1时，波动才能逐渐缩减。

因为根据定义，R 是共扼复数根(h ±vi)的绝对值，所以，收敛性的条件仍是特征根的绝对值小于1。

概言之，对于特征根的所有三种情况，无论初始条件为如何，当且仅当每个根的绝对值小于l 时，时间路径将会收敛于（一个稳定的或移动的)瞬时均衡。

例y t+2+1/4y t =5和y t+2-4y t+1+16y t =0的时间路径是否收敛。

y t+2+1/4y t =5的通解为
4)2sin 2cos (6
5
)2
1(
++=t t A A y
t
t
ππ。

这里R ＝1/2，所以时间路径将收敛于一个稳定均衡(＝4)。

而y t+2-4y t+1+16y t =0的通解为：
)3
sin
3
cos
(654t t A A y
t
t
π
π
+
=，有R ＝4，所以时间路径不再收敛于均衡(＝0)。

作业
1、写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根：
（1）y t+2-y t+1+1/2y t =2； （2）y t+2+1/2y t+1-1/2y t =5； （3）y t+2-4y t+1+4y t =7； （4）y t+2-2y t+1+3y t =4
2、对上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以
及时间路径是否是放大的。

3、求第1题中方程的特别积分。

它们表示平稳均衡或移动均衡吗？
萨缪尔森乘数一加速相互作用模型
我们引用萨缪尔森教授的经典的相互作用模型，作为描述二阶差分方程在经济学中应用的一个例子。

此模型探索当加速原理与凯思斯乘数一起发生作用时，收入决定的动态过程。

此外，此模型还证明，仅仅是乘数和加速数的相互作用，就能够产生内生的周期性波动。

结构
假设国民收入Y t 由三种支出流组成：消费C t ；投资I t ；政府支出G t 。

C t 被看成上期收人Y t-1的函数，而非本期收入的函数。

为简单起见，假设C t 严格地与Y t-1成比例。

作为一个“引致”变量，投资是消费者现行支出倾向的函数。

当然．正是通过这一引致投资，加速原理才得以进入模型。

具体地，我们假设I t 与消费增量ΔC t-1＝C t -C t-1成固定比例。

而第三个支出流G t ，则可视为外生变量。

事实上，我们将假设它是一个常数，并以G 0表示之。

这些假定可以转换成如下方程组：
)
0()
()10(1
10
＞＜＜C C I Y
C G I C Y t t
t
t t
t
t
t
ααγγ---==++= 6.12 其中γ表示边际消费倾向，α表示加速数(加速系数的简写)。

因为模型中包含引致投资，
我们便得到一个描述乘数与加速数相互作用的二阶差分方程。

利用第二个方程，我们可用收入将I t 表示如下：
)()(2121Y Y Y Y I
t t t t t
-----=-=αγγγα
将此式与C t 代入第一个方程并整理，模型可以化简为一个方程
G Y Y Y t t t
021)1(=++---αγαγ
或者等价地（将下标前移两个时期）
G Y Y Y
t t t 012
)1(=++-++αγαγ 6.13
由于它是一个具有常系数和常数项的二阶线性差分方程，所以可用刚才学过的方法解之。

解法
作为特别积分，我们有
γ
αγ
αγ-=
++-=
1)1(10
G
G
Y
p
表达式1/（1-γ）只是一个乘数，但它只是在不存在引致投资时才成立。

因此，G 0/(1-γ)(外生支出乘以乘数)应在下述意义上给出均衡收入：此收入水平满足均衡条件“国民收入
＝总支出”。

然而，作为此模型的特别积分，它也给出瞬时均衡收入。

关于余函数，存在三种可能的情况。

在这里，第一种情况（不相等实根）的特征为：γ2（1+α）2＞4αγ或γ（1+α）2＞4α或γ＞4α／（1+α）2
类似地，要描述第二、三种情况的特征，我们只需将上面最后一个不等式中的＞号分别变成＝号和＜号即可。

在图17．2中，我们绘出了方程y ＝4α／（1+α）2的图形。

根据上面的讨论，恰好位于此曲线上的(α，γ)数偶属于第二种情况。

而位于该曲线上面(包含较大的γ值)的(α，γ)数偶属于第—种情况，位于该曲线下面的(α，γ)数偶属于第三种情况。

图2
这种具有图17.2的图形表示的三重分类是重要的，因为它清楚地揭示这样一些条件，在此条件下乘数与加速数的相互作用可内生地产生周期性波动。

但这种分类并未谈及Y 的时间路径的敛散性。

因此，在每一情况下，我们还需要区分衰减与放大两种子情况。

当然，我们可以通过引用一些数字例子来简单地说明这种子情况，这是处理这一问题的简单方式。

不过我们还是设法求出收敛性和发散性的一般条件；尽管这很麻烦，但却更有价值。

收敛性与发散性
该模型的差分方程具有特征方程：b 2-γ（1+α）b+αγ＝0，它产生两个根：
2
4)1(,)
1(2
22
1
αγ
αγαγ-±
+=
+b
b
因为收敛性与发散性取决于b 1和b 2的值，又因为b 1和b 2值取决于参数α和γ的值，所以，收敛与发散的条件应当可以用α和γ值表示。

为此，我们可以利用这一事实；两个特征根总可以通过如下两个方程联系起来：
b 1+b 2＝γ（1+α） 6.15 b 1b 2＝αγ 6.15’ 在这两个方程的基础上，我们可以观察到 （1-b 1）（1-b 2）＝1-（b 1+b 2）+b 1b 2＝1-γ（1+α）+αγ＝1-γ 6.16 鉴于模型设定0＜γ＜1，有必要对这两个根施加条件0＜（1-b 1）（1-b 2）＜1 6.17
γ边际消费倾向
现在，我们来考察第一种情况下的收敛性问题，其中两个根为不同的实根。

因为根据假设，α和γ均为正，这表明b1b2＞0，这意味着b1和b2具有相同的代数符号。

进而，因为γ（1+α）＞0，所以，表明b1和b2必为正。

因此，在第一种情况下，时间路径y t不会产生振荡。

尽管已知b1和b2的符号，但在第一种情况下至少存在5种（b1，b2）值的组合，每种组合关于α和γ的对应值如下：
(i)0＜b2＜b1＜1→0＜γ＜1；αγ＜1
(ii)0＜b2＜b1＜1→γ＝1
(iii)0＜b2＜1＜b1→γ＞1
(iv)1＝b2＜b1→γ＝1
(v)1＜b2＜b1→0＜γ＜1；αγ＞1
i可能性(其中b1和b2为正分数)完全满足条件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并与模型设定0＜γ＜l一致。

在此可能性下，两根之积必然也为正分数，这意味着αγ＜1。

相反，下面的三种可能性都违背条件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并产生不可接受的γ值，因此，必须将它们排除掉。

但可能性v是可接受的。

由于b1和b2均大于1，0＜（1-b1）（1-b2）＜1仍然得到满足，但这次，由关于b1和b2乘积取值的公式，我们有αγ＞1(而非αγ＜1)。

结果在第一种情况下，只有两种可接受的子可能性。

第一种子可能性(可能性i)包含分数根b1和b2，因而产生了y的一个收敛时间路径。

另一种子情况(可能性v)的根大于1，因而产生一个发散的时间路径。

但就α和γ的值而言，收敛性与发散性的问题仅取决于αγ＜1还是αγ＞1。

这个结论概括在下表中最上面的部分，其中收敛的子情况标为1C，发散的子情况标为1D。

对于第二种情况——重根的分析，实质是类似的。

现在根为b＝γ（1+α）／2，其符号为正，因为α和γ均为正。

因此仍然不存在振荡。

这里我们只需将b值分为三种可能性：(vi)0＜b＜1→γ＜1；αγ＜1
(vii)b=1→γ=1
(viii)b＞1→γ＜1；αγ＞1
在可能性vi，b(=b1=b2)为正分数，因此，关于α和γ的含义与第一种情况下可能性i 的情形完全一致。

与此类似，可能性viii(其b(=b1=b2)大于1)与可能性v的结果相同。

而可能性vii违背0＜（1-b1）（1-b2）＜1，必须被排除，所以只有两种可接受的子情况。

第一种子情况(可能性vi)产生一个收敛的时间路径，而另一种子情况(可能性viii)则产生一个发散的时间路径。

关于α和γ，收敛与发散的子情况仍然是分别与αγ＜1和αγ＞1相联系的。

这些结论列在下表的中部，其中两种子情况分别标为2C（收敛）和2D(发散)。

表1 萨缪尔森模型的各种可能情形
最后，在第三种(复根)情况下，我们得到阶梯波动，因而具有内生的商业周期。

在此情
况下，我们应当考察绝对值a R 2=作为判定收敛性与发散性的线索，而a 2则是差分方程中
y t 项的系数，在本模型中，我们有αγ=R ，它产生如下三种可能性：
(ix)R ＜1→αγ＜1 (x)R=1→αγ=1 (xi)R ＞1→αγ＞1
尽管上述几种可能性都是可接受的，但仅有R ＜1这种可能性具有收敛的时间路径，在表中列为子情况3C 。

而另外两种情况在上表中一并标为子情况3D 。

总之，由上表我们可以得出结论：当且仅当αγ＜1时，可以得到收敛的时间路径。

用图形小结上述分析结果
上述分析采用了较为复杂的情况与子情况的分类方式。

如果我们有更为直观的分类图形表示，则会有很大的帮助。

图2便提供了这种图形表示。

在图2中，模型中所有可接受的有序偶(α和γ)的集合以各种不同的阴影矩形面积来表示。

因为要排除γ＝0和γ＝1的值，正如要排除到α＝0的一样，所以阴影的面积是一种无边的矩形。

我们已绘出方程γ＝4α／(1+α)2的图形，以区分表1中的三种主要情况：在曲线上的点属于第一种情况；位于曲线北面上的点(表示较大的γ值)属于第二种情况；位于曲线南面的点(表示较小的γ值)则属于第三种情况。

为区别收敛与发散的子情况，我们现在加上αγ＝1的图形(等轴双曲线〕，作为另一条分界线。

位于该等轴双曲线北面的点满足不等式αγ＞1，而位于该曲线下面的点则对应于αγ＜1。

这样就可能很容易区分子情况了。

在第一种情况下，位于双曲线下面的虚线阴影区域，对应于子情况1C ，而实线阴影区域则与子情况1D 相联系。

在第二种情况下，即点位于曲线γ＝4α／(1+α)2的情况下，子情况2C 包括该曲线向上倾斜的部分，而子情况2D 则对应该曲线向下倾斜的部分。

最后，对于第三种情况，等轴双曲线用于区分小点阴影区域(子情况3c)和小石子阴影区域(子情况3D)。

其中3D 也包含位于等轴双曲线上的点本身，因为设定的是弱不等式αγ≣1。

因为图2包含了模型中所有定性的结论，所以如果给定任意有序偶(α，γ)，通过在图形中绘出该有序偶，我们总可以在图形上找到正确的子情况。

例1 若加速数为0.8，边际消费倾向为0.7，会产生何种相互作用的时间路径?有序偶(0.8，0.7)位于小点阴影区域内，属于子情况3C ，因此时间路径以衰减的阶梯波动为特征。

例2 α＝2和γ＝0.5表明哪类相互作用的时间路径?有序偶(2，0.5)恰好位于等轴双曲线上，属于子情况3D 。

Y 的时间路径仍表现出阶梯波动，但它既非放大，亦非衰减。

将其与均匀振荡和均匀波动的情形相比较，我们可以将这种情形称之为“均匀阶梯波动”。

但是，后一种情况下的均匀特征一般不能期望它是完美的，因为类似于图1中的图形，我们只能采纳那些对应于t 的整数值的在正弦或余弦曲线上的点，但在每一波动周期中，这些t 值可能会碰到曲线上完全不同的点。

1、参见图17.2，求下列每组α和γ值所属的子情况，并定性地描述相互作用的时间路径。

（1）α=3.5，γ=0.8； （2）α=0.2，γ=0.9； （3）α=2，γ=0.7； （4）α=1.5，γ=0.6；
2、由上题（1）和（3）部分所给出的α和γ值，求每一情况下特征根的数值，并分析时间路径的性质。

你的结果与前面获得的结果一致吗？
3、验证第一种情况下的可能性ii ，iii 和iv ，意味着不可接受的γ值。

4、证明在第三种情况下，我们不会遇到γ≣1的情形。

离散时间条件下的通货膨胀与失业
前面在连续时间框架下讨论的通货膨胀与失业的相互作用，也可以在离散时间条件下加以表达。

在本节，我们将使用基本相同的假设，描述如何将模型重构为差分方程模型。

模型
前面的连续时间公式由三个微分方程构成
p=α-T-Βu+hπ（预期增加的菲力普斯关系）
dπ/dt=j（p-π）（适应性预期）
dU/dt=-k（m-p）（货币政策）
三个内生变量均为现值：p(实际通货膨胀率)，π(预期通货膨胀率)，U(失业率)。

在模型中出现6个参数，参数m(名义货币增长率，或者货币扩张率)与其它参数的不同之处在于其大小是由政策决定的。

当把上述方程纳入时期分析模式时，菲利普斯关系变成：
p t=α-T-βU t+hπt（α，β＞0；0＜h≢1） 6.17 在适应性预期方程中，导数必然为差分方程所取代：
πt+1-πt=j（p t-πt）（0＜j≢1） 6.18 同理，货币政策也将变成
U t+1-U t=-k（m-p t+1）（k＞0） 6.19 这三个方程构成了通货膨胀——失业模型的新形式。

以p为变量的差分方程
作为分析新模型的第一步，我们仍设法将模型化简为一个具有单一变量的方程。

令该变量为p。

相应地，我们把注意力集中于新的菲利普斯关系。

但是，因为这个方程不同于其它两个方程，它本身不能描述一种变化模式，因而需要我们来创造这样一种模式。

我们可以通过对p t取差分，即取p t的一阶差分来做到这一点。

根据定义
Δp t≡p t+1-p t
取一阶差分需要两个步骤：首先，将菲利普斯关系公式中的时间下标前移一个时期，得到
p t+1=α-T-βU t+1+hπt+1 6.17’然后用p t+1减p t，可得到p t的一阶差分，它能够描述所需的变化模式：
p t+1-p t=-β（U t+1+U t）+h（πt+1-πt）
=βk（m-p t+1）+hj（p t-πt） 6.20 注意在(6.20)的第二行，(6.18)和(6.19)的变化模式都已被纳入到p变量的变化模式中去了。

因此，该式包容了本模型的所有信息。

但是，πt项对p研究无关紧要，需将其从上述方程中剔除。

为此，我们利用这一事实hπt=p t-（α-T）+βU t 6.21 将该式代入上式，合并同类项，得到
（1+βk）p t+1-[1-j（1-h）]p t+jβU t=βkm+j（α-T） 6.22 但现在又出现了一个有待于删除的U t项。

为此，差分(6.22)以得到（U t+1-U t）项，然后
再利用(6.19)消去（U t+1-U t ）。

只有经过这样一个冗长的代换过程，我们才能得到所求的仅含p 变量的差分方程，经过标准化后，其形式为
c t t t k km j a k h j a k k j hj p p p βββββ+=+--+++-++-++11)1(11)1)(1(12112 6.23 p 的时间路径
由该标准化的差分方程给出的p 的瞬时均衡值为
m kj
km j c
P a a ==++=ββ211 因此，同连续时间模型中的情况一样，均衡的通货膨胀率恰好等于货币扩张率。

至于余函数，依a 12和4a 2的相对大小而定，会产生不同的实根(第一种情况)，重根(第二种情况)．或者复根(第三种情况)。

在本模型中
)1()]1(1[44)]1)(1(1[2221k h j iff k j hj a a ββ+⎪⎩
⎪⎨⎧--<=>⎪⎩⎪⎨⎧<=>+-++ 6.24 比如，如果h=1/2，j ＝1/3，βk=5，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=61522
1
a ，而4a2＝20，那么便出现第一种情况。

但若h ＝j ＝1，则a 12＝4，而4a 2＝4(1+βk)>4，那么便会产生第三种情况。

然而，考虑到本模型中包含较多的参数，不可能像萨缪尔森模型中那样，构建一个如17．2那样的分类图形。

不过，收敛性的分析仍可按上一节的路线来进行。

具体地，两个特征根bl 和b2之和与之积必定满足下列数量关系：0111121>-+++=-=+j k
hj a b b β 6.25 )1,0(1))1(1221∈+--=
=k
h j a b b β 6.25’ 进而，在本模型中我们有 01)(1)1)(1(212121>+=++-=--k
jk b b b b b b ββ 6.26 现在考察两个根b l 、b 2为不同实根的情况。

因为积b 1b 2为正，所以b l 与b 2必取相同的符号。

进而，因为b l 与b 2的和为正，所以它们必然均为正，这意味着不会产生振荡。

由(6.26)我们可以推断b 1与b 2均不等于1，否则(1-b 1)(1-b 2)将会等于0，与不等式所表明的含义相违。

这表明，按照在萨缪尔森模型中所列举的关于(b l ，b 2)组合的各种可能性，这里不会出现可能性ii 和iv 。

一个很大于l ，另一个根小于1的情形也是不可接受的，否则，(1-b 1)(1-b 2)将为负。

因此可能性iii 也被排除了。

由此可知，b 1与b 2或者二者均大于l ，或者均小于1。

然而，若b 1＞l ，b 2＞1(可能性v)，将违背二者乘积小于1的假设，结果，最终只有可能性i ，即b 1，b 2均为正分数，从而p 的时间路径为收敛的情况能够存在。

对第二种情况的分析并没有什么根本的不同。

通过同样的推理，我们可以断定重根b 在本模型中只能为正分数；即可能性vi 是可接受的，但可能性vii 和viii 则不成立。

在第二
种情况下，p 的时间路径依然是非振荡且收敛的。

至于第三种情况，收敛性要求R(复根的绝对值)小于1。

根据a R 2=，由于a 2为正分数[见b 1b 2的表达式]，所以确实有R ＜1。

因此，在第三种情况下，p 的时间路径也是收敛的，尽管这次会出现阶梯被动。

关于U 的分析
如果要分析失业率的时间路径，我们可以以货币政策影响失业的表达式为出发点。

为排除方程中的p 项，我们首先代p t+1以得到
（1+βk ）U t+1-U t =k （α-T-m ）+kh πt+1 6.27 其次，为代换另一个方程作准备，我们对该式取差分以求得
（1+βk ）U t+2-（2+βk ）U t+1+U t =kh （πt+2-πt+1） 6.28 鉴于方程右边存在π的差分表达式，我们可以用一个前移形式的适应性预期方程来代替它。

结果
（1+βk ）U t+2-（2+βk ）U t+1+U t =khj （p t+1-πt+1） 6.29 本模型中的所有信息均包含在此方程中。

然而，在适当的关于U 的差分方程产生以前，我们必须先剔除p 和π变量。

为此，由(6.19)我们注意到
kp t+1=U t+1-U t +km 6.30 进而，以（-kj ）通乘(6.21)，并前移时间下标，我们可以写成
-kjh πt+1=-kjp t+1+kj （α-T ）-βkjU t+1
=-j （U t+1-U t +km ）+kj （α-T ）-βkjU t+1（由6.30）
=-j （1+βk ）U t+1+jU t +kj （α-T-m ） 6.31
这两个结果以U 变量来表示p t+1和πt+1，可以使我们将其代(6.29)，最终得到仅有U 变量的差分方程：
k
m h T kj k h j k k j hj U U U t t t βαβββ+---=+--+++-++-++1])1([1)1(11)1)(1(112 6.32 值得注意的是，方程左边的两个常系数与p 的差分方程[如(6.23)]中的常系数是一致的。

因此，前面关于p 路径余函数的分析同样可以应用到这里。

但(6.32)右边的常数项确实有别于(6.23)中的常数项。

结果两种情况下的特别积分便不相同。

这也应当如此，除了巧合因素外，并无内在的原因可以预期瞬时的均衡失业率与均衡通货膨胀率相同。

长期菲利普斯关系
我们已经验证，瞬时均衡失业率为
])1([1
m h T U ---=αβ 但因已求得均衡通货膨胀率为m p =，我们可以通过如下方程将p U 与联系起来。