高等数学习题详解-第9章-无穷级数

习题9-1

1. 判定下列级数的收敛性：

(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞

=+∑; (3)

1

ln 1n n n ∞

=+∑; (4) 1

(1)2n

n ∞

=-∑;

(5) 1

1n n n ∞

=+∑; (6) 0(1)21

n n n

n ∞

=-⋅+∑． 解：（1

）1

1n n k S ===∑，则lim lim(11)n n

n

S n =+-=+?，级数

发散。

（2）由于

14

1

1

3

n n n n

ゥ

===+邋，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。

（3）1

1

ln

[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1n n

n k k n S n n n n n ====-+=-+=-++邋，则

lim lim[ln(1)]n n

n

S n =-+=-?，级数发散。

（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-ïï==íï=ïî

L 因而lim n n S 不存在，级数发散。

（5）级数通项为1n n u n =+，由于1

lim 10n n n

+=?，不满足级数收敛的必要条件，

原级数发散。

（6）级数通项为(1)21

n n n

u n -=+，而lim n n S 不存在，级数发散。

2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 1112

3n n n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)

11(1)(2)

n n n n ∞

=++∑; (3) 1

πsin 2n n n ∞

=⋅∑; (4) 0

πcos 2n n ∞

=∑．

解：（1）因为

11

1111

111131111(1).2

32

3

2232223n

n n

n k k k k n n

n n k k k S ===骣÷

ç=+=+=-+-=--?÷ç÷ç桫邋? 所以该级数的和为

3111

3

lim lim()

,2223

2

n n n n n S S ==--? 即

1113.2

32n n k ¥

=骣÷ç+=÷ç÷ç桫å

（2）由于

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++，则

1

1

1

111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)n

n

n k k S k k k k k k k n n ====-=-+++++++邋

所以该级数的和为 1111

lim lim [],22(1)(2)4

n n n S S n n ==-=++

即

1

11

.(1)(2)4

n n n n ¥

==++å

（3）级数的通项为sin 2n u n n p =，由于sin

2lim sin lim()

022

2

2n n n n n n

p

p p

p

p =??，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。 （4）由于

1

1 , 441cos

,0,1,2,3,;0 , 4243

2n n k n k n k k S k n k n k p -=ì==+ïï=

==íï=+=+ïîå

L 或或 因而lim n n

S 不存在，原级数发散。

习题9-2

1. 判定下列正项级数的敛散性： (1) 11(1)(2)

n n n ∞

=++∑;

(2)

n ∞

=； (3)

111n n a

∞

=+∑ (a ＞0); (4) 4

1

121

n n n ∞

=+-∑； (5) 132

n n n n ∞=⋅∑； (6) 1!

n n n n ∞

=∑; (7) 1357(21)

4710(31)

n n n ∞

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+∑L L ; (8) 1

3

n

n n

∞

=∑；

(9) 22

1(!)2

n n n ∞

=∑； (10)

121n

n n n ∞

=⎛⎫ ⎪+⎝⎭

∑; (11) π31

2

sin

n

n

n ∞

=∑; (12) 2π

31

cos 2n n

n n ∞

=∑． 解：

（1）由于211

0(1)(2)n n n <<++，而级数2

11n n ¥=å收敛，由比较判别法知11(1)(2)

n n n ¥

=++å收敛。