谈五等分圆周的数学原理

谈五等分圆周的数学原理

摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。 在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的

用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）：

1、作圆O

2、作直径MN

3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A

4、作OM 的中点P

5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交直径ＭＮ于Ｑ

6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ

长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。

7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正五边形

人们不禁要问：这种作法精确吗？是近似作法？还是精确作法？其数学原理是什么？

设图O 的半径为1，根据以上作法，则

OP=1

2，PQ=PA=

2

，QO=PQ 12

-

=

12

，所以AQ=

另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB

的中点，则A B

O ⊥，

36036

10

AOS BOS ︒

︒

∠=∠=

=，故边长

22s i A B A S

O A ︒

==。

如果我们能够证明sin 364

︒=则上述作法就是五等分圆周的尺规作

图方法，是精确作法。

下面我们推导sin 364

︒=，

因为

sin 36sin 1442sin 72cos 724sin 36cos 36cos 72

︒︒︒︒︒︒︒

===，

所以

1cos 36cos 724

︒

︒

=

。

由倍角公式，有()21cos 362cos 3614

︒︒-=，

即cos 36︒是下述三次方程

3

8410x x --=

的根。因式分解得

()()2214210x x x +--=

故方程

3

8410x x --=有下述三个根：

((

12311

1

0,10,10

2

4

4

x x x =-

=

-

=

+ ，由于cos 360,︒ 舍去12,x x ，故

方程的唯一正根是cos 36︒，

所以1cos 364︒+=

，

进而sin 36︒===

由于根据作法

A B =

而已证sin 36︒=

，

所以图1中的2sin 362sin 36AB AO ︒︒==是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE 是正五边形，此种作法是精确作法。