第三讲：交流电路中的复数功率

交流电路中的复数功率

一 节点与支路的功率平衡

1 节点功率平衡－复数形式的基尔霍夫电流定律（KCL ）

通过节点i 的电流为1I 、2I ……n

I . 其正方向如图一所示（离开节点i 为正），应满足基尔霍夫电流定律：

0n

21＝＋＋＋I I I (1) 对应的共轭电流也必须是

0ˆˆˆn 21＝＋＋＋I I I (2) (2)式两端同乘以节点i 的电压i

U 得到 0ˆU ˆU ˆU n i 2i 1i ＝

＋＋＋I I I 这就是节点i 的复数功率i S 的平衡方程。

0S S S n 21=+++ (3)

根据复数功率的定义

1S = P 1 + j Q 1

2S = P 2 + j Q 2

……

n S = P n + j Q n

P i 为各支路的有功功率。 Q i 为各支路的无功功率

最后得到各支路的有功功率和无功功率平衡方程为 P 1+P 2+……P n = 0

Q 1+Q 2+……Q n = 0 (4)

这里的有功功率无功功率方向与对应的电流方向一致，均定义成离开节点i 为正，反之为负。如果屏

幕上规定的功率方向不一致，应该在前面加一负号才能满足（4）式给出的平衡方程。

2 支路功率平衡—复数形式的欧姆定律与电功率

电力系统中联络线的模型通常用π 型等值电路表示，如图2所示。

Z

I j i U U -＝ Z ＝R +j X 线路的电阻与电抗，

j B = 1/j X c 为线间电容对应的电纳，分别挂在线路的两侧各为j B /2。 支路功率方向的规定如图2所示。

支路功率平衡的意义是建立在能量守恒的基础上的，即输入线路的视在功率S i =P i +j Q i .应等于节点j 侧输出的视在功率S j =P j ＋j Q j 加上线路的损耗与充电无功功率： P i = P j + ΔP ij (5) Q i = Q j + ΔQ ij 其中： ΔP ij = I 2R

ΔQ ij = I 2X – U 2B (6)

I 为通过R +j X 阻抗的电流，U 为联络线路的平均电压，X I 2为联络线路电抗的无功损耗，B

U 2为线间电容的充电无功，二者差一负号，它与支路传送功率的大小无关，只与电压有关，而运行中电压变化不大，这一批无功损失近似不变。近似

由公式(5)可看出，支路有功功率的平衡关系为: R I P P j i 2

+=

输入支路的有功功率P i 必然大于支路末端流出去的有功功率P j , 二者差值为线路电阻损失I 2R ，而且高压线路的电阻很小，ΔP ij = I 2R 也很小，与P i 与P j , 近似相等，P i 略大于P j 。

支路的无功功率平衡关系为： Q i = Q j + I 2X – U 2B （7）

因为线路充电无功B U 2

的存在，使得支路无功功率的平衡关系变得复杂起来，输入支路的无

功Q i 不一定大于支路末端流出去得无功功率Q j ；当线路送得功率不多，使得电抗造成得无功损失I 2X 与充电无功U 2B 抵消时，Q i 与Q j 相等，这时线路不增加新的无功损耗。而I 2X < U 2B 时，Q i 会小于Q j ，在支路不输送功率，I = 0的情况下支路会变成一个无功补偿源，详细说明如下：

Q i = Q j – U 2B 即 U 2B = Q j – Q i , 由支路ij 发出的无功功率等于从支路两侧送入系统的无功，Q i 方向为从I 到J 因此差一负号。

特殊情况下，当i 侧开关断开。Q i =0则得到

Q j = U 2B ，相当于在母线j 节点上接一个补偿电容器，它发的无功从节点j 流入系统。

二 电力系统分析中的功率－复数功率

如果电路中的某节点（母线）电压为U

，与节点相连的支路电流为I ，其共轭电流为I ˆ，并假定负载为感性负载，电流落后与电压的角度为φ。如图3.1所示。

那么，该支路的复数功率为：

jQ P jUI UI j UI I U

S +=+=+==ϕϕϕϕsin cos )sin (cos ˆ 其中：

S=UI 该支路的视在功率，它是复数功率的模（幅值） P=UIcos φ 为该支路的有功功率，它是复数功率的实部 Q=UIsin φ 为该支路的无功功率，它是复数功率的虚部

有功功率与无功功率的计算也可以理解为， 将电流分解成有功分量与有功分量：I p 与 I Q ，如图3a 所示，再与电压相乘得到。

Q

P jI I I += 或（Im Re jI I I += ） I p ＝Icos φ I Q ＝Isin φ

P ＝U I p ＝UIcos φ

Q ＝U I Q ＝UIsin φ 结果同上。

视在功率与有功功率、无功功率都是代数量（标量），不是向量，没有方向，因此也没有相角。视在功率S 这一代数量，它是复数功率的模（幅值）；视在功率永远是正值，因为复数电流、电压的模（幅值）均为正值，他们的乘积必然是正值。而有功功P 率与无功功率Q 却有正、有负，由

cos φ与sin φ确定。因为φ可能在00－3600

之间变化， cos φ与sin φ有正、有负。有些公司的电器产品，将有功功率的正、负当作视在功率的正、负是不严格的。

复数功率S 是复数，是向量；它与电流、电压向量类似，可以是复平面上的任意角度，不能简单地用“正、负”关系来表示。又与电流、电压向量不同，电流、电压是时间的正弦函数，是旋转向量。三相复数功率S 却不是时间的正弦函数，不是旋转向量，因此S 的上方不是用点（.）而是用横线（－）作标识。复数功率是一个交流电路中有关功率的辅助计算量，它将视在功率、有功功率、无功功率与功率因数统一为一个公式表示，由复数电压与共轭复数电流相乘得到。

总之，复数功率S 是复数、是向量，但不是旋转向量，它的大、小为电压与电流有效值的乘积

UI （即视在功率），相角为电压U

与共轭电流I ˆ的相角差φ, 而且相角的基准永远是复平面的实轴，与电压的初相位无关, 如图3.2所示。

通常电网中节点（母线）电压变化不大，可以认为复数功率与电流成正比，但是相位与电流不一定相同。在上例中如图3.4所示，电压的相位为零（00），视在功率恰好与电流同相位。如果电压的相位为不是零，而是δ， 如图3c 所示，那么电流的相位将不是φ，而是(φ-δ), 但是复数功率