第三讲：交流电路中的复数功率

交流电路中的复数功率
一 节点与支路的功率平衡
1 节点功率平衡－复数形式的基尔霍夫电流定律（KCL ）
通过节点i 的电流为1I 、2I ……n
I . 其正方向如图一所示（离开节点i 为正），应满足基尔霍夫电流定律：
0n
21＝＋＋＋I I I (1) 对应的共轭电流也必须是
0ˆˆˆn 21＝＋＋＋I I I (2) (2)式两端同乘以节点i 的电压i
U 得到 0ˆU ˆU ˆU n i 2i 1i ＝
＋＋＋I I I 这就是节点i 的复数功率i S 的平衡方程。

0S S S n 21=+++ (3)
根据复数功率的定义
1S = P 1 + j Q 1
2S = P 2 + j Q 2
……
n S = P n + j Q n
P i 为各支路的有功功率。

Q i 为各支路的无功功率
最后得到各支路的有功功率和无功功率平衡方程为 P 1+P 2+……P n = 0
Q 1+Q 2+……Q n = 0 (4)
这里的有功功率无功功率方向与对应的电流方向一致，均定义成离开节点i 为正，反之为负。

如果屏
幕上规定的功率方向不一致，应该在前面加一负号才能满足（4）式给出的平衡方程。

2 支路功率平衡—复数形式的欧姆定律与电功率
电力系统中联络线的模型通常用π 型等值电路表示，如图2所示。

Z
I j i U U -＝ Z ＝R +j X 线路的电阻与电抗，
j B = 1/j X c 为线间电容对应的电纳，分别挂在线路的两侧各为j B /2。

支路功率方向的规定如图2所示。

支路功率平衡的意义是建立在能量守恒的基础上的，即输入线路的视在功率S i =P i +j Q i .应等于节点j 侧输出的视在功率S j =P j ＋j Q j 加上线路的损耗与充电无功功率： P i = P j + ΔP ij (5) Q i = Q j + ΔQ ij 其中： ΔP ij = I 2R
ΔQ ij = I 2X – U 2B (6)
I 为通过R +j X 阻抗的电流，U 为联络线路的平均电压，X I 2为联络线路电抗的无功损耗，B
U 2为线间电容的充电无功，二者差一负号，它与支路传送功率的大小无关，只与电压有关，而运行中电压变化不大，这一批无功损失近似不变。

近似
由公式(5)可看出，支路有功功率的平衡关系为: R I P P j i 2
+=
输入支路的有功功率P i 必然大于支路末端流出去的有功功率P j , 二者差值为线路电阻损失I 2R ，而且高压线路的电阻很小，ΔP ij = I 2R 也很小，与P i 与P j , 近似相等，P i 略大于P j 。

支路的无功功率平衡关系为： Q i = Q j + I 2X – U 2B （7）
因为线路充电无功B U 2
的存在，使得支路无功功率的平衡关系变得复杂起来，输入支路的无
功Q i 不一定大于支路末端流出去得无功功率Q j ；当线路送得功率不多，使得电抗造成得无功损失I 2X 与充电无功U 2B 抵消时，Q i 与Q j 相等，这时线路不增加新的无功损耗。

而I 2X < U 2B 时，Q i 会小于Q j ，在支路不输送功率，I = 0的情况下支路会变成一个无功补偿源，详细说明如下：
Q i = Q j – U 2B 即 U 2B = Q j – Q i , 由支路ij 发出的无功功率等于从支路两侧送入系统的无功，Q i 方向为从I 到J 因此差一负号。

特殊情况下，当i 侧开关断开。

Q i =0则得到
Q j = U 2B ，相当于在母线j 节点上接一个补偿电容器，它发的无功从节点j 流入系统。

二 电力系统分析中的功率－复数功率
如果电路中的某节点（母线）电压为U
，与节点相连的支路电流为I ，其共轭电流为I ˆ，并假定负载为感性负载，电流落后与电压的角度为φ。

如图3.1所示。

那么，该支路的复数功率为：
jQ P jUI UI j UI I U
S +=+=+==ϕϕϕϕsin cos )sin (cos ˆ 其中：
S=UI 该支路的视在功率，它是复数功率的模（幅值） P=UIcos φ 为该支路的有功功率，它是复数功率的实部 Q=UIsin φ 为该支路的无功功率，它是复数功率的虚部
有功功率与无功功率的计算也可以理解为， 将电流分解成有功分量与有功分量：I p 与 I Q ，如图3a 所示，再与电压相乘得到。

Q
P jI I I += 或（Im Re jI I I += ） I p ＝Icos φ I Q ＝Isin φ
P ＝U I p ＝UIcos φ
Q ＝U I Q ＝UIsin φ 结果同上。

视在功率与有功功率、无功功率都是代数量（标量），不是向量，没有方向，因此也没有相角。

视在功率S 这一代数量，它是复数功率的模（幅值）；视在功率永远是正值，因为复数电流、电压的模（幅值）均为正值，他们的乘积必然是正值。

而有功功P 率与无功功率Q 却有正、有负，由
cos φ与sin φ确定。

因为φ可能在00－3600
之间变化， cos φ与sin φ有正、有负。

有些公司的电器产品，将有功功率的正、负当作视在功率的正、负是不严格的。

复数功率S 是复数，是向量；它与电流、电压向量类似，可以是复平面上的任意角度，不能简单地用“正、负”关系来表示。

又与电流、电压向量不同，电流、电压是时间的正弦函数，是旋转向量。

三相复数功率S 却不是时间的正弦函数，不是旋转向量，因此S 的上方不是用点（.）而是用横线（－）作标识。

复数功率是一个交流电路中有关功率的辅助计算量，它将视在功率、有功功率、无功功率与功率因数统一为一个公式表示，由复数电压与共轭复数电流相乘得到。

总之，复数功率S 是复数、是向量，但不是旋转向量，它的大、小为电压与电流有效值的乘积
UI （即视在功率），相角为电压U
与共轭电流I ˆ的相角差φ, 而且相角的基准永远是复平面的实轴，与电压的初相位无关, 如图3.2所示。

通常电网中节点（母线）电压变化不大，可以认为复数功率与电流成正比，但是相位与电流不一定相同。

在上例中如图3.4所示，电压的相位为零（00），视在功率恰好与电流同相位。

如果电压的相位为不是零，而是δ， 如图3c 所示，那么电流的相位将不是φ，而是(φ-δ), 但是复数功率
的相位还是φ。

于是可以得出结论：复数功率S 的相位与电压的相位无关，只与电压U
与共流I 的相角差φ有关。

计算复数功率时取共轭电流I
ˆ，也不是以复平面的实轴（1）为基准，而是以电压向量为基准，但是复数功率S 的基准却是是复平面的实轴（1）, 如图3.3所示。

需要特别说明的是：
在直流系统中由电压、电流计算功率的公式是：P=UI
而在交流系统中由电压、电流计算复数功率的公式就变1ˆI U S i =成而不是1I U S i =，
即复数功率为电压U
与共轭电流I ˆ的乘积，而不是与复数电流I 的乘积。

这时为了使得复数功率的表达式能得到按定义得出的形式，即复数功率只与电压、电流之间的
相角φ有关，而与节点电压在复平面上的初相位I
ˆ无关，如图3.3所示，因为是感性负荷，电流滞后电压φ。

j δUe U
= ϕδ-=j Ie I
（1）如果：将复数功率定义为复数电压U
与复数电流I ˆ的乘积： 1I U S i =
那么，展开后
)]}
(δ)()(δ)(j )(δ)()(δ)(UI{)]δ(j )δ(UI[UIe Ie
Ue I U S δj j δj δi ϕϕϕϕϕϕϕϕsin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos 2sin 2cos 21-++=-+-====--
这不是一个按定义得出的功率方程式，它与节点电压在复平面上的初相位2δ有关。

只有当点压
在初相位δ=00时，在潮流计算中只有一个节点，即平衡节点电压的初相位δ=00
，其它节点电压的初相位均不为零。

才有
jQ
P ]j UI[)](j )(UI[)]}()()()(j[)()()()(UI{)]}
(δ)()(δ)(j )(δ)()(δ)(UI{S -=-=-=-++=-++=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕsin cos sin cos sin 0cos cos 0sin sin 0sin cos 0cos sin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos
这才是按定义得出的功率方程式，但是感性负荷的无功变成负值。

（2）还有的文献上，将复数功率定义为共轭电压U
与复数电流I ˆ的乘积 1
ˆI U S i = 这时，功率方程式变为：
jQ P UIe Ie Ue I U S j j δj δi -====---ϕϕ1
ˆ 由此可见，这仍然是一个按定义得出的功率方程式，但是感性负荷的无功变成负值，这种复数
功率的定义在我国已经很少采用。

（3）如果：将复数功率定义为即复数功率为复数电压U
与共轭电流I ˆ的乘积 1ˆI U S i =
那么，展开后
jQ P UIe Ie Ue I U S j j j δi +====--ϕϕδ)(1
ˆ 这就是一个按定义得出的功率方程式，它与节点电压在复平面上的初相位δ无关，正是我们需
要的，它的特点是感性负荷的无功为正值，现在，复数功率的定义均采用这种形式。

3 母线功的率平衡
一条母线上有多条进出线时，如图5所示，又规定了支路上有功功率与无功功率正、负方向： 流出母线的有功功率或无功功率为正，流入母线的有功功率或无功功率为负；同一条支路的有功、无功方向可以不一致。

但是，同一条母线上所有支路上的有功功率或无功功率的代数和必然为零，也就是说所有支路上复数功率S 的代数和为零，但是视在功率代数和不一定为零，因为各条支路的功率因数角不一定相同。

这是由电路基尔霍夫电流定律所决定的。

例1已知某电厂的潮流分布如图4所示，计算各支路的复数功率与电流如下： 复数功率
1S =P 1+jQ 1 =－160－j70 =174.642e j203.629 2S =P 2+jQ 2 =－140－j50 =148.661 e j199.654 3S =P 3+jQ 3 =120+j80 =144.222 e j33.69 4S =P 4+jQ 4=100+j70 =122.065 e j33.992
5S =P5+jQ5 =80－j3 0 =85.44 e
－j20.556
母线的相电压为：
3220=127.021kV
复数电流计算公式如下
l
i
ph phi
i U S U S I ˆ3ˆˆˆ== 其中：
i
S ˆ、phi S ˆ 分别代表三相功率与单相功率 l U
ˆ、ph U ˆ分别代表线电压与相线电压 由此求得各支路的复数电流如下：
==U
S I ˆˆ11 174.642e －j203.629／3220=463.626e －j203.629 A ==U S
I ˆˆ22 148.661e
－j199.654／3220=390.3 e －j199.654 A ==U S
I ˆˆ3
3
144.222e －j33.69／3220=378.75e －j33.69A ==U
S I ˆˆ44 122.065e －j 33.992 ／3220=320.4e －j33.992 A ==U
S
I ˆˆ5
5
85.44e j20.556／3220=224e j20.556 A
图4 各支路的复数功率与电流向量图如图4.1与图4.2所示。

可以看出：该母线上5条出线的
复数功率的总和为零0=∑i S ，；电流向量的总和也为零0=∑i
I 。

节点（母线）上的复数功率平衡（总和为零），意味着能量守恒，即有功功率与无功功率在任
意节点上平衡；而电流平衡（总和为零），意味着基尔霍夫电流定律（KCL ）在电力系统分析中的体现。

四 SCADA 系统实测潮流的误差分析
通常，实际电网的SCADA 系统能给出的量测是：母线电压的幅值U 、支路电流的幅值I 、支路的有功P 、无功Q ；测不出母线电压的相角δ与支路电流的功率因数角φ。

但是通过这些已知条件首先能计算出各支路的复数功率，然后求出复数电流，这一复数电流的幅值，可以与量测得到的电流对照，检查整个量测系统的准确性; 而复数电流的相角φ，是由复数功率相角的“共轭”角(与实轴的对称角)得到。

至此，母线电压的相角δ还没有求出，它需要计算全网的潮流才能得到。

SCADA 系统已经将电力系统中的联络线两侧的电压幅值、有功功率、无功功率送到用户界面上，如何判断这些数值的正确性，成为判别SCADA 系统实用化验收的关键，也就是对实时数据进行状态估计的关键。

SCADA 系统数据的正确性，也为电力系统自动化系统高层应用中状态估计模块的应用，典定了基础。

支路两侧无功的核算方法举例
SCADA 系统对支路两侧的遥测量只有U i 、P i 、Q i 与U j , 、P j 、Q j 因此两侧的无功是否正确，不能直接看出来，只能从一侧推导出另一侧；看与遥测值是否一致。

要从哪一侧开始？应当先充节点无功功率平衡看，哪侧的无功满足公式（1），则从哪侧开始。

例如：节点i 的各路无功满足（1）式则，推算出J 侧的无功应该是由公式（7）确定：
()
2
2
222
j 22222j 22222222U B U Q P Q U U B U Q P Q U B U B U Q P Q Q i
ij ij i i i ij ij i i i ij ij i j ++-≈+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= 式中：
2
j
i U U U +=可以用U i 近似代替。

例2：双回线的功率计算与分析
在实际电网中，220KV 的双回线最多。

某电厂及其出线（双回线）的接线如图5.1所示，两条线的参数相同，实测潮流也标在图上，双回线两侧的电压相等，又因为参数相同，因此，两条线路的潮流应当完全相同。

而且，由于线损、的存在，应当是首端的有关有功、无功均大于末端。

但是图5.1显示的数值并不完全符合这一规律，
2回线的末端有功、无功均大于首端。

而且，1、2回线的功率也不相同，这是，由于量测系统的误差造成的，有时不可能避免的。

正因为这种误差的存在，使得SCADA 系统的潮流总是不收敛的。

必须有状态估计程序才能计算出合理的潮流，如图5.2所示。

我们在分析SCADA 数据的正确性时，双回线的首、末端有功、无功近似相等是主要依据，这8个数当中有任何一个偏离太大，均有可能时错的。

如果两条线路的参数不相同，那么，有功、无功的分配与阻抗成反比，即阻抗大的线路通过的功率小，阻抗小的线路通过的功率大。

在实际电网中，220KV 的双回线最多，
例3：已知某电网某时刻的实测潮流，检验神侯500KV 线路的无功在线遥测是否正确。

功率平衡计算
1神二500KV母线功率平衡。

有功功率：433－204－195= 34 MW
无功功率：220－67－90＝63 MVar
差额的有功，无功为神二厂用电，因为神二发电有功无功中包括有厂用电，经升压变送入500KV母线的潮流应该扣除厂用电，它的数值为34MW，占发电功率的7.852%，比较真实。

但是，厂用电无功数值为63 MV ar，比有功还大，该数据是错误的。

500KV线路每100公里充电无功94.75 MV Ar ，电抗值28.5欧姆，神侯线：173.8公里，电抗值为49.5欧姆，充电无功应当是164.00 MV Ar。

首端并联电抗消耗的无功为124MVar。

神候线有功的遥测数据，首端为195MW，末端为为192MW比较合理。

但是，遥测数据的无功有较大的误差，现分析如下：
（1）由始端（神侧）的无功推导到末端（侯侧）
神侧（始端）进入神侯线的复数功率：S i = P i + j Q i = 195 + j190 = 214.77e j124.77MV A
神侯线的净补偿无功为：
Q c = 164-124=40MVAr，
这说明线路电容的充电无功大于线路始端并联电抗消耗的无功，整个线路的补偿呈容性。

线路电抗消耗的无功
ΔQ =(S i/U)2X = (214/519)2×49.5 = 0.41382×49.5 = 8.476MVar
侯侧的无功应是：
Q j = Q–ΔQ c = 90–8.476 +40 = 121.524MVAr
而实际上神侯线末端的遥测值仅为Q j=48MVAr
误差Q j–Q i = 121.524－48 = 73.524 MVAr
（2）由末端（侯侧）的无功推导到始端（神侧）
末端的功率（神侯线侯侧）
S j = P j + j Q j = 192 + j48 = 197.91e j114.03（MV A）
线路电抗消耗的无功
ΔQ = (S i/U)2X =(197.9/513)2×49.5= 0.38562×49.5 = 7.366MVr
始端（神侧）的无功应是:
Q = Q j+ΔQ–Q c=48 +7.366–40=15.366 MVr，
而遥测值为Q j=90MVAr，远大于计算出的无功功率，遥测数据也有较大的误差。

2神二厂500KV母线功率平衡计算
由神二厂升压变送入500KV母线的功率为：433+j220MV A
神二厂500KV母线送出的功率为：（195+j90）+（204+j67）=399+j157MV A
500KV母线送出的有功、无功均比500KV母线送入的有功少，差额为（433+j220）-（399+j157）=34+j63MV A：这一差额为神二电厂的厂用电所致，遥测值433+j220MV A是该厂的发电功率，扣除厂用电后才是送入500KV母线的功率，该厂用电功率大约占发电功率的8% 。

由此可见，该系统SCADA的遥测数据的有功、无功均有较大的误差，必须做认真的查找与校对后才能进入状态估计程序进行计算。

参考文献：
1 丘关源主编电路（第四版）高等教育出版社 1999
2 佐治学[日]著王友功译电气电路科学出版社 2001。