数学美在解题中的应用

发现数学美运用数学美

期刊门户-中国期刊网2009-11-3来源:《中学课程辅导·教学研究》第21期供稿文/李爱红

[导读]这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。

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摘要：数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。

关键词：数学美；应用；作用

作者简介：李爱红，任教于河南省孟州市第一高级中学。

数学教学的目的是使学生掌握数学基础知识与基本技能，形成数学能力，发展个性品质和形成科学的世界观。“数学是思维的体操”，实施素质教育的主阵地在课堂，如何优化数学教学过程并提高教学效益，是近年来数学素质教育的重点研究课题，而数学的抽象性、单调性、枯燥性成为优化数学过程、推行素质教育的“绊脚石”。其实，数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美、运用数学美，带领学生进入数学美的王国，让学生在审美的愉悦中丰富想象、陶冶情操。重视数学教学中的美育，对培养学生的求异思维、超前思维、创造思维都有十分积极的意义。下面笔者就结合自己的教学实际谈谈数学美在实际生活和数学解题过程中的应用。

一、数学美在实际生活中的应用

首先，我们来简单了解数学美的含义：思维是地球上最美的花朵，而数学是锻炼思维的体操。著名数学家高斯说：“去寻求一种最美和最简单的证明，乃是吸引我去研究的动力。”所以，数学美的含义主要体现在既有情境之中的自然美，又有意料之外的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、联想美、统一美。

(1)数学图形在自然界的应用

比如蜂房，就是典型例子。从正面看，蜂巢由一些正六边形组成，每个内角都是120度。整齐的排列已令人惊奇，更有趣的是底部，由三个全等菱形拼起来，而整个蜂巢就是由两排这样的蜂房，底部与底部相嵌接而构成。不仅牢固美观，而且最省材料。18世纪初，法国马拉尔琪测量，发现所有蜂房底部菱形的一个钝角都是109°28'，另一个锐角都是其补角，即70°32’；后来数学家们经过多次极值计算，发现最省材料的角度正是是109°28'和70°32'，证明了蜜蜂是完美科学的。

(2)审美方面的应用

为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为

什么有的建筑物特别精巧？为什么弦乐器的声音好听？这些都与“黄金分割比例”有关。具体如下：当一个人从头顶到肚脐眼与下半身的比为0.618时身材就特别好看；建筑物的窗口宽与高度之比一般为0.618时显得精巧；弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。从这些例子我们可以看出建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格、音乐作品的优美节奏交融于数学的对称美、和谐美之中。

(3)健康方面的应用

例如：一个学生吃三个馒头能吃饱时，他吃两个最好，因为2：3接近于0.618,有利于肠胃的消化。当气温为22.8°C时人感到最舒服，此时23：37(体温)≈0.618。

二、数学美在数学解题中的应用

思维力是数学素质教育的核心所在，由于数学有利于逻辑思维能力的培养，为了激发学生学习的兴趣，从而推动素质教育的实施，下面简单谈谈数学美在数学解题中的应用：

(一)简洁美在解题中的应用

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简洁性的美学准则。欧拉给出的公式：V－E＋F＝2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？

简洁美在古代的应用。据说，古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟着丢番图学习数学。有一天他问老师一个问题：有四个数，把其中每3个相加，其和分别是20、22、24、27，求这四个数。丢番图提出了一个巧妙的解法，他不是分别设四个求知数，而是设四个数之和为x，则四个数分别为：x-22、x-24、x-27和x-20，于是得方程：x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)，解之得x=31，这种奇妙简洁的解法深深感动了帕普斯，从而坚定了他毕业研究数学的意愿，后来成为了一位著名数学家。

简洁美是数学家刻意追求的目标之一，学生看了简洁美的体验就意味着体内注入了精益求精的动力。因此，我们在数学教学中应努力培养学生求简的精神。

(二)对称美在解题中的应用

(1)有些数字的运算，通过观察它的对称性很容易得出结论。比如：已知11×11=121，111×111=12321，111×1111=1234321，求：11111×11111=( )；111111×111111=( )。

(2)有的题是需要通过分析联想，才能利用对称性解题。比如：已知x1、x2 是方程x3 +x-3=0两个根，不解方程，求x13-4x22+19的值。

分析：按照题意要求直接求值不可能，若从追求对称美出发，就易让人联想到与之相对称的另一个表达式：x23-4x12+19联合求解。因为x1、x2是方程x3 +x-3=0两个根，所以x1+x2=-1，x1x2=-3，记A=x13-4x22+19，B=x23-4x12+19，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=7，则A+B=x13 +x23-4(x12+x22)+38=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+10=0，

A-B=x13-x23-4(x22-x12)=(x1-x2)[(x1+x2)2- x1x2]+4(x1+x2)(x1-x2)=(x1-x2)(1+3-4)=0，两式相加，得x13-4x22+19=0。

(三)联想美在数学中的应用

对于高中阶段的立体几何中的一些内容，大部分学生感到比较抽象，难于理解，但是他们对平面几何的一些性质掌握得比较牢，这时在教学中就应该运用联想的教学方法。比如联想三角形的面积为cr/2(c为三角形的周长，r为其内切圆半径）可得出三棱锥的体积为sR/3(s 为三棱锥的全面积，R为内切球半径），再比如联想边长为a的等边三角形内任意一点到三边的距离之和为三角形的高，可得出棱长为a的正四面体内任一点到各面的距离之和为正四面体的高。

例题：正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，求球的表面积。

分析：此题可利用上面的结论，球心到四个面的距离之和为内切球半径的四倍，因此内切球半径为1，而外接球半径为内切球半径的3倍，所以球的表面积为36π。

(四)统一美、和谐美在数学题中的应用

古希腊数学家毕达哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的东西都具有共同的特性，这就是部分与部分、部分与整体之间的和谐性。”

三角恒等变换中需要记忆的公式很多，如果只是将这些公式变来变去得出新的三角恒等式，那将是十分枯燥乏味的。我们可以从这些公式的内在联系入手，首先推导公式，然后从，得到两角和与差的三角函数公式令，又可得到两倍角公式、、，作角与式的变换，又可得到降幂公式、半角公式、万能公式、三倍角公式以及积化和差、和差化积公式。