2022年初中学业水平考试 数学模拟试卷 (四)(含答案)

2022年百色市初中学业水平考试
数学模拟试卷（四）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
注意事项：
1．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项．．．．．．．．．．．．．．．．．
． 2．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答第Ⅰ卷时，用．2．B ．铅笔．．把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，用直径．．．0．.5．mm ．．黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．，在本试卷上作答无效．．．．．．．．．
． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的) 1．在实数 3 ，－1，0，2中，为负数的是( B ) A ． 3 B ．－1 C ．0 D ．2
2．如图，直线c 与直线a ，b 都相交．若a ∥b ，∠1＝55°，则∠2等于( B )
A ．60°
B ．55°
C ．50°
D ．45°
3．如图，有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张是数字3的概率是( B )
1 1 1 3 3 4
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
4．正八边形的内角和为1 080°，它的外角和为( B ) A ．540° B ．360° C ．720° D ．1 080°
5．医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000 156 m ，将0.000 156用科学记数法表示应为(C) A ．0.156×10－
3 B ．1.56×10－
3 C ．1.56×10－
4 D ．15.6×10－
4
6．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从上面看到该几何体的形状图是( D )
A
B
C
D
7．下列因式分解正确的一项是( A )
A ．x 2－9＝(x ＋3)(x －3)
B ．2xy ＋4x ＝2(xy ＋2x )
C ．x 2－2x －1＝(x －1)2
D ．x 2＋y 2＝(x ＋y )2
8．下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( D )
A B C D
9．如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是( D ) A ．乙的最好成绩比甲高 B ．乙的成绩的平均数比甲小 C ．乙的成绩的中位数比甲小 D ．乙的成绩比甲稳定
(第9题图)
10．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为( B )
(第10题图)
A ．75°
B ．65°
C ．55°
D ．50°
11．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是( D )
(第11题图)
A ．D
B ＝DE B ．AB ＝AE
C ．∠EDC ＝∠BAC
D ．∠DAC ＝∠C
12．若定义一种新运算：a ○× b ＝⎩⎪⎨⎪
⎧a －b （a ≥2b ），a ＋b －6（a ＜2b ），
如3 ○× 1＝3－1＝2；5 ○× 4＝5＋4－6＝3，则函数
y ＝(x ＋2) ○× (x －1)的图象大致是( A )
A
B
C
D
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13．不等式5x ＋1＞3x －1的解集是x ＞－1．
14．已知一组数据：2，4，4，3，7，7，则这组数据的中位数是__4__．
15．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m ，1.5 m ．已知小军、小珠的身高分别为1.8 m ，1.5 m ，则路灯的高为3m.
（第15题图）
16．以下四个命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补； ②边数相等的两个正多边形一定相似；
③等腰三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD ＝60°且AD ＝AE ，则∠EDC ＝30°；
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点． 其中正确命题的序号为__②③④__．
17．如图，在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，2
3 为相似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已
知A (2，3)，则点A 1的坐标是__⎝⎛⎭⎫
43，2 __.
（第17题图）
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 的中点，E 是BC 上一点，BE ＝5
2 ，∠AED ＝∠B ，则CE 的长
为__36
5
__．
（第18题图）
三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分6分)计算：(6－π)0－(－5)－3t an 30°＋|－ 3 |. 解：原式＝1＋5－3×3
3
＋ 3 …………………………………………………………4分 ＝1＋5－ 3 ＋ 3
＝6. ………………………………………………………………………………………6分
20．(本题满分6分)先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－1－1 ÷x x ＋1 ，其中x ＝sin 30°. 解：原式＝x 2－2x ＋1－x 2＋1x 2－1 ÷x x ＋1
＝
－2（x －1）（x －1）（x ＋1） ·x ＋1x
＝－2
x .………………………………………………………………………………………4分
当x ＝sin 30°＝1
2 时，原式＝－4. ………………………………………………………6分
21．(本题满分6分)如图，反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于A (1，a )，B 两点，
点C 在第四象限，BC ∥x 轴．
(1)求k 的值；
(2)以AB ，BC 为边作菱形ABCD ，求点D 的坐标．
解：(1)∵点A (1，a )在直线y ＝2x 上， ∴a ＝2×1＝2，即A (1，2).
∵点A (1，2)在y ＝k
x
(k ≠0)的图象上，
∴k ＝1×2＝2，即k 的值是2；……………………………………………………………3分 (2)由题意，令2
x
＝2x ，解得x ＝1或－1.
经检验，x ＝1或－1是原方程的解．∴B(－1，－2). ∵A (1，2)，∴AB ＝（1＋1）2＋（2＋2）2 ＝2 5 . ∵菱形ABCD 以AB ，BC 为边，且BC ∥x 轴， ∴AD ＝AB ＝2 5 ，AD ∥x 轴．
∴D(1＋2 5 ，2).…………………………………………………………………………6分
22．(本题满分8分)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.
(1)求证：AE＝BD；
(2)求∠AFD的度数．
(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD.………………………………………………………………………2分
又AC＝BC，EC＝DC，
∴△ACE≌△BCD.(SAS)
∴AE＝BD；………………………………………………………………………………4分
(2)解：∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B.
设AE与BC交于点O，
则∠AOC＝∠BOF.………………………………………………………………………6分
∴∠A＋∠AOC＋∠ACO＝∠B＋∠BOF＋∠BFO＝180°.
∴∠BFO＝∠ACO＝90°.
∴∠AFD＝180°－∠BFO＝90°.………………………………………………………8分
23．(本题满分8分)某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：竹编，D：书法”等中国传统文化项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查(每人限选一项)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了________名学生；
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)若该校在A ，B ，C ，D 四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A 和D 的概率．
解：(1)200；…………………………………………………………………………………2分 (2)“B ”的人数为200×20%＝40(人)， “A ”的人数为200－40－30－50＝80(人).
补全折线统计图如图所示；………………………………………………………………4分 (3)画树状图：
6分
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中项目A 和D 的结果有2种， ∴P(恰好选中项目A 和D)＝212 ＝1
6 .……………………………………………………8分
24．(本题满分10分)今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A ，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
(1)求A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
(2)该市后续又筹集了62.4 t 生活物资，现已联系了3辆A 种型号货车．试问至少还需联系多少辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
解：(1)设A 种型号货车每辆满载能运x t 生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y t 生活物资．根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝28，2x ＋5y ＝50. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝6. ……………………………………………………………4分 答：A 种型号货车每辆满载能运10 t 生活物资，B 种型号货车每辆满载能运 6 t 生活物资；………………………………………………………………………………………………5分
(2)设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．根据题意，得 10×3＋6m ≥62.4.解得m ≥5.4. …………………………………………………………8分 又∵m 为非负整数，∴m 的最小值为6.
答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．……10分
25．(本题满分10分)如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为点F . (1)求证：△ABE ∽△DF A ；
(2)若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长．
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴∠AEB ＝∠DAF . ∵DF ⊥AE ，∴∠DF A ＝90°.∴∠B ＝∠DF A ．
∴△ABE ∽△DF A ；………………………………………………………………………5分 (2)解：∵△ABE ∽△DF A ，∴AB DF ＝AE
DA .
∵点E 是BC 的中点，BC ＝4，∴BE ＝1
2 BC ＝2.
∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2 ＝210 .
又∵AD ＝BC ＝4，∴6DF ＝2104 .∴DF ＝610
5 .………………………………………10分
26．(本题满分12分)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，顶点为D ，点B 的坐标为(3，0).
(1)填空：点A 的坐标为________，点D 的坐标为 ________，抛物线的表达式为________； (2)当二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最小值为5
4
，求m 的值；
(3)P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P ，使△P AC 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)(1，0)；(2，－1)；y ＝x 2－4x ＋3；………………………………………………3分 [∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝－4.∴y ＝x 2－4x ＋c .
∵点B (3，0)是抛物线与x 轴的交点， ∴9－12＋c ＝0.∴c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3.
令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0.∴x ＝3或x ＝1. ∴A (1，0).
∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴D (2，－1).] (2)令x 2－4x ＋3＝54 ，解得x 1＝12 ，x 2＝7
2
.
∵抛物线的顶点为D (2，－1)，开口向上，对称轴为直线x ＝2， ∴满足m ≤x ≤m ＋2的自变量为x ≠2.
①在对称轴x ＝2的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m ＋2＝12 ，即m ＝－32 时，y 有最小值5
4 ；
②在对称轴x ＝2的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m ＝72 时，y 有最小值5
4
.
综上所述，m 的值为－32 或7
2 ；…………………………………………………………7分
(3)存在．
如图，点C 的坐标为(0，3)，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥DM 于点N . 由题意知，四边形OMNC 为矩形． ∴CN ＝OM ＝2，MN ＝OC ＝3，AM ＝1. ∵∠PMA ＝∠CNP ＝∠APC ＝90°，
∴∠APM ＋∠P AM ＝90°，∠APM ＋∠CPN ＝90°. ∴∠P AM ＝∠CPN . ∴Rt △APM ∽Rt △PCN . ∴
AM PN ＝PM CN ，即13－PM
＝PM
2 . ∴PM 2－3PM ＋2＝0. 解得PM ＝1或PM ＝2. ∴存在两个符合条件的点P ，
此时点P 的坐标为(2，1)或(2，2). ………………………………………………………12分。