正项级数的比值判别法
正项级数的判别法
正项级数的判别法分布图示★正项级数 ★比较判别法★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5★比较判别法的极限形式★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10★比值判别法 ★例11 ★例12 ★例13 ★根值判别法 ★例14 ★例15 ★例16 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-2内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性.例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n < 而∑∞=131n n 是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n na c∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=40tan πxdx a n n ⎰<402sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim n n n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛.)2(因为 n n u n 2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π=根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn n a n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sinlim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注: 从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.根值判别法的应用例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n n nn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n n n . 解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛. )2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n nn 发散.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1212n nn n 的敛散性.解 因为n nn )12(2+,22n n <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 n n n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a na n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11 于是,11>=+nn n x eu u 即,n n u u >+1 故,e u u n =>1 由此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14(E09(2))判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的收敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法. 因为n n n u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→11lim e1=1< 故所求级数收敛.例15（E09(1)）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n )1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→nn n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2lim -+∞→21=1< 故原级数收敛.。
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法是数学中常用的一种级数收敛性判别法。
它是通过比较相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
具体来说，如果相邻两项的比值小于1，则级数收敛；如果相邻两项的比值大于1，则级数发散；如果相邻两项的比值等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的原理可以通过数学公式来表示。
假设有一个正项级数a1, a2, a3, …，则它的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) an+1/an
如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限存在且大于1，则级数发散；如果这个极限不存在或等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的应用非常广泛，可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
例如，可以用它来判断调和级数的收敛性。
调和级数是指形如
1/1 + 1/2 + 1/3 + …的级数。
根据正项级数比值判别法，调和级数的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1
因此，调和级数的收敛性无法判断。
实际上，调和级数是发散的，这可以通过其他方法来证明。
除了调和级数，正项级数比值判别法还可以用来判断几何级数、指
数级数、幂级数等各种类型的级数的收敛性。
在实际应用中，我们通常会结合其他的级数收敛性判别法来判断级数的收敛性，以确保判断的准确性。
正项级数比值判别法是一种非常有用的级数收敛性判别法，它可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
在使用时，我们需要注意判断条件的准确性，以确保判断的正确性。
正项级数
的敛散性.
故原级数收敛.
例2 判定级数
的敛散性.
解
收敛, 则级数
收敛.
例3 判定级数
的敛散性.
解 因为
发散, 则级数
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式)
若两个正项级数
满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
同敛散;
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数 也收敛;
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数 也发散.
§9.2 正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 中的各项 则称此级数为正项级数.
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 无上界, 则 从而正项级数发散.”
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数
满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
收敛;
(2) 当 l > 1时, 级数 发散;
(3) 当 l = 1 时, 级数
可能收敛, 也可能发散.
例6 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛. 练习：
3,(1) 判定级数 解
无上界.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数
的对
应项满足:
则 (1)当级数 收敛时, 级数 （大收小收）
级数的判别方法与应用
解 所以级数收敛。
二、交错级数
定理6（莱布尼兹准则）：设交错级数 如果 满足条件；
（1） 是单调减少数列，即
解∵
∴由定理3知此级数发散。
定理4（比值判别法）：已知 。
（1）若 当 时，则级数收敛；
（2）若 ，当 或 时，则级数发散；
（3） 时，级数可能收敛也可能发散。
例3判别级数 的收敛性
解∵
∴故级数收敛。定理 Nhomakorabea（根值判别法）：已知 。
（1）若 ，当 时，则级数收敛，
（2）若 ，当 或 时级数发散，
（3）若 时级数可能收敛也可能发散。
第12章 级数的判别方法与应用.
一、常数项级数
1、正项级数及其判别法
定理1：正项级数 收敛 它的部分和数列 有界。
推论：如果正项级数 发散，则它的部分和数列
定理2（比较判别法）：已知正项级数
1若级数 收敛且 则级数 也收敛；
2若级数 发散且 则级数 也发散。
例1讨论级数 的收敛性，其中常数
解设 ，则 ，但调和级数发散，由定理2可知，当 时级数 发散
设 ，当 时，有 ，
所以
考虑级数部分和
故级数收敛，由定理2知，级数 当 时收敛，综上，得
级数 当 时收敛，当 时发散
定理3（比较法的极限形式）：设 和 都是正项级数，如果
（1）若 ,则两个级数有相同的收敛性。
（2）若 ，则由级数 发散可推出 发散。
（3）若 ，由级数 收敛可推出 。
例2判别级数 的收敛性
正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛性的判别方法正项级数是指级数的每一项都是非负数的级数。
1.比较判别法：比较判别法是通过与已知收敛（或发散）的级数进行比较，判断待定级数的收敛性。
具体有以下两种情况：a.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≤c*b_n，那么只要∑b_n收敛，∑a_n也收敛；b.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≥c*b_n，那么只要∑b_n发散，∑a_n也发散。
2.比值判别法：比值判别法是通过计算级数的项之间的比值的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_{n+1})/a_n的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
3.根值判别法：根值判别法是通过计算级数的项的根的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_n)^{1/n}的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
4.积分判别法：积分判别法是将级数中的每一项转化为一个函数f(x)，然后通过计算该函数在区间[a,∞)上的不定积分，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：a.将级数的每一项a_n转化为函数f(x)在区间[a,∞)上的函数表达式；b. 计算函数f(x)在区间[a, ∞)上的不定积分∫f(x)dx；c. 若不定积分∫f(x)dx收敛，那么级数∑a_n收敛；d. 若不定积分∫f(x)dx发散，那么级数∑a_n发散。
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理1.引言在学习数学中，我们经常会遇到各种各样的级数。
其中正项级数是一种比较特殊的级数，它是由一串正数相加而成的级数。
正项级数判别法是判断正项级数是否收敛的一种方法。
本篇文章将详细介绍正项级数判别法的原理及其应用。
2.原理正项级数判别法是在判断正项级数收敛的时候使用的一种方法。
正项级数指的是级数的各个项都是正数。
在判断正项级数是否收敛的时候，我们需要用到一个非常重要的原理：比较原理。
比较原理是正项级数判别法的核心原理。
以下是比较原理的两种形式：-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$也收敛；-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。
比较原理的第一个形式说明了一个结论：“如果一个级数收敛，那么它的任何小于等于它的级数也收敛”。
这个结论非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来代替意义相同但更复杂的级数。
比较原理的第二个形式则说明了另一个结论：“如果一个级数发散，那么所有大于等于它的级数都发散”。
这个结论同样非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来判断一个级数是否发散。
在使用比较原理判断正项级数的收敛性时，我们需要找到一个小于等于该级数的级数，并且我们知道这个小于等于级数的级数是收敛的或者发散的。
如果这个小于等于级数的级数是收敛的，那么原级数也一定收敛；如果这个小于等于级数的级数是发散的，那么原级数也一定发散。
以上就是正项级数判别法的核心原理：比较原理。
接下来，我们将探讨在实际运用中如何找到一个小于等于该级数的级数，并且如何判断这个小于等于级数的级数是收敛的还是发散的。
8.2正项级数
(1)当r 1时, 级数 un为收敛级数
n 1
(2)当r 1时, 级数 un为发散级数
n 1
(3)当r 1时, 级数 un可能收敛, 也可能发散
n 1
【微积分8-2-12】
2、证明： (1)当0 r
1时,
un1 un1 lim r , 对r r0 1, N , 使当n N时有 r0 ,即 n u un n
【微积分8-2-18】
n 1
3、应用举例：
an n 例8 判别级数 ( ) ( a 0)的敛散性 n 1 2n 1
na n a ) 解： lim un lim ( n n 2n 1 2
n n
a 当0 1即0 a 2时, 级数收敛 2
a 当 1即a 2时, 级数发散 2
n 1
un1 un1 1 1 当r 0时有, lim 0 , 故N , 使当n N时有 n u 2 un 2 n
同样可得级数 un为收敛级数
n 1
【微积分8-2-13】
un1 un1 (2)当r 1时, lim r 1,N , 使当n N时有 1 n u un n
n 1
1 n 1 1 n 解： 2 1 2 1 ln 2, 而级数 发散 n n 1 n
1 所以 (1 cos )收敛 n n 1
级数 ( n 2 1)为发散级数
n 1
【微积分8-2-11】
三、比值判别法
un1 r, 则有 1、定理： 设 un为正项级数, 且有 lim n u n 1 n
正项级数与负项级数统称为保号级数。
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
正项级数判别 法
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1
1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4
ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
解: 1) 若 p 1,
1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n
而级数
1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
un vn sn n (n 1, 2, )
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法级数是数列之和的概念的推广，是数学中一个重要的概念。
在分析数列的性质时，常常会遇到级数的问题，特别是判断一个级数的和是否存在、是否有限。
级数的收敛性是很多数学问题的基础，因此研究级数收敛的判别方法是非常重要的。
在研究级数的收敛性时，我们通常会使用以下几个重要的判别方法：1.正项级数收敛判别法2.比较判别法3.比值判别法4.根值判别法5.积分判别法6.达朗贝尔判别法（柯西判别法）7.绝对收敛与条件收敛接下来，我们将逐一介绍这些判别法。
1.正项级数收敛判别法：对于一个数列{a_n}，如果对于任意的n，都有a_n≥0成立，那么级数∑(n=1)^∞a_n称为正项级数。
正项级数的收敛性可直接根据其前n项和序列的有界性来判断。
如果前n项和序列有界，则正项级数收敛；如果无界，则正项级数发散。
2.比较判别法：比较判别法指的是通过将级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较，来判断级数的收敛性。
（1）比较于已知的收敛级数：如果已知级数∑b_n收敛，且对于n≥1，都有0≤a_n≤b_n成立，则级数∑a_n也收敛。
（2）比较于已知的发散级数：如果已知级数∑b_n发散，且对于n≥1，都有0≤b_n≤a_n成立，则级数∑a_n也发散。
在使用比较判别法时，选择一个合适的用来比较的级数非常关键。
通常我们会选取一些常见的收敛级数或发散级数作为参照。
3.比值判别法：比值判别法是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
设级数为∑a_n，如果存在正数M，使得当n足够大时，有：a_(n+1)/a_n，≤M，（比值≤M）则级数∑a_n收敛；如果对于所有的n，有，a_(n+1)/a_n，≥M（比值≥M），则级数∑a_n发散。
通过比值判别法，我们可以判断出级数的发散和收敛，并得到级数的估计和级数之间的关系。
4.根值判别法：根值判别法与比值判别法类似，也是通过计算级数相邻项的比值的极限来判断级数的收敛性。
如果存在正数M，使得当n足够大时，有：lim(n→∞)∛，a_n，/∛n ≤ M，（根值≤M）则级数∑a_n收敛；如果对于所有的n，有lim(n→∞)∛，a_n，/∛n≥M （根值≥M），则级数∑a_n发散。
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
12.2正项级数的判别法
的收敛性.(
p
0)
解 1.当0p1时 , 1 np
1, n
则P级数发. 散
y
2.当p1时,由图可知
1 n dx
np x n1 p
sn12 1p3 1p n 1p
y
1 xp
(p1)
112d xpx nn1d xpx
o 1 234
x
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8
1
n dx 1 xp
1p11(1n1p1)
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6
其收敛性, 则首先要通过观察, 找到另一个已知级 数与其进行比较, 并应用定理2进行判断, 只有知道 一些重要级数的收敛性, 并加以灵活应用, 才能熟 练掌握比较判别法.
比较判别法的不便: 须有参考级数.
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7
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例如，级数
1发散,
n1 n
级
数
n1
1 n2
收
敛,
(
1)
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2 . 条 件 是 充 分 的 , 而 非 必 要 .
例 如un22 ( n1)n23nvn,
级n 数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
1 1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
故有：P级数 当 当pp 11时 时,,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
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例 2 证明：级数
02第二节正项级数的判别法
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
第7章2 正项级数
11
定理证明*
un =l 证 (1) 由 lim n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2 l un l ∃ N , 当n > N时, l− < <l+ 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n ( n > N ) 2 2
由比较收敛法的推论, 得证 由比较收敛法的推论 得证. ∞ un ( 2) 由 lim 存在 , 若级数 ∑ un收敛 , n→ ∞ v n =1 n
10
1
比较判别法的极限形式 n
定理(比较判别法的极限形式)
(1) 若 0 < l < +∞ , 则级数
n
µn 设 ∑ µ n 与 ∑ ν n 均为正项级数 , 且有 lim =l n→∞ ν n
n n
∑ µ 与 ∑ ν 同时收敛或发散 ( 2 ) 若 l = 0 , 且 ∑ ν 收敛 , 则 ∑ µ 收敛 ; ( 3) 若 l = +∞ , 且 ∑ ν 发散 , 则 ∑ µ 发散
20
比值判别法的注解(续)
• （3）比值判别法适用于级数的一般项中含 有n次方，n阶乘！ • （4）次方法只考虑自身级数（该点与比较 判别法不同）
21
例题讲解（比值判别法）
例 判别下列级数的收敛性:
∞
1 (1) ∑ ; n =1 n!
n! (2) ∑ n ; n = 1 10
∞
1 (3) ∑ . n = 1 ( 2 n − 1) ⋅ 2 n
∑
∞
则 ρ < 1时 级 数 收 敛 ; ρ > 1时 级 数 发 散 ; ρ = 1时 失 效 .
证* 当 ρ 为有限数时 , 对∀ε > 0,
正项级数比值判别法的一个典型例题及变化
正项级数比值判别法的一个典型例题及变化例1 判断下列级数的收敛性。
①1!2n n n n n②1!3n n n n n ③1!nn n n e n解：①因为1lim n n n a a 111!2lim !21n n n n n n n n n 2lim 1n n n n n 22lim 111n n e n 由比值判别法知，级数1!2nn n n n收敛。
② 因为1lim n n n a a 111!3lim !31n n n n n n n n n 3lim 1n n n n n 33lim 111n n e n 由比值判别法知，级数1!3nn n n n发散。
③因为1lim n n n a a 111!lim !1n n n n n n e n n e n lim 1n n n en n lim 111n n e e e n ，比值判别法失效。
下面另求它法。
方法一： 令!n n n n e a n ，则1n n a a 111!!1n n n n n e n n e n 1n n en n 111n e n，得 112n n a a a ， 2,3,n即数列 n a 单调递增，所以 lim 0n n a ，由收敛级数的必要条件知， 1!nn n n e n发散。
方法二： 令!n n n n e a n ，由斯特林公式：lim nn 可得 lim n n ann =0 由收敛级数的必要条件知， 1!nn n n e n发散。
由此例题，我们联想到下面的例题。
例2 判断级数1!nn n n n e的收敛性。
解：令!n n nn a n e，由斯特林公式：nn可得lim 1n n alim !n n n n =n e0 ，而1n 是12p 的p 级数，发散。
由正项级数的比较判别法知， 1!nn n n n e发散。
进一步，容易想到下面的变化，可以练习思考求解。
例3 判断下列级数的收敛性。
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1.正项级数的比值判别法是什么？
答：后项比前项、大于1发散、小于1收敛。
正项级数，是一种数学用语。
在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。
所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。
正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。
若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。
对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。
如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。