二项式定理的应用
二项式定理的推导与应用
二项式定理的推导与应用一、二项式定理的推导二项式定理是代数学中重要的公式之一，利用它可以展开二项式的幂。
下面我将为你推导二项式定理。
假设有一个二项式(a + b)^n，我们可以展开这个二项式，得到以下形式的表达式：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数，也称为二项系数。
接下来，我们来证明上述表达式。
首先，考虑 (a + b)^n 中的第一项 C(n, 0) * a^n * b^0。
根据组合数的定义，C(n, 0) 表示从n个不同元素中选取0个元素，即只有一种可能，即空集。
而根据乘法法则，a^n * b^0 等于 a^n。
因此，第一项可以简化为 a^n。
然后，我们考虑 (a + b)^n 中的第二项 C(n, 1) * a^(n-1) * b^1。
根据组合数的定义，C(n, 1) 表示从n个不同元素中选取1个元素，即有n种可能性。
根据乘法法则，a^(n-1) * b^1 等于 a^(n-1) * b。
因此，第二项可以简化为 n * a^(n-1) * b。
依次类推，我们可以得到每一项的简化形式。
综上所述，(a + b)^n 可以展开为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n这就是二项式定理的推导过程。
二、二项式定理的应用二项式定理在数学中有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域。
1. 组合数学二项式定理中的二项系数 C(n, k) 在组合数学中有很重要的地位。
它表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位二项式定理是高中数学中的重要内容，主要用于解决与二项式有关的问题。
以下是二项式定理应用的三大基本方法：
1. 展开式应用：利用二项式定理将二项式展开，可以得到其展开式。
对于形如 (a+b)^n 的二项式，其展开式中的每一项都可以根据二项式定理计算出来。
2. 系数提取：在解决某些问题时，可以通过提取二项式中的系数来简化问题。
例如，在求(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以通过提取适当的因
子来简化计算。
3. 等价转换：在解决与二项式有关的问题时，有时可以将问题等价转换为其他形式，从而利用二项式定理或其他已知公式进行求解。
例如，在求
(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以将问题等价转换为组合数问题，利用组合数的性质进行计算。
以上是二项式定理应用的三大基本方法，熟练掌握这些方法可以有效地解决与二项式有关的问题。
同时，要注意不断总结经验，探索更多应用二项式定理的技巧和方法。
二项式定理的理解和应用教案
二项式定理的理解和应用教案一、引言二项式定理是数学中重要的一条公式，它在代数、组合数学等领域具有广泛的应用。
本教案将带领学生深入理解二项式定理，并通过实例展示其实际应用。
二、二项式定理的概念1. 二项式的定义：二项式是具有形式 (a + b)^n 的代数表达式，其中a 和b 是实数，n 是一个非负整数。
2. 二项式定理的表述：对于任意非负整数 n，有以下等式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。
三、二项式定理的理解1. 二项式展开：通过二项式定理，可以将一个二项式展开为一组系数和幂次的组合。
2. 组合数的计算：组合数 C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的方法数，可以通过杨辉三角、公式或递推方式计算。
四、二项式定理的应用1. 二项式定理在代数中的应用：a. 多项式展开：利用二项式定理，可以将多项式展开为一组系数和幂次的组合。
b. 多项式系数的求解：二项式定理中的系数可以用于求解特定幂次下的项数。
c. 方程求解：通过二项式定理，可以解决一些特定形式的方程。
2. 二项式定理在组合数学中的应用：a. 计算组合数：利用二项式定理中的组合数公式，可以高效地计算组合数，解决组合问题。
b. 概率计算：通过计算组合数，可以计算出概率问题中的可能性。
3. 二项式定理在实际问题中的应用：a. 统计学中的二项分布：二项式定理可以用来解决二项式分布问题，从而对一些离散事件进行概率计算。
b. 工程中的二项式展开：通过二项式定理，可以将一些工程问题转化为代数问题，从而求解最优解。
五、教学活动设计1. 概念讲解与举例：通过讲解二项式定理的定义和表述，并结合简单的例子来帮助学生理解。
2. 练习与讨论：提供一些二项式展开的例题，让学生尝试自行展开并与同学讨论答案，加深对二项式定理的理解。
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理公式
二项式定理公式在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。
二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。
通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。
根据二项式定理，展开式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。
首先，展开(a + b)^2，我们有：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b去掉括号并简化：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。
接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。
假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：(a + b)^(n+1) = C(n+1,0)a^(n+1)·b^0 + C(n+1,1)a^n·b^1 +C(n+1,2)a^(n-1)·b^2 + ... + C(n+1,n)a^1·b^n + C(n+1,n+1)a^0·b^(n+1)通过展开(a + b)^(n+1)，我们发现可以将其拆分为两部分：(a + b)^(n+1) = (a + b)·(a + b)^n根据归纳假设，我们知道(a + b)^n可以展开为二项式系数的形式。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用1. 引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开二项式的幂。
该定理在代数、组合数学、数论以及其他数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的数学表达式、证明过程以及一些常见的应用。
2. 二项式定理的表达式二项式定理可以用以下的数学表达式来描述：$$(a + b)^n = C(n,0) \\cdot a^n \\cdot b^0 + C(n,1) \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1+ ... + C(n,k) \\cdot a^{n-k} \\cdot b^k + ... + C(n,n) \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合数量。
3. 二项式定理的证明为了证明二项式定理，我们可以使用数学归纳法。
首先，考虑当n=1时的情况：(a+b)1=a+b显然，上述等式成立。
假设当n=m时，二项式定理成立，即：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 我们需要证明当n=m+1时，二项式定理也成立。
首先，考虑展开(a+b)m+1：$$(a + b)^{m+1} = (a + b) \\cdot (a + b)^m$$根据归纳假设，我们可以将(a+b)m展开为：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 将上述展开式代入$(a + b) \\cdot (a + b)^m$中，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = (C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdota^{m-1} \\cdot b^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdota^0 \\cdot b^m) \\cdot (a + b)$$将上式展开并合并同类项，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^{m+1} \\cdot b^0 + (C(m,1)\\cdot a^m \\cdot b^1 + C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^1) + ... + (C(m,k) \\cdota^{m-k+1} \\cdot b^k + C(m,k-1) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^{k+1}) + ... + a^0 \\cdot C(m,m) \\cdot b^{m+1}$$我们可以通过重新排列项来证明上式等于展开式(a+b)m+1的每一项。
二项式定理在初等数学中的应用
二项式定理在初等数学中的应用二项式定理是在计算及数学研究中经常使用的定理。
二项式定理通常用于计算排列组合，在初等数学中有很多应用，主要有以下几个：
1. 二项分布：可以用二项定理来描述数据点的分布情况，通过研究其概率分布，来得出结论。
2. 圆面积：二项定理可用来计算圆的面积，可用于求解几何问题。
3. 对数函数：使用二项定理，可以求出某一特定函数的对数函数，以便进行后续处理。
4. 三角函数：二项定理可以用来求解三角函数，使用了三角函数可以计算出三角形的面积。
5. 拓扑学：二项定理可以用来描述拓扑学中变化图形的结构，从而得出结论。
6. 概率论：使用二项定理，可以计算出某一特定概率事件发生的可能性，从而推断出最终的结论。
7. 几何学：二项定理的数学方法可以非常容易地解决几何图形中的各种复杂问题。
8. 统计学：使用二项定理可以更快捷地了解抽样数据，从而使用统计学技术进行更准确的推断。
9. 调和级数：二项定理可以精确计算出调和级数的值，从而解决若干数学问题。
10. 各种游戏：二项定理可以用来研究各种游戏的概率，如橙子游戏、赌博等。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式定理的应用
和的性质
对于任意非负整数$n$，有 $sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$。
组合数与二项式系数关系
01
组合数$C_n^k$与二项式系数的关系为：在$(a+b)^n$的展 开式中，第$k+1$项的系数即为$C_n^k$。
计算事件的组合数
通过二项式定理的展开式，可以求出 不同事件发生次数的组合数，进而计 算相应事件的概率。
期望和方差计算中运用二项式定理
计算期望值
在概率统计中，期望值是一个重要的概念。利用二项式定理，可以方便地计算二项分布的期望值。
计算方差
方差用于描述数据的离散程度。通过二项式定理，可以推导出二项分布的方差计算公式。
迭代法求解中运用二项式定理
利用二项式定理加速迭代过程
在迭代法中，通过不断逼近解的方式来求解问题。利用二项 式定理，可以构造出具有更快收敛速度的迭代格式，从而提 高迭代法的求解效率。
迭代法的稳定性与二项式定理
迭代法的稳定性是指迭代过程中误差的传播情况。二项式定 理可以帮助分析迭代法的稳定性，并提供改进稳定性的方法 。
鸽巢原理与二项式定理关系探讨
鸽巢原理的表述
如果n个鸽子要放进m个鸽巢，且n > m，则至少有一个鸽 巢里至少有2只鸽子。这个原理可以通过二项式定理进行证 明。
利用二项式定理证明鸽巢原理
通过构造一个二项式(1+1)^n，并将其展开，可以得到一 个包含n+1项的表达式。由于每一项都对应一个鸽巢的状 态（有鸽子或无鸽子），因此当n > m时，至少有一个鸽 巢对应的状态被多次计算，即至少有一个鸽巢里至少有2只 鸽子。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是代数学中的一个重要定理，描述了 $n$ 次多项式 $(a+b)^n$ 的展开式。
它的起源可以追溯到中国宋代数学家李冶所著的《大衍求一术》中，是早期代数学研究的成果之一。
而其应用则涉及组合数学、数学分析、统计学等多个领域。
一、二项式定理的表述$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$其中，$a$ 和 $b$ 是任意实数或复数，$n$ 是自然数。
而 $\binom{n}{k}$ 则表示从 $n$ 个不同的元素中选出 $k$ 个元素的组合数，也被称为二项式系数。
在某些情况下，这个式子可以化简为：二项式定理的表述形式很简单，但它包含了组合数学中的许多概念和性质。
在实际应用中，它有许多重要的应用。
1. 组合数学二项式定理中涉及的组合数 $\binom{n}{k}$，是组合数学中重要的概念。
它表示从$n$ 个不同的元素中选出 $k$ 个元素的组合个数，是一个非负整数。
组合数有许多重要的性质和应用，如排列组合、二项式分布、多项式定理等等。
2. 离散数学离散数学中，二项式定理被广泛应用于计算集合的大小。
例如，对于具有 $n$ 个元素的集合 $S$，而 $k$ 个元素位于集合 $A$ 中，则 $S$ 中元素不在 $A$ 中的元素数为$n-k$。
因此，我们可以用二项式系数来计算从 $S$ 中选出 $n-k$ 个元素的方案数，即$\binom{n}{n-k}$，这个数量就等于 $S$ 中所有不包含于 $A$ 中元素的子集数。
3. 数学分析在数学分析领域中，二项式定理可以用来证明许多重要的等式和不等式，例如伯努利不等式、黎曼黄色区域过渡定理、斯特林公式等等。
这些定理对于理解和应用微积分、概率论等内容非常重要。
4. 物理学二项式定理在物理学中也有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用二项式定理来推导出来，即 $F=ma$。
其中，$F$ 表示物体受到的力，$m$ 表示物体的质量，$a$ 表示物体的加速度。
二项式定理及其实际问题应用
二项式定理及其实际问题应用二项式定理是初中数学中一个重要的概念，它被广泛应用于解决实际问题。
本文将简要介绍二项式定理的概念和公式，并且给出几个实际问题的应用案例。
一、二项式定理的概念与公式二项式定理是指形如以下的公式：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)a^0*b^n其中，a和b是任意实数，n是一个非负整数，C(n,m)表示组合数，表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
二项式定理中的每一项都可以看作是组合数和幂指数的乘积。
二项式定理的公式可以递归地进行推导，也可以用组合数的公式进行证明。
它是代数学中的一个重要定理，也是高等数学和概率统计中的基础概念之一。
二、实际问题的应用案例1. 走廊的问题假设有一条由n个砖块组成的走廊，每个砖块的宽度为a，长度为b。
我们想知道从走廊的一端走到另一端有多少种不同的走法。
根据二项式定理，我们可以得到答案：一共有(a+b)^n 种不同的走法。
这个问题可以帮助我们理解二项式定理中幂指数的含义，即表示每一步走的选择。
2. 掷硬币的问题设想我们有一枚硬币，抛掷n次，求得正面朝上的次数和反面朝上的次数之和为m的概率是多少。
使用二项式定理，可以得到答案：概率为C(n,m) * (0.5)^n。
这个问题可以帮助我们理解组合数的含义，即表示从n次抛硬币中选取m次正面朝上的可能性。
3. 扑克牌的问题假设我们有一副扑克牌，求从中选取k张牌的不同组合数。
根据二项式定理，我们可以得到答案：一共有C(52,k)种不同的选牌方式。
这个问题可以帮助我们理解组合数的应用，即表示从一定数量的元素中选取特定数量的元素的方式。
三、总结二项式定理是一个重要的数学定理，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过对走廊问题、掷硬币问题和扑克牌问题的分析，我们可以看到二项式定理在实际生活中的实用性。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是代数学中的重要定理之一，它描述了任意实数或复数a和b的任意非负整数n的幂的展开式。
二项式定理起源于数学家布莱斯·帕斯卡在17世纪的法国。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n，C(n,r)表示组合数，定义为从n个元素中选取r个元素的组合数。
二项式定理说明了在求解(a+b)^n时，我们可以将其展开为一系列组合数与幂的乘积之和。
二项式定理有许多重要的应用。
下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 展开多项式：二项式定理可以用来展开形如(a+b)^n的多项式。
通过展开后，我们可以计算出多项式的各个项的系数和次数，从而更好地分析和理解多项式的性质。
2. 概率与组合数：二项式定理与组合数有密切的关系。
在概率论中，我们经常遇到从n个元素中选取r个元素的组合数，二项式定理可以用来计算这些组合数。
在扑克牌中，从52张牌中选取5张的组合数可以通过二项式定理来计算。
3. 二项式系数：二项式定理中的各项前面的系数称为二项式系数。
这些系数具有很多重要的性质和应用。
二项式系数是排列组合数的一种特殊情况，它们可以表示为n个元素中选取r个元素的排列数除以r的阶乘。
二项式系数还可以用于展开多项式的特定项或求和。
4. 集合论：二项式定理可以用来证明一些集合论中的结论。
通过二项式定理可以证明集合的幂集的元素个数等于2的n次方，其中n是集合中元素的个数。
5. 组合恒等式：二项式定理导致了许多重要的组合恒等式。
这些恒等式在组合数学中有广泛的应用。
Vandermonde恒等式是二项式定理的一个特例，它可以用来计算两个二项式系数之和的总和。
二项式定理是代数学中一个重要的定理，它的应用涵盖了多个数学领域，包括多项式展开、概率与组合数、集合论、组合恒等式等。
例析二项式定理的六种应用
本文对二项式定理常见的六种应用进行总结，希望对同学们的学习有所帮助.一、求展开式中指定项例1 （x-1x）8的展开式中，常数项为 .（用数字作答）解：Tr+1=Cr8x8-r（-1x）r=（-1）rCr8x8-2r，由题意知，8-2r=0，r=4，即展开式的第5项为常数项，T5=C48=70.评析：直接利用通项公式进行求解，令x的幂指数等于0即可.例2 （|x|2+1|x|+2）5的展开式中整理后的常数项为 .解：（|x|2+1|x|+2）5=（|x2|+|1x|）10Tr+1=Cr10（|x2|）10-r（|1x|）r=Cr10（12）10-r（|x|）10-2r由题意知，（|x|2+1|x|）=0，r=5，即展开式的第6项为常数项，T6=C510（12）5=6322.评析：多项展开式往往化归为二项展开式，再利用通项公式去求解.本题亦可把（|x|2+1|x|）看作一个整体，再利用二项式定理展开.例3 （x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有 .解：设展开式中第r+1项的幂为正整数，则Tr+1=Cr12（x）12-r（3x）r=Cr12x12-r2+r3=Cr12x6-r6.依题意，r是6的倍数，且0≤r≤12，所以r共有3个值.即（x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有3个.小结：在求展开式中某个指定项时，利用二项展开式的通项公式求解是常规办法.首先要知道指定项都有哪些特点，再根据题意具体求解.例如常数项就是x的指数为0，而有理项就是x的指数为整数.二、求展开式中的系数或系数和例4 （x-2y）10的展开式中x6y4项的系数是 .解：Tr+1=Cr10x10-r（-2y）r由题意知，10-r=6，r=4，即展开式中x6y4项的系数为C410（2）4=840.评析：注意区别某一项的系数和它的二项式系数.例5 在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是 .法一：由等比数列求和公式得：原式=（1-x）5[1-（1-x）4]1-（1-x）=（1-x）5-（1-x）9x.要求展开式中含x3的项的系数.即求（1-x）5中的x4的系数与（1-x）9中x4的系数的差.而（1-x）5中含x4的项为T5=C45?1?（-x）4=5x4，（1-x）9中含x4的项为T5=C49?15?（-x）4=126x4，所以在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是5-126=-121.法二：（1-x）n的二项展开式通项为Tr+1=Crn（-x）r，令r=3得x3的系数为-C3n，故本题所求的项的系数为-（C35+C36+C37+C38）=-121.例6 （1）若（x+1x）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为 ;（2）求（2x+1x）4的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.解：（1）因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C2n=C6n，所以n=6+2=8，所以展开式的通项为Tk+1=Ck8?x8-k?（1x）k=Ck8x8-2k，令8-2k=-2，解得k=5，所以T6=C58?（1x）2，所以1x2的系数为C58=56.（2）该展开式的各项二项式系数和为：C04+C14+C24+C34+C44=24=16.令二项式中变量x=1，得各项系数之和为34=81.小结：二项式系数和项的系数是二项式定理的基本概念，两者本质区别为：展开式中第r+1项的二项式系数是Crn（r=0，1，2，…，n），而第r+1项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.三、证明整除或余数问题例7 试证大于（1+3）2n（n∈N）的最小整数能被2n+1整除.证明：因为-1<1-3<0，所以（1-3）2n∈（0，1）.由二项式定理可得（1+3）2n+（1-3）2n=2（3n+C22n3n-1+…）是偶数，记为2k（k∈N），则大于（1+3）2n的最小整数为2k.又因为2k=（1+3）2n+（1-3）2n=[（1+3）2]n+[（1-3）2]n=2n[（2+3）n+（2-3）n]，由二项式定理知（2+3）n+（2-3）n是偶数，记为2k1（k1∈N），所以2k=2n+1k1.即命题得证.评析：本题的难点在于如何表示题中的最小整数.由（1+3）2n联想到其对偶式（1-3）2n∈（0，1），然后考虑二者之和即可.二项式定理在其中的用处为利用其展开式证明二者之和为偶数.例8 当n∈N*时，求证：32n+2-8n-9能被64整除.证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（1+8）n+1-8n-9=C0n+1+C1n+1?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9 =1+（n+1）?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9=82（C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1），因为C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1是整数.所以32n+2-8n-9能被64整除.例9 今天是星期日，再过10100天后是星期几？解：10100=10050=（98+2）50=C0509850+C1509849×2+…+C495098×249+C5050250，因为前50项都能被7整除，只需考查250除以7所得余数.250=4×248=4×816=4×（7+1）16=4[C016716+C116715+…+C15167+C1616].于是得余数为4，故10100天后是星期四.小结：证明整除性问题，或求余数问题.关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.四、求近似值例10 求（0.997）5的近似值（精确到0.001）.分析：（0.997）5=（1-0.003）5，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果.解：（0.997）5=（1-0.003）5=1-C150.003+C25（0.003）2-…-C55（0.003）5≈1-5×0.003=0.985.例11 某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数）.解：设耕地平均每年至多只能减少x公项，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M 吨/公顷.依题意得不等式M×（1+22%）×（104-10x）P×（1+1%）10≥M×104P×（1+10%）化简得x≤103×[1-1.1×（1+0.01）101.22].因为103×[1-1.1×（1+0.01）101.22]=103×[1-1.11.22×（1+C110×0.01+C210×0.012+…）]≈103×[1-1.11.22×1.1045]≈4.1所以x≤4（公顷）答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.小结：求近似值问题常用二项式定理展开，根据精确度决定所取项数.五、证明恒等式或不等式例12 证明：C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1（n为偶数，n∈N*）.证明：因为n为偶数，所以（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn，（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn两式相加得4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn），所以C0n+32C2n+34C4n…+3nCnn=2?4n-1+2n-1.例13 求证C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1.证明：由二项式定理有：（1+x）n=xn+C1nxn-1+…+Cn-1nx+Cnn.对上式以x为自变量求导得：n（1+x）n-1=nxn-1+C1n（n-1）xn-2+C2n（n-1）xn-3+…+Cn-1n.取x=1有n2n-1=n+（n-1）C1n+（n-2）C2n+…+Cn-1n.又因组合数性质：Cmn=Cn-mn得n?2n-1=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+…+2C2n+C1n，∴原式得证.小结：关于组合恒等式的证明，关键在于熟悉二项式定理的展开形式及结构特点，要善于把所证问题用数学方法合理的转化为二项式定理的表达式形式.例14 求证：2≤（1+1n）n≤3-12n-1，（n∈N*）.证明：由二项式定理得（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=1+1+C2n1n2+…≥2.又（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=2+12！（1-1n）+13！（1-1n）（1-2n）+…+1n！（1-1n）（1-2n）?…?（1-n-1n）≤2+12！+13！+…+1n！≤2+12+122+123+…+12n-1=3-12n-1.例15 设a，b∈R+，n∈N，求证：an+bn2≥a+b2n.分析：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），则a+b=2s，再用二项式定理解题.证明：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），于是有an+bn=（s+d）n+（s-d）n=2[C0nsn+C2nsn-2d2+…]≥2sn.又因为a+b=2s，所以an+bn2≥2sn2=sn=a+b2n.即题目得证. 评析：此题表面看似与二项式定理无关，但换元后便露出其本质.它的结论也可以写成nan+bn2≥a+b2.二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的方法.例16 设a，b∈R+，且1a+1b=1.求证：对每个n∈N*都有（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.分析：因为a，b∈R+，且1a+1b=1，所以ab≥2，（a+b）n-an-bn=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]，再利用均值不等式求证.证明：由1=1a+1b≥2abab≥2，及二项式定理得（a+b）n-an-bn=C0nan+C1nan-1b+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-2na2bn-2+Cn-1nabn-1=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]≥（ab）n（C1n+C2n+…+Cn-1n）≥2n（2n-2）=22n-2n+1.小结：利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用.一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式.特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用.六、在求值问题中的应用例17 已知等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数，求：（1）∑10n=1an的值;（2）∑10n=1nan的值.解：（1）令x=-1，得a0=1;令x=0，得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.故∑10n=1an=a1+a2+…+a10=31.（2）等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10两边对x求导，得5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9.在5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9中，令x=0，整理得∑10n=1nan=a1+2a2+…+9a9+10a10=5?25=160.评析：“取特殊值法”是解决二项式系数问题常用的方法――根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.第二问要先利用导数得到nan的形式，然后再赋值求解.例18 用{x}表示实数x的小数部分，若a=（513+18）99，则a{a}的值为多少？解：令b=（513-18）99，因为（513-18）∈（0，1），所以b∈（0，1），由二项式定理有a=（513+18）99=C099（513）99+C199（513）98×18+…+Cr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898+C99991899，b=（513-18）99=C099（513）99-C199（513）98×18+…+（-1）rCr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898-C99991899，因为a-b=2[C199（513）98×18+…+C99991899]是正整数，所以{a}=b，所以a{a}=（513+18）99（513-18）99=[（513+18）（513-18）]99=1.评析：此题表面看较为困难，但若能发现0<513-18<1，且（513+18）（513-18）=1，巧妙构造b=（513-18）99来替代{a}，问题便能迎刃而解.本题所用方法与例7相同.（作者：李苇，江苏省黄桥中学）。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是现代数学中的一个重要定理，它在组合数学、代数、和概率等领域有着广泛的应用。
二项式定理在数学史上的起源可以追溯到古希腊时期，托勒密定理（Ptolemy's theorem）以及奥马尔定理（Omar's theorem）的研究为二项式定理的发展提供了重要的基础。
二项式定理是关于二项式系数的一个等式，表达了如下的展开式：(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \ldots + C_n^r a^{n-r} b^r + \ldots + C_n^n a^0 b^nC_n^r 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数，也就是二项式系数。
二项式展开式的形式非常简洁，但是它包含了许多组合数的信息，因此在计算中有着广泛的应用。
二项式定理的起源可以追溯到中国古代数学中的“方圆算术”研究，该研究主要研究平方根的近似计算以及上下求弥等等问题。
在中国古代数学家秦九韶（1202年-1261年）的著作《数书九章》中，他提出了二项式系数的计算方法，并讨论了二项式定理的特殊情况。
他提出了一个类似于二项式展开式的公式，可以用来计算特定情况下的二项式系数。
在欧洲，二项式定理的研究起源于16世纪，法国数学家乌尼乌斯·居尔加于1544年发表的《代数学整理法》一书中首次介绍了二项式定理的基本形式。
在这本书中，他用形如 a+b 的展开式来表示乘法计算，并证明了如下的等式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个等式被称为“二次多项式的等式”，是二项式定理的特殊情况。
居尔加进一步研究了二次多项式展开式的一般形式，为后来的二项式定理的发展提供了基础。
二项式定理在概率论中有着广泛的应用。
在概率中，二项式分布是最重要的离散概率分布之一，它描述了在 n 次独立重复试验中，成功事件发生 r 次的概率。
二项式定理的起源及其应用
二项式定理的起源及其应用二项式定理是数学中一个重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式中每一项的系数。
二项式定理的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得，他在《几何原本》中首次提出并证明了这一定理。
二项式定理在数学和物理领域都有着广泛的应用，它能够帮助人们理解和处理各种复杂的问题，具有非常重要的意义。
二项式定理的表述非常简洁明了，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^nC(n,k)表示组合数，其计算公式为C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
二项式定理告诉我们，一个二项式的幂展开式可以通过组合数的系数来表示，进而可以简化计算。
二项式定理在数学领域有着广泛的应用。
它在代数学中有着重要的作用。
在代数学中，人们经常需要对多项式进行因式分解，而二项式定理为这一过程提供了便利。
通过利用二项式定理，人们可以将任意一个多项式表达式展开成幂的形式，进而进行因式分解。
二项式定理还可以用来证明一些代数方程或不等式，对于解答数学中的一些复杂问题有着重要的作用。
除了数学领域，二项式定理在物理领域也有着广泛的应用。
在物理学中，人们经常需要处理各种复杂的物理问题，而这些问题常常可以转化为数学问题。
二项式定理可以帮助物理学家们对各种物理现象进行量化分析。
在统计物理学中，人们经常需要对大量微观粒子的集合进行统计，而这些集合可以用二项式定理来表示。
在概率论中，二项式定理也经常被用来计算各种概率分布。
数学中的二项式定理
数学中的二项式定理数学中的二项式定理是一个重要的定理，它在代数、组合数学等领域有着广泛的应用。
二项式定理可以用来展开多项式的幂，计算组合数以及推导其他重要的数学公式。
本文将介绍二项式定理的定义、展开式、应用以及相关推广。
一、二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，以下等式成立：(a+b)^n = C(n,0)a^n·b^0+C(n,1)a^(n-1)·b^1+C(n,2)a^(n-2)·b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数，计算公式为：C(n,k) = n!/((n-k)!·k!)二、二项式定理的展开式二项式定理可以将一个幂展开成一系列项的和，称为二项式展开式。
展开式的各项由a和b的系数及指数组成，且指数和为n。
例如，当n=3时，二项式定理展开为：(a+b)^3 = C(3,0)a^3+b^0+C(3,1)a^2·b^1+C(3,2)a^1·b^2+C(3,3)a^0·b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3展开式中的每一项，可以通过二项式系数进行计算。
以n=3为例，展开式中的系数为：C(3,0)=1，C(3,1)=3，C(3,2)=3，C(3,3)=1三、二项式定理的应用1. 求组合数二项式定理中的组合数C(n,k)表示在n个元素中选取k个元素的组合数。
组合数在概率、统计学、排列组合等领域有着重要的应用。
例如，C(5,2)表示在5个元素中选取2个元素的组合数，计算公式为：C(5,2) = 5!/((5-2)!·2!) = 102. 展开多项式二项式定理的展开式可以用来展开多项式的幂，使得计算变得更加简便。
通过展开多项式，可以得到每一项的系数及指数，从而进一步进行计算。
例如，对于多项式(x+y)^4的展开式为：(x+y)^4 =C(4,0)x^4+y^0+C(4,1)x^3·y^1+C(4,2)x^2·y^2+C(4,3)x^1·y^3+C(4,4)x^0·y ^4= x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^43. 推导其他公式二项式定理在推导其他重要的数学公式时也起到了重要的作用。
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二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。
（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化。
3. 随机变量的分类随机变量有以下两种：(1)离散型随机变量:离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1， (10)(2)连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．要点二、离散性随机变量的分布列1.分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…x n,若取每一个值x i(i=1,2,…，n)的概率为，则称表P P1P2…P i…P n 为随机变量的概率分布，简称的分布列.要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列．要点诠释：(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称随机变量 X 服从超几何分布4．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球。
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即，求X 的分布列；（2）从中任意摸出两个球，用“X=0”表示两个球全是白球，用“X=1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列 【解析】（1）X 的分布列如下表：5. 鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同.捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算：（1）其中有1条鲤鱼的概率； （2）其中有2条鲤鱼的概率； （3）其中有3条鲤鱼的概率； （4）4条都是鲤鱼的概率；由题意：服从超几何分布，即.所以（1）.（2）.（3）.（4）.要点一、条件概率的概念1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号表示。
读作：发生的条件下B发生的概率。
2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：．例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A=“取得蓝球”，B=“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故。
B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式：①利用定义计算．先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式求解．②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而，即：，此法常应用于古典概型中的条件概率求解．2．条件概率公式的变形．公式揭示了P（B）、P（A｜B）、P（AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若P（B）＞0，则P（AB）=P（B）·P （A｜B），该式称为概率的乘法公式．6.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？【解析】设A表示“甲地为雨天”，B表示“乙地为雨天”，则根据题意有P（A）=0.20，P （B）=0.18，P（AB）=0.12．（1）；（2）．7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？【思路点拨】从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时；二是当从1号箱取出白球时【解析】记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则，，，，从而．要点三、相互独立事件1. 定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。
（1）若与是相互独立事件，则；（2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：。
3．相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件A，B，它们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发生记为事件A·B，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系如下表所示：1P18. 甲、乙各进行一次射击，若甲、乙击中目标的概率分别为0.8、0.7．求下列事件的概率：（1）两人都击中目标；（2）至少有一人击中目标；（3）恰有一人击中目标．【解析】记A为“甲射击一次，击中目标”，B为“乙射击一次，击中目标”，则A与B相互独立，进而有A与，与B，与也都相互独立．至少有一个击中，即事件发生；恰有一个击中，即事件发生．由已知P（A）=0.8，P（B）=0.7，（1）两人都击中目标的概率P（AB）=P（A）·P（B）=0.8×0.7=0.56．（2）至少有一人击中目标的概率=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94．（3）恰有一人击中目标的概率==0.2×0.7+0.8×0.3=0.38．9. 甲、乙、丙三位同学完成6道数学自测题，已知他们及格的概率依次为，，。
求（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。
【解析】设甲、乙、丙三位同学答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立。
（1）三人中有且只有两人及格的概率为；（2）三人中至少有一人不及格的概率为。