沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第4讲 解直角三角形(解析版)

解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
1、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在t R ABC
∆中，如果=90
C
∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：
（1）三边之间的关系：
222
a b c
+=
（2）锐角之间的关系：
90
A B
∠+∠=︒
（3）边角之间的关系：
sin cos
a
A B
c
==，cos sin
b
A B
c
==
tan cot
a
A B
b
==，cot tan
b
A B
a
==
解直角三角形
内容分析
知识结构
模块一：解直角三角形
知识精讲
2 / 26
【例1】ABC ∆中，90C ∠=︒，已知AB = 6.4，40B ∠=︒，则A ∠=______，AC =______，
BC =______．（sin400.64︒≈，sin500.77︒≈，边长精确到0.1）
【答案】50︒，4.1，4.9．
【解析】9050A B ∠=︒-∠=︒，根据锐角三角形比的定义，sin AC
B AB
=，即得
sin40 6.40.64 4.096 4.1AC AB =⋅︒≈⨯=≈，同理sin50 4.9BC AB =⋅︒≈．
【总结】考查直角三角形中锐角三角比的定义和应用．
【例2】若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【答案】2．
【解析】菱形周长为8，则其边长为2，相邻两内角之比为3 : 1，则较小内角为1
180454
︒⨯=︒，
则菱形高为2sin 452︒=．
【总结】考查菱形性质和相关锐角三角比的应用．
【例3】如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B
的坐标是____________．（用锐角三角比表示）
【答案】()4cos554sin55-︒︒，
． 【解析】过点B 作BM x ⊥轴交x 轴于点M ， 则有18055BOM AOB ∠=︒-∠=︒， 由4BO AO ==，可得cos55MO BO =⋅︒，
sin55BM BO =⋅︒，点B 在第二象限，可知其坐标即为()4cos554sin55-︒︒，
． 【总结】考查平面直角坐标系中点坐标与线段长度的转换，结合锐角三角比相关知识解题．
【例4】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，
连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ）
例题解析
A B
O
x
y
M
A
B C
D
E
O
A ．13
B ．21-
C ．23-
D ．
14
【答案】A
【解析】设AB AC a ==，90BAC ∠=︒，可得2BC a =，
45C ∠=︒，D 为AC 中点，则有11
22CD AC a ==，
DE BC ⊥，可得2
sin 4
DE CE CD C a ==⋅=
， 则324
BE BC CE a =-=，214tan 3324a
DE DBC BE a ∠=
==． 【总结】考查等腰直角三角形中的锐角三角比的应用．
【例5】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点，若AC =
10，DC =25，则BO =______，EBD ∠的度数约为____°____＇
（参考数据：1
tan 2634'2︒≈）． 【答案】5，18，26．
【解析】根据矩形性质，10BD AC ==，1
52
BO BD =
=， 根据勾股定理，2245AB BD AB =-=，E 是AD 中点，
则25AE AB ==，251
tan 245AB ADB AD ∠=
==，则有2634'ADB ∠=︒，45AEB ∠=︒，即得：452634'1826'EBD AEB ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
【总结】本题一方面考查矩形性质，另一方面考查锐角三角比的应用．
【例6】在锐角ABC ∆中，AB = 14，BC = 14，84ABC S ∆=，求cot C 的值． 【答案】
713
6
-． 【解析】作AD BC ⊥交BC 于D ，则有12ABC S AD BC ∆=⋅，得：2284
1214
ABC S AD BC ∆⨯===，
根据勾股定理可得22213BD AB AD =-=，则14213713
cot 126
CD C AD --===
． 【总结】解三角形，通过作高把线段放到直角三角形中即可．
【例7】如图，ABC ∆中，23AB =，AC = 2，边BC 上的高3AD =，求ABC S ∆和BAC ∠的
大小．
【答案】23ABC S ∆=，90BAC ∠=︒．
【解析】AD BC ⊥，根据锐角三角比的定义，则有
A
B C
D
E
A
B
C
D
4 / 26
31sin 223AD B AB =
==，3
sin 2
AD C AC ==，
可得：30B ∠=︒，60C ∠=︒，可知90BAC ∠=︒，所以1
232
ABC S AB AC ∆=
⋅=． 【总结】解直角三角形的应用，直接采用特殊角锐角三角比，也可直接用勾股定理解题．
【例8】如图，在锐角ABC ∆，4
sin 5
B =，tan 2
C =，且40ABC S ∆=，求BC 的长． 【答案】10
【解析】作AD BC ⊥交BC 于点D ，
由4
sin 5B =，可设4AD a =，则有5AB a =，
根据勾股定理得：223BD AB AD a =-=，因为tan 2C =，则2CD a =，
5BC BD CD a =+=，11454022ABC S AD BC a a ∆=⋅=⋅⋅=，即2
4a =，
解得：2a =，即得：510BC a ==．
【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中即可．
【例9】如图，ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，22AB AC -=-，求BC 的长． 【答案】31+．
【解析】过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ，
设AD a =，由30B ∠=︒，45C ∠=︒，可得：2AB a =，
3BD a =，CD a =，2AC a =．∵22AB AC -=-，∴2222a a -=-， 解得：1a =，由此可得331BC BD CD a a =+=+=+．
【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．
【例10】如图，先将斜边AB 长6 cm ，30A ∠=︒的直角三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转 90°至''A B C ∆位置，再沿CB 向左平移，使点B 落在原三角板ABC 位置的斜边AB 上，
则平移的距离为______．
【答案】()
33cm -． ''B 【解析】30A ∠=︒，得'sin303BC AB cm B C =⋅︒==，
cos3033AC AB cm =⋅︒=，则有'333AB =-，
得()()
'''3
tan 333333
B B AB A cm =⋅=-⨯=-．
A
B
C
A
B C
D
A
B
C
D
【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的已知线段用一条线段表示出来即可．
【例11】如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，
折痕为MN ，若
1
tan 3AEN ∠=，DC + CE =10．
（1）求ANE ∆的面积；
（2）求sin ENB ∠的值．
【答案】（1）103；（2）3
5
．
【解析】（1）设正方形边长为a ，由1tan 3AEN ∠=，可得：1
3
BE a =，
则有23CE a =，CD a =，
DC + CE =10，即2
103a a +=，解得：6a =，则1
23BE a ==，
设AN m =，根据翻折的性质，则有EN AN m ==，6BN m =-，在Rt BNE ∆中用勾股
定理，则有222BN BE NE +=，即()2
2262m m -+=，解得：103
m =，
1110
2223
ANE S BE AN m ∆=⋅=⨯=；
（2）由（1）可得2BE =，10
3
NE =，则23sin 1053BE ENB NE ∠=
==． 【总结】解直角三角形的应用，注意充分利用翻折的性质和其中的相关等量关系．
【例12】如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边
形的面积．
【答案】263
3
．
【解析】延长AB 、DC 交于点E ，
90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，60D CBE ∴∠=∠=︒． 由BC = 2，得tan 602324CE BC BE BC =︒⋅===，． 由AB = 4，即得8AE AB BE =+=，则有83
cot 603
AD AE =⋅︒=
． A B
C D E
N M
A
B
C
D E
6 / 26
即得：111831263
8223222323
ABCD ADE BCE S S S AD AE BC CE ∆∆=-=
⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=
． 【总结】利用割补法求面积，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．
【例13】如图，在四边形ABCD 中，已知AD = AB = BC ，连接AC ，且30ACD ∠=︒，
23
tan 3
BAC ∠=，CD = 3，求AC 的长． 【答案】63
5或63．
【解析】过点B 作BE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作
DF AC ⊥交AC 于F ， 则有1
2
AE CE AC ==，设AE a =，由23tan 3BAC ∠=，
可得：233BE a =，根据勾股定理即可得2221
3
AB BE AE a BC AD =+===，
由30ACD ∠=︒，CD = 3，可得3
sin302
DF CD =⋅︒=，33cos302CF CD =⋅︒=，
在Rt ADF ∆中用勾股定理，则有222
AF DF AD +=，即2
2
2
333212223a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 整理，得：25183270a a -+=，解得：133
5
a =，233a =，均符合题意，
即得63
25
AC a ==或63AC =．
【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．
【例14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过B 点的直 线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，折痕BM ．还原后，再沿过点E 的直线折叠，使 点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan67.5︒的值是21+，
试证明之．
【答案】略．
【解析】证明：第一次折叠，由翻折的性质，得：AB BE =，有45AEB ∠=︒，
第二次折叠，由翻折的性质，得：AE EF =，有2AEB AFB ∠=∠， 则有22.5AFB ∠=︒，67.5FAB ∠=︒，
设AB a =，则有BE a =，2AE a EF ==，则有(
)
21BF a =
+，
A B
C
D
E
F
N
M A
B C
D E F
仰角 视线
水平线
俯角
铅垂线
(
)
21tan 67.5tan 21a BF
FAB AB
a
+︒=∠=
==+．
【总结】考查翻折性质与特殊角锐角三角比的结合运用，注意线段长度的合理转换．
【例15】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴 上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1， 1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（ ）
A ．
33
18
+ B ．
31
18
+ C ．
33
6
+ D ．
31
6
+ 【答案】D
【解析】由1160B C O ∠=︒，
11B C //22B C //33B C ，可得： 22233460B C E B C E ∠=∠=︒，
由11122290B C D B C D ∠=∠=︒，
得：11122360C D E C D E ∠=∠=︒， 111122
1
cos602
D E C D B E =⋅︒==则2222223sin 603
B E B
C C
D ===︒，2322343
cos606D E C D B E =⋅︒=
=，由此可得3A 到x 轴的距离即为()3433311cot 601366B E ⎛⎫+⋅+︒=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，注意进行边角转化．
1、仰角与俯角
在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．
模块二：解直角三角形的应用
知识精讲
x y
O
8 / 26
北
北偏东30°
南偏西45°
北偏西70°
南偏东50°
30° 70° 45° 50°
h
l
2、方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．
3、坡度（坡比）、坡角
在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l
=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．
坡度i 与坡角α之间的关系：tan h
i l α==．
【例16】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测 得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（ ）
A ．30tan α
B ．30sin α
C ．30tan α
D ．30cos α
【答案】C
【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角
比定义可得tan OA
OB α=，即得30tan OA α=，故选C ．
【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．
例题解析
A B
O
【例17】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（ ）海 里
A ．2
B ．2sin 55°
C ．2cos 55°
D ．2tan 55°
【答案】C
【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比
定义可得cos AB
PAB PA ∠=，即得2cos55OA =︒，故选C ．
【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．
【例18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计
斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．
【答案】210
【解析】依题意可得31854BD =⨯=， 23060AD =⨯=，根据坡度的含义， 可得：270BD
CD i
==，由此可得
210AC CD AD cm =-=．
【总结】考查坡度的实际应用和理解．
【例19】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（ ）米
A ．5
B ．6
C ．8
D ．3+5
【答案】A
【解析】斜坡坡度为1 : 2，即1
2
CD AD =，设CD a =，则有2AD a =， 根据勾股定理可得535AC a ==，解得3a =，即得：3CD =，
6AD =，根据勾股定理可得228BD AB AD =-=，
则5BC BD CD m =-=．
【总结】考查坡度的实际应用和理解，结合勾股定理进行实际计算．
C A
B
D
A
B
P 北
A
B
C D
10 / 26
【例20】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯 柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的 轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计 为（ ）米 A ．1122- B ．1123-
C ．11322-
D ．1134-
【答案】D
【解析】延长OD 、DC 交于点E ．
90B ODC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒， 60DOB DCE ∴∠=∠=︒，由BC = 2，
tan 602324DE DC CE DC ∴=︒⋅===，．
依题意可知：O B =11，即得：tan 60113BE OB =⋅︒=， 则()
1134BC BE CE m =-=-．
【总结】考查利用锐角三角比求线段长度，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．
【例21】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶 端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已
知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．
【答案】135．
【解析】90BAD ADC ∠=∠=︒，30ADB ∠=︒，60CAD ∠=︒，
则有tan 60453AD AB =⋅︒=，tan60135CD AD m =⋅︒=．
【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．
【例22】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的
A B
C
D
A
B
C
H P
Q
A
B
C D
O E
窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为1:3，点P 、H 、B 、C 、 A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且
PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的
距离为______．
【答案】203m ．
【解析】依题意有60PBH ∠=︒，15QPA ∠=︒， 山坡坡度为1:3，则有30ABC ∠=︒，
由此可得:9030BPH PBH ∠=︒-∠=︒，90ABP ∠=︒， 9045APB BPH QPA ∠=︒-∠-∠=︒，
则有203sin 60PH
BP ==︒
，203AB PB m ==．
【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．
【例23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定， 地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限 高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，
cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）
【答案】2.3m ．
【解析】依题意得18BAD ∠=︒，
tan 9tan18BD AB BAD =⋅∠=︒， 9tan180.5CD BD BD =-=︒-， 9072BDA BAD ∠=︒-∠=︒，
则有9018DCE BDA ∠=︒-∠=︒， 由
此
可
得
()cos 9tan180.5cos189sin180.5cos18CE CD DCE =⋅∠=︒-⨯︒=︒-︒
由上述数据，即可得90.3090.50.951 2.3055 2.3CE m ≈⨯-⨯=≈．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比．
A
B
C D E
9 m
0.5 m
12 / 26
【例24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车 吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变） 时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地
面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3
cos 5A =，
1
sin '2A =． （1）求重物在水平方向移动的距离BC ；
（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．
【答案】（1）3m ；（2）()
536m -． 【解析】（1）如图，则有4
sin 1085
OD OA A m =⋅=⨯
=， '
'
1
sin 1052
OF OA A m =⋅=⨯=，则3BC FD OD OF m ==-=；
（2）由（1）可得：cos 6AD OA A m =⋅=，则'''8AB AD DB AD OO m A B =+=+==， ''2253A F OA OF m =-=，则()
''''5328536B C A F FC A B m =+-=+-=-． 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比，注意看清楚题目提供的条件．
【例25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC 的坡 角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度 为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是
否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）
【答案】需要拆除．
【解析】依题意有45CAB ∠=︒， 则10AB BC ==，DC 的坡度为
3:3i =，即得：103CD
BD i
==，
由此可得：10310AD BD AB =-=-，则点A 距人行道外侧距离至少为
103103103710.3210-+=-≈>，由此可知建筑物需要拆除．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用．
【例26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在
水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点
A B
C
D F
D
A B
A ＇
B ＇ O ＇
O
C
C D
G 广告牌
B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的一边CD
高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．
【答案】()
531m -．
【解析】作DE BH ⊥交BH 于E ， 设BE a =，则有
tan 3DE BE DBE a =⋅∠=， 32CE CD DE a =+=+，
由30CAE ∠=︒，得332310AE CE a AB BE a ==+=+=+，
解得：53a =-，由此可得()()
323532531GH CE a m ==+=⨯-+=-．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．
【例27】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处， 测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们 的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处， 测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin580.85︒≈，
cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）
【答案】13.5km ．
【解析】依题意可得：450.1 4.5AB km =⨯=， 360.1 3.6CD km =⨯=，由45CAO ∠=︒，可知 4.5AO CO BO ==+，8.1DO CO CD BO =+=+，
58DBO ∠=︒，得tan tan58DO
DBO BO
∠==︒，
即8.1 1.60BO BO
+≈，解得：13.5BO km =．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．
【例28】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已 知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设
汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
A B
C
D O
北
东
14 / 26
（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶， 当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多
少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排 居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需
要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）
【答案】（1）36；（2）89．
【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：
2222391536PH AP AH m =-=-=；
（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==， cot 30153DH AH m =⋅︒=，
由此可得隔音板长度：
361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-+=-≈．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意将题目中的语言转化为数学符号语言．
【例29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风 暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有 一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一级．现 台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到
或超过4级，则称为受台风影响．
（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？ 【答案】（1）会受影响；（2）415h ；（3）6.5级． 【解析】（1）作AD BC ⊥交BC 于D ， 则有sin 110AD AB B km =⋅=，
不受台风影响的最小距离为()12420160km -⨯=，
因为110160<，故该城市会受到台风影响；
（2）设在E 点处该城市开始受到台风影响，则有160AE km =，
根据勾股定理可得：223015DE AE AD =-=，
则受影响时间为2301515415h ⨯÷=；
（3）台风中心到达D 点处距该城市最近，受到最大风力影响， 受到的最大风力即为1211020 6.5-÷=级．
【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，关键是找准题目要求的临界位置结
A
B C
D
P N
M
Q
H A
B C
D E
合题意进行求解．
【例30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正 前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒， 观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长
为30米．
（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能 力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡 度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效 率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每
天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈）
【答案】（1）20m ；（2）600． 【解析】（1）30
50tan 0.60PE ME m α=≈=，
30tan PE
NE m β==，由此可得：
20MN ME NE m =-=；
（2）作DG AB ⊥交AB 于G ，作 FQ BH ⊥交BH 于Q ．
依题意有：24DG FQ ==，
AD 坡度i = 1 : 0.25，即得：16DG
AG i =
=，
FH 坡度i = 1 : 1.5，即得：2
36FQ
HQ i ==，
A
B C D E F N
M P J
H
G Q
16 / 26
由此可得336633AH GQ HQ AG =+-=+-=，
则填筑土石方总量为()()1
1005024333432002
DG DF AH ⋅+⨯=⨯⨯+=方，
设原计划每天填筑x 方，可列方程4320012 1.5122043200x x x ⎛⎫
+--= ⎪⎝⎭，
解得：600x =，经检验，600x =是原方程的根，
即原计划每天填筑土石方600立方米．
【总结】考查实际问题的应用，主要是对题目要求进行准确分析．
【习题1】如图，菱形ABCD 的边长为15，3
sin 5
BAC ∠=，则对角线AC 的长为______． 【答案】24．
【解析】连结BD 交AC 于点O ，则有AC BD ⊥，
2AC AO =，由3sin 5BAC ∠=，即3
5
BO AB =，得9BO =， 勾股定理得2212AO AO BO =-=，则224AC AO ==． 【总结】考查菱形的性质结合锐角三角比基础知识的应用．
【习题2】有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ， 40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．
（参考数据：sin200.342︒≈，
cos200.940︒≈，sin400.642︒≈，cos400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）
【答案】14.1．
【解析】作BE CD ⊥，则有1
202
CBE CBD ∠=∠=︒，
故B 到CD 的距离cos 150.94014.1BE BC CBE cm =⋅∠≈⨯=． 【总结】考查锐角三角比和等腰三角形性质的结合应用．
随堂检测
A
B C
D
O
A
B
C D
E
A
B
C
D
E F G 【习题3】如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔 顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的 仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（ ）
A ．503米
B ．51米
C ．()
503+1米
D ．101米
【答案】C
【解析】60AEG ∠=︒，得：tan 603AG EG EG =⋅︒=，
30ACG ∠=︒，则有cot 3033CG AG AG EG =⋅︒==，
则有2100CE CG EG EG =-==，
得：50EG =，3503AG EG ==，()
5031AB AG BG m =+=+．故选C ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的实际应用，相应线段长度转化．
【习题4】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3
sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，
DC = 6，求tan BAD ∠的值．
【答案】1
7
．
【解析】过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．
由90C ∠=︒，3
sin 5
B =，可设3A
C a =，则5AB a =， 根据勾股定理可得224BC AB AC a =-=，由45ADC ∠=︒，可得3C
D AC a ==， 则BD BC CD a =-=，由90C DEB B B ∠=∠=︒∠=∠，，即得ACB ∆∽DEB ∆，
则有55AC BC AB a DE BE BD a ====，由此可得35
DE a =，45BE a =，
则215AE AB BE a =-=， 即得31
5tan 217
5a
DE BAD AE a ∠===．
【总结】解直角三角形，通过作高把线段放到直角三角形中再通过相应的线段比例关系把三角形中的相关线段表示出来即可．
【习题5】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC 与DE 相交于点F ，ABC ∆的面积为3，求阴影部分的面积．
【答案】33
4-
【解析】作CG AB ⊥交AB 于点G ，作FH AE ⊥交AE 于点H ， 则有6045E B EAF BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，．
设ABC ∆边长为a ，则有13
22
BG a CG a ==，，
A
B
C
D E
A B
C
D
E F
G H
18 / 26
113
3222
ABC S CG AB a a ∆=⋅=⋅⋅=，即得24a =，解得：2a =，即22AB AD ==，
得ADE ∆边长为1，则有1AE =，设FH h =，则有3
cot 603
EH EF h =⋅︒=，AH FH h ==，
即得3113AE AH FH h ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得332h -=，133
24S AE FH -=⋅=阴． 【总结】考查特殊角的锐角三角比与特殊图形的结合应用．
【习题6】如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒． （1）若AD = 2，求AB ；
（2）若232AB CD +=+，求AB ．
【答案】（1）62+；（2）31+． 【解析】（1）作DE AB ⊥交AB 于点E ， 由45A ∠=︒，可得：cos452AE AD DE =⋅︒==，
由105ADB ∠=︒，可得：30ABD ∠=︒，即得cot 306BE DE =⋅︒=，则62AB =+；
（2）作BF CD ⊥交CD 于点F ，由（1）可得(
)
31AB DE =+，设DE a =，则有2BD a =，
由45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒，可得60BDC ∠=︒，则有cos60DF BD a =⋅︒=，
3BF a CF ==，即得(
)
31CD a AB =
+=，
由232AB CD +=+，即可得31AB =+． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．
【习题7】2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中 国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧 某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°
（如图），试确定生命所在的点C 与探测面的距离（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）
【答案】2.732m ．
【解析】作CD AB ⊥交直线AB 于点D ． 由题意可得：30CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒， 则有cot 303AD CD CD =⋅︒=，BD CD =，
即(
)
312AB AD BD CD =-=
-=，
A
B C
D
E
F
A
B
C
30°
45° D
E
D
C
B A
解得：31 2.732CD m =+≈
【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．
【习题8】利用几何图形，求sin 18°的值．
【答案】51
4
-．
【解析】如图，ABC ∆为“黄金三角形”，AD 、BE 分别为其顶角
和一底角角平分线，则有18BAD ∠=︒，1
2
BD BC =，
根据相似可证得“黄金三角形中”51
2
BC AC -=
， 则有51
sin184BD AC -︒==
． 【总结】考查“黄金三角形”的性质的应用．
【习题9】如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60° 方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离港 口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，
在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离． 【答案】（1）1h ；（2）40v =，相遇处与港口O 的距离120km ． 【解析】（1）依题意可得60CBO ∠=︒，30BOC ∠=︒， 则有90ACB ∠=︒，此时sin 60BC OB BOC km =⋅∠=，
则快艇到小岛的时间为60601h ÷=；
（2）延长BC 交AO 于点D ． 由题意可知60CD BC ==，则有AB BO =， 由30AOC ∠=︒，可得60BOD ∠=︒， 即BOD ∆为等边三角形，
相遇点D 与港口距离120OD OB km ==，船速()
12011140/v km h =÷++=． A B C
O
北
北
东
D
20 / 26
【总结】考查方位角的应用，计算速度时注意不要遗漏时间．
【习题10】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．
（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1） （2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，
请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ++=-，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．
【答案】（1）8.4；（2）30︒． 【解析】（1）A 点转过的圆心角度数 为1202240︒⨯=︒，
由此可得运动路程为：
240288 3.14
8.418033
ππ⨯⨯=≈≈； （2）作'C D AC ⊥交直线AC 于点D ，作'A E AC ⊥交直线AC 于点E ． 则有''2sin 603C D A E ==︒=，2215AD =⨯+=，4219AE =⨯+=，
则有''
3tan 5
C D CAC AD ∠==
，''3tan 9A E CAA AE ∠==，根据上述公式，代值计算，
则有()''
''''33tan tan 359tan 1tan tan 333
159CAC CAA CAC CAA CAC CAA +∠+∠∠+∠=
==-∠⋅∠-⨯
，
即得''30CAC CAA ∠+∠=︒．
【总结】阅读题，抓住题目中的运动过程，准确分析即可进行解题应用．
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
E
【作业1】如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点
F ，求E ∠的余切值．
【答案】21+．
【解析】设正方形边长为a ，则有2AC a CE ==， (
)
21BE BC CE a =+=+，
(
)
21cot 21a
BE
E AB
a
+==
=+．
【总结】考查根据一些特殊角锐角三角比计算一些相关锐角三角比的思想方法．
【作业2】如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE ∆
沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．
【答案】4
5．
【解析】连结BF ， 根据翻折的性质，可得BE EF FC ==，可证得BFC ∆为直
角三角形，AE BF ⊥，即得//AE CF ，所以EFC AEF AEB ∠=∠=∠． 由8AB =，6BE =， 勾股定理得：2210AE AB BE =+=，
则84
sin sin 105
AB EFC AEB AE ∠=∠===．
【总结】考查翻折性质的应用，通过等角转化求角的锐角三角比．
课后作业
A
B C D E
F
A B C
D
E
F
22 / 26
【作业3】如图，AD 是ABC ∆的中线，1
tan 3
B =，2cos 2
C =，2AC =．求：
（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．
【答案】（1）4；（2）2
2．
【解析】（1）作AE BC ⊥交BC 于点E ， 则cos 1CE AC C AE =⋅==，由1
tan 3
AE B BE =
=，
即得：3BE =，则4BC CE CE =+=；
（2）因为AD 是ABC ∆中线，则有2BD CD ==，即得：1DE CD CE =-=，
由勾股定理，得：222AD AE DE =+=，则有12
sin 22AE ADC AD ∠===
． 【总结】解三角形，通过作高把边转化到直角三角形中即可．
【作业4】如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）
A ．20海里
B ．40海里
C ．2033海里
D ．40
33
海里
【答案】D ．
【解析】依题意可得：30ABC ACB ∠=∠=︒，则有AB AC =，
作AD BC ⊥交BC 于D ，轮船行程即2
60403
BC =⨯=，
则有1
202
BD CD BC ===，403cos 3CD AC ACB ==
∠． 【总结】考查方位角知识的应用，本题重点在于准确分析相关角度的大小再利用特殊角的锐角三角比解决问题．
A
B
C
D E
A
B
C 北
东
D
【作业5】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，56
2
AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，
求ADC ∠的度数及AC 的长．
【答案】60ADC ∠=︒，19AC =．
【解析】作AE BC ⊥交BC 于点E ，
则有56253
sin 222
AE AB B =⋅=⨯=
， 3sin 2AE ADE AD ∠==
，即得sin 60ADE ∠=︒， 则1522DE AD ==，则1
2CE CD DE =-=，勾股定理得2219AC AE CE =+=．
【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，作高把线段放到直角三角形中即可．
【作业6】如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4
tan 7BAD ∠=，65AD =，
CD = 13，求线段AC 的长．
【答案】265．
【解析】作DE AB ⊥交AB 于点E ，作AF BC ⊥交BC 于点F ， 作DAG BAD ∠=∠交CD 于点G ，作DH AG ⊥交AG 于点H ． ∵4
tan 7DE BAD AE ∠==，勾股定理得22265AE DE AD +==，∴4DE =，7AE =．
∵AD 为角平分线，根据角平分线性质有4DH DE ==，7AH AE ==，
C BA
D DAC ∠+∠=∠，即C BAD DAH GAC ∠+∠=∠+∠，即得：C GAC ∠=∠．
∴AG CG =，设AG a =，则有7GH a =-，13DG a =-，
在Rt DGH ∆中，∵222DH HG DG +=，∴()()2
2
24713a a +-=-，解得：263
a =， 即263AG GC ==
，此时13133
DG a =-=． 在ADG ∆中用面积法，则有DH AG AF DG ⋅=⋅，即2613
433
AF ⨯=⋅， 即得8AF =，Rt ADF ∆勾股定理，得(
)
2
22265
81DF AD AF =
-=
-=，
则12CF CD DF =-=，由此可得2222812413AC AF CF =+=+=．
【总结】本题综合性较强，综合应用了锐角三角比、角平分线的性质、面积法等解三角形常用的方法，主要是根据题目条件进行变化得出最终结果．
【作业7】如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设
太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现
D A
B C
E H
F E
G
A
B
C
D
24 / 26
有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（参考数据：3 1.73≈）
（1）楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【答案】（1）17.3m ；（2）能．
【解析】（1）根据锐角三角比的含义，tan AB AE α=，则有
tan 10317.3AB AE m α=⋅=≈；
（2）45α=︒时，影长即为tan 17.3AB m α⋅=， 17.317.20.10.2m m -=<，即影子的落点正在在台阶
侧面CM 上，此时小猫还是可以晒到太阳的．
【总结】考查利用锐角三角比解决实际问题，化为实际三角形模型即可．
【作业8】如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3
cos 5
A =
，求tan BCD ∠的值． 【答案】3
8
．
【解析】由90ACD ∠=︒，3
cos 5AC A AD ==，
可设3AC a =，则5AD a =，
根据勾股定理，可得：224CD AD AC a =-=． 延长CD 到E ，使DE CD =，连结AE ．
由AD BD =，CDB ADE ∠=∠，可证CDB EDA ∆≅∆，则有BCD E ∠=∠，
由此可得：33
tan tan 248
AC a BCD E CE a ∠=∠===⨯．
【总结】考查“倍长中线法”在解三角形中的应用，可进行等角转化，将不便计算的角放到直角三角形中即可．
【作业9】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，点
E 、
F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ．
（1）求cos B ；
A
B
C
D
E
N
M A
B
C
D
E
（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆； （3）求y 关于x 的代数式；
（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；
若不能，请说明理由．
【答案】（1）3
4
；（2）略；（3）26164x x y -+=；
（4）2
3
BE =或3BE =．
【解析】（1）作AG BC ⊥交BC 于点G ， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠． DAC B ∠=∠， B ACB ∴∠=∠．
AB AC ∴=， 1
32
BG CG BC ∴===．
3
cos 4
BG B AB ∴==．
（2）证明：AEC B BAE AEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，又B AEF ∠=∠， BAE FEC ∴∠=∠，
B ACB ∠=∠，
∴ABE ∆∽ECF ∆．
（3）由ABE ∆∽ECF ∆，则有AB BE
EC CF
=
，
即464x x y =
--，整理得：26164
x x y -+=； （4）①90AEF B ∠=∠<︒，即AEF ∠不可能为直角；
②90EAF ∠=︒，则有3cos cos 4AC ACE B EC ∠===，4AC AB ==，则有16
3
EC =，
则162
633
BE BC EC =-=-=；
③90AFE ∠=︒，此时则有90AEB EFC ∠=∠=︒，此时点E 与点G 重合，即为BC 中点，
此时3BE =；
综上所述，2
3
BE =或3BE =．
【总结】考查“一线三等角”证相似的基本模型，同时对直角三角形的存在性问题可转化为固定角的锐角三角比不变的问题．
【作业10】如图（a ）所示，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E
是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．
（1）连接GD ，求证：ADG ∆≌ABE ∆；
（2）连接FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由；
A
B
C
D
E F
G。