二次函数综合练习题(含答案)

二次函数综合练习题
一、选择题
1．（2013江苏苏州，6，3分）已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）．
A ．x 1＝1，x 2＝－1
B ．x 1＝1，x 2＝2
C ．x 1＝1，x 2＝0
D ．x 1＝1，x 2＝3
【答案】B ．
【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，则x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．
【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．
【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．
2．（2013江苏扬州，8，3分）方程0132
=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标，则方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ）． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．
【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与x
y 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在范围．
解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与x
y 1=
的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当x =
14时，y =x 2＋2=2116，1y x
==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x
==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x ==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x
=
=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方． 所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是21310<<x ． 所以应选C ．
要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．
3. （2013重庆市(A )，12，4分）一次函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比
例函数y ＝
k x
(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是（）
A ．b ＝2a ＋k
B ．a ＝b ＋k
C ．a ＞b ＞0
D ．a ＞k ＞0
【答案】D ．
【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为（－2，0），∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ．
又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，则b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误．
假设B 选项正确，则将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．
再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．
【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋
bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22a a
＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－2
44a a
＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0． 【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．
4. （2013湖南益阳，7，4分）抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．(3，1)
B ．(3，－1)
C ．(－3，1)
D ．(－3，－1)
【答案】：A
【解析】抛物线2
()y a x h k =-+的顶点是（h ，k ）
【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶
点公式
2
4
(,)
24
b a
c b
a a
-
-求顶点坐标。

4．（2013•徐州，28，10分）如图，二次函数y＝x2＋bx－的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P 作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：（－3，4）；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；
（2）PA＝t，OE＝l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．
解答：解：（1）（－3，4）；
（2）设PA＝t，OE＝l，
由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°得△DAP∽△POE，
∴
，
∴l＝－＋＝－（t－）2＋
∴当t＝时，l有最大值
，
即P为AO中点时，OE的最大值为；
（3）存在．
①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（－4，0）
由△PAD∽△OEG得OE＝PA＝1，∴OP＝OA＋PA＝4。

∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO＝AD：OE＝4：1
∴AG＝＝
∴重叠部分的面积＝＝
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
此时重叠部分的面积为
点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．
5．（2013·鞍山，18，2分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；
（2）根据“利润＝（售价－成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．
解答：解：（1）由题意，可设y＝kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，
所以y 与x 之间的关系式为：y ＝－10000x+80000；
（2）设利润为W ，则W ＝（x －4）（－10000x+80000）
＝－10000（x －4）（x －8）＝－10000（x 2－12x+32）＝－10000[（x －6）2－4]
＝－10000（x －6）2+40000
所以当x ＝6时，W 取得最大值，最大值为40000元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．
点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．
6．（2013•东营，24，12分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A （2，0），与y 轴的交点为 B （0，－1）．
(1)求抛物线的解析式； (2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ．并求出点C 的坐标以及此时圆的圆心P 点的坐标．
(3)在（2）的基础上，设直线x =t （0<t <10）与抛物线交于点N ，当t 为何值时，△BCN 的面积最大，并求出最大值．
分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解．
（2）设C 点坐标为（x ，y ），由题意可知090BAC ∠=．过点C 作CD x ⊥轴于点D ，连接AB ，AC ．易证AOB CDA ∆∆，根据对应线段成比例得出,x y 的关系式24y x =-+，
再根据点C 在抛物线上得2114y x x =-
+-，联立两个关系式组成方程组，求出,x y 的值，再根据点C 所在的象限确定点C 的坐标。

P 为BC 的中点，取OD 中点H ，连PH ，则PH A O
（第24题图）
x
y
B
为梯形OBCD 的中位线．可得152
OH OD ==，故点H 的坐标为（5，0）再根据点P 在BC 上，可求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标。

（3）根据BCN BMN CMN S S S ∆∆∆=+，得11052
BCN S MN MN ∆=⨯=，所以求BCN S ∆的最大值就是求MN 的最大值，而M ，N 两点的横坐标相同，所以MN 就等于点N 的纵坐标减去点M 的纵坐标，从而形成关于MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。

解：(1) ∵抛物线的顶点是A (2，0)，设抛物线的解析式为2(2)y
a x ． 由抛物线过B (0，－1) 得41a ，∴14a ．……………………2分 ∴抛物线的解析式为21(2)4y x ． 即2114
y x x ．………………………………3分 (2)设C 的坐标为(x ，y )．
∵A 在以BC 为直径的圆上．∴∠BAC =90°．
作CD ⊥x 轴于D ，连接AB 、AC ．
∵090BAO DAC ∠+∠=，090DAC DCA ∠+∠=∴BAO DCA ∠=∠
∴△AOB ∽△CDA ．………………………4分∴
OB OA AD CD ∴OB ·CD =OA ·AD ．
即1·y =2(x －2)．∴y =2x －4．
∵点C 在第四象限．
∴24y x ………………………………5分
（第24(2)答案图）
由224,114y
x y x x 解得1212102,100x x y y ． ∵点C 在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C 的坐标为 (10，－16)．……………………6分
∵P 为圆心，∴P 为BC 中点．
取OD 中点H ，连PH ，则PH 为梯形OBCD 的中位线．
∴PH =2
1(OB +CD )=217．……………………7分 ∵D (10，0)∴H (5，0)∴P (5，172
)． 故点P 坐标为(5，172
)．…………………………8分 (3)设点N 的坐标为21
14
t t t ，，直线x=t （0<t<10）与直线BC 交于点M ． 12
BMN S MN t ，1(10)2CMN S MN t 所以1102
BCN BMN CMN S S S MN ………………………9分 设直线BC 的解析式为y
kx b ，直线BC 经过B (0，－1)、C (10，－16) A x
O
y
C
B M
N x=t （第24(3)答案图）
所以1,1016b k b 成立，解得：3,21k b …………………………10分 所以直线BC 的解析式为312y x ，则点M 的坐标为．312
t t ， MN=2114t t 312
t =21542t t ………………………11分 2115()10242
BCN S t t =252542t t =25125(5)44
t 所以，当t=5时，BCN S 有最大值，最大值是1254
．…………………………12分 点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h ，k ）一般可设其解析式为()2y a x h k =-+．(2)求
最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解．
7．（2013·济宁，23，?分）如图，直线y =－x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y =x 交于点C ．在线段OA 上，动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外）．
（1）求点P 运动的速度是多少？
（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？
（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则OQ=FQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2，
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，P A=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，
∴t=3t－8，解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8－3t）•t=8t－3t2，
当t=－=时，
S矩形PEFQ的最大值为：=4，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，P A=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，
∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t－8）•t=3t2－8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，
当t=－=时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16，
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．
8．（2013河北省，25，12分）
某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；
（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n = 2，x = 40，能否在n 增加m %（m ＞0）
同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请
说明理由．
参考公式：抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是（－
b 2a ，4a
c －b 24a
）
解析：
（1）设212W k x k nx =+，∴212100Q k x k nx =++ 由表中数据，得2122124204024010010060160100k k k k ⎧=+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩，解得121106
k k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴21610010
Q x nx =-
++4分 （2）由题意，得214507067010010n =-⨯+⨯+ ∴n=2 6分
（3）当n=3时，211810010Q x x =-
++ 由1010a =-<可知，要使Q 最大，1812()10
x =-⨯-=909分 （4）由题意，得
21420[40(1%)]62(1%)40(1%)10010
m m m =-
-+⨯+⨯-+10分 即22(%)%0m m -=，解得1%2m =，或%m =0（舍去） ∴m=5012分
9．（2013湖北省鄂州市，23，10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售
次数n
2 1 速度x
40 60 指数Q
420 100
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；
（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．
解答：解：（1）
销售单价（元）x
销售量y（件）1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，
（3）根据题意得
解之得：44≤x≤46
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴x=65
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．
∴当x=46时，W最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
10．（2013湖北省咸宁市，1，9分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设
设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解答：解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．。