2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第七节 对数与对数函数 Word版含答案

第七节对数与对数函数1．对数

概念如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lg N；自然对数：log e N⇔ln

N

性质

对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N❶

log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N

运算法则

❷log a(M·N)＝log a M＋log a N

a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 log a

M

N＝log a M－log a N

log a M n＝n log a M(n∈R)

换底公式换底公式：log a b＝log c b

log c a(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)

函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)

图象

❸

a＞10＜a＜1

图象特征

在y轴右侧，过定点(1,0)

当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的

性质

定义域(0，＋∞)

值域R

单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

函数值变

化规律

当x＝1时，y＝0

当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

谨记运算法则有关口诀

积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.

①对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1

a ，－1，函数图象只在第一、四象限．

②在直线x ＝1的右侧，当a ＞1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．

③函数y ＝log a x 与y ＝log 1a

x 的图象关于x 轴对称.

[熟记常用结论]

1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝

1

log b a

；(2)log am b n ＝n m log a b .

其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ≠0，n ∈R.

2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )

(4)若MN ＞0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )

(5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、选填题

1．函数y ＝lg|x |( )

A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

2．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )

解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.

3．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．

解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧

4x －3＞0，

log 0.5

(4x －3)≥0，

解得3

4＜x ≤1.

答案：⎝⎛⎦⎤

34，1

4．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．

解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)

5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________. 解析：log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋31

2

log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4. 答案：4

考点一 对数式的化简与求值[基础自学过关]

[题组练透]

1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m

＋n

的值为________．

解析：由已知得a 2m ＋

n ＝a 2log a 2＋log a 3＝a log a 4＋log a 3＝a log a 12＝12. 答案：12

2．已知log 189＝a,18b ＝5，则log 3645＝________(用关于a ，b 的式子表示)． 解析：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)

1＋log 182

＝a ＋b

1＋log 18

189＝a ＋b

2－a

.