圆及圆的对称性

圆及圆的对称性 圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义

圆的有关概念

点与圆的位置关系

圆的对称性

圆心角

圆心角、弧、弦之间的关系

知识点1 圆及与的相关的概念

1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它的一个固定端点O 旋转一周，另一个端点

A 所形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.

注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．

：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP 的长也可以叫半径.

（2）圆的集合性定义：

圆心为O ，半径为r 的圆，可以看成所有到定点O ，距离等于定长r 的点的集合。

注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

2.弦与直径、弧与半圆

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC ，AB ；

②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．

B

A C O

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

3.同心圆和等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：

图2 图3

等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关

等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合

．．．．．．的弧叫做等弧。

注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

例 1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )

A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm

例2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．

例3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？

例4.由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 的B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响，则A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？

例5.如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE

＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

例6.若点P 到⊙O 的最小距离为6 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是 。 例7.设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离为m ，且关于x 的方程2x 2－22x ＋m －1＝0有实数根，试确定点P 与⊙O 的位置关系．

例8.下列说法中，正确的是( )

A ．等弦所对的弧相等

B ．等弧所对的弦相等

C ．圆心角相等，所对的弦相等

D ．弦相等，所对的圆心角相等 例9.如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 三边所得的弦长相等，则∠BOC 的度数是多少？

例10.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4.如果以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是( )

A ．点D 在⊙A 外

B ．点D 在⊙A 上

C ．点

D 在⊙A 内

D ．无法确定

例11.如图所示，在⊙O 中，如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝________，∠AOB ＝∠______；若OE

⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，则OE ______OF . 例12.如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是________．

例13. 已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是( )

A ．点A 在⊙O 上

B ．点A 在⊙O 内

C ．点A 在⊙O 外

D ．点A 与圆心O 重合

例14. 如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，CE ∥AB ，EC ︵所对的圆心角的度数为75°，

则∠BOC ＝________．

例15.如下图所示，在△ABC 中，AB 为的⊙O 直径，∠B =60°，∠C =70°，则∠BOD 的度数是（ ）

A ．80°

B ．90°

C ．100°

D ．120°

例16.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，CD 是斜边AB 的中线，以AC 为直径作⊙O ，P 为CD 的中点，点C ，P ，D 与⊙O 有怎样的位置关系？

知识点2 圆的对称性

1.圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．

（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

2.弧、弦、圆心角

（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

随堂练习题:

1．（2015吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）

A．40° B．50° C．80° D．100°

2．（2015湖南湘西）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）

A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定