赫尔德不等式的证明及其等价形式

赫尔德不等式的证明及其等价形式

赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。

f(x, y)的偏导数之和大于或等于0

即，

∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0

在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：

f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)

此时，可将赫尔德不等式分成两部分：

两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：

另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足

则：

即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。这就是赫尔德不等式等价形式。

赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。

赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。