2023高考数学第21题

21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率. （2）求第i 次投篮的人是甲的概率.

（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且

()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11

n n

i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第

1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 【答案】（1）0.6

（2）1

121

653

i -⎛⎫⨯+ ⎪

⎝⎭

（3）52()11853

n

n

E Y ⎡⎤⎛⎫

=-+⎢⎥ ⎪

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦ 【解析】

【分析】（1）根据全概率公式即可求出；

（2）设()i i P A p =，由题意可得10.40.2i i p p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【1】

记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B . 所以()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+

()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.

【2】

设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-.则

()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+.

即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+. 构造等比数列{}i p λ+. 设()125i i p p λλ++=

+，解得1

3λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

. 又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧

⎫-⎨⎬⎩

⎭是首项为16，公比为25的等比数列.

即11

112121

,365653

i i i i p p --⎛⎫⎛⎫

-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

. 【3】

因为1

121

653

i i p -⎛⎫

=⨯+ ⎪

⎝⎭

，1,2,,i n =⋅⋅⋅. 所以当*N n ∈时，()122115251263185315

n

n

n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=++

+=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.

故52()11853

n

n

E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．