向量法证明几何命题

毕业论文

论文题目向量法证明初等几何命题

学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级 2011级

学号 4

学生平

指导教师峰

完成时间 2015 年 4 月

学院教务处制

向量法证明初等几何命题

平

摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式．

关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积

1引言

向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量．

向量最初被应用于物理学．不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段．最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 从数学发展历史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制．

向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数a bi +（a 、b 为有理数，且不同时等于0），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中．

因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题．

本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用．

2结果与讨论

2．1向量的基本运算[1]

向量的加法运算：

AB BC AC +=，a b b a +=+，0a a +=，()0a a +-=，()()a b c a b c ++=++．

AB AC BC =-．

向量的乘法运算：

a a ⋅=，()()a a λμλμ=，()a a a λμλμ+=+，()a

b a b λλλ+=+．

cos (,)a b a b a b ⋅=⋅∠．

当两个向量垂直有：

sin (,)a b a b a b ⋅=⋅∠．

(,,)()a b c a b c =⨯⋅．

2．2用向量法证明几何定理 例1

[1]

勾股定理的证明：三角形ABC 中，已知90B ∠=，证222

AB BC AC +=．

B C

图2 例1图2

证明 由AB BC AC +=，两边平方得()

2

2

AB BC AC +=，

去掉括号，得

2

2

2

2AB BC AB BC AC ++⋅=，

即

2

2

2

cos AB BC AB BC B AC ++=，

因为

cos cos900B ==，

故

222

AB BC AC +=

图3 例2图3

证明 在ABC ∆中，令 ，

22

2222,||()2||2||||cos ||,a BC BA AC b c a b c b b c c b b c A c ==+=-=-=-⋅+=-⋅+

即

2222cos a b c bc A =+-，

同理可证

2222cos c a b ab C =+-，2222cos b c a ac B =+-，

用其他方法证明余弦定理:

图 4 直角三角形 图 5 锐角三角形 图 6 钝角三角形

证明 按照三角形的分类，分三种情形证明之．

(1)在Rt ABC ∆中，如图4

根据勾股定理：222c a b =+，因为cos 0C =，所以2222cos c a b ab C =+-，因为cos a B c =，所以2222cos b a c ab B =+-，因为cos b

A c =，所以2222cos a b c ab A =+-．

(2)在锐角ABC ∆，如图5 作CD AB ⊥于点D ，有sin ,cos ,cos CD a B BD a B AD AB BD C c a B ===-==-， 同理可证：

2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c bc A =+-． (3)在钝角ABC ∆中，如图6 CD AB ⊥，交AB 延长线与点D ，则

sin sin ,cos cos CD CBD a B BD a CBD a B =∠==∠=-，

()2

22222cos 2cos b CD AD c a B a c ac B =+=-=+-．

按照(2)的方法可以证明：

2222cos .c a b ab C =+-

通过两种方法对余弦定理的证明，用向量法证明余弦定理很明显步骤少了很多，只需要用到向量的加法，再用到向量的数量积，就把定理证明出来了，对比第二种方法，要三角形分成三类再加以证明，还需要作辅助线，相对于向量法来说，复杂很多．

2．3用向量法解决平行四边形问题

c,b,a

AB AC BC ===