连续介质力学-第5章-四川大学

EE22 EE33
单向拉伸情况下的应力和应变的关系
C1111 C1122 C1122
0
0
0 E
0
C1111 C1122
0
0
0
E
0
0
C1111
0
0
C1212
0
0 E
0
0
0
C1212
0 0
0
E
C1111
E
C1122
C1212
E C1122
0
各向同性材料：独立的力学常数只有2个
C1111
C1122 C1111
C1122 C1122 C1111
0 0 0 C1111 C1122
0 0 0 0 C1111 C1122
0
0
0
0
0
C1111 C1122
杨氐弹性模量E：单向拉伸中的轴向应力应变之比
E E11
泊松比υ：单向拉伸中的侧向应变与轴向应变之比
Cijkl C jikl
54 36
➢
1 2 Cijkl Eij Ekl
1 2
1 2
C
ijkl
Eij
Ekl
1 2
C klij
Ekl
Eij
1 1 22
Cijkl Cklij
Eij Ekl
Cijkl
1 2
Cijkl
Cklij
36 21
Cijkl Cklij
T11
T22
C1111
0
0
0
0
0
C3131
如果关于x1x3和x1x2两个平面对称，C＝？
横向各向同性：独立的力学常数有5个
关于x3轴对称
C1111
C1122 C1111
C1133 C1133 C3333
0 0 0 C1111 C1122
0 0 0 0 C 2323
0
0
0
0
0
C2323
如果关于x1或x2轴对称，C＝？
0 E C1122 E C1111 E C1122
C1111
E(1 ) (1 )(1 2
)
C1122
E (1 )(1
2 )
C1212
C1111
C1122
E
1
剪切弹性模量 G：切应力和工程切应变之比
G
G E
2(1 )
等温条件下各向同性弹性体的广义虎克（Hooke）定律
T11
1T:E 2
1 E:C:E 2
1 2 Tij Eij
1 2 Cijkl Eij Ekl
C称为等温弹性模量 34 81
➢ E的对称性
Cijkl Ekl Cijkl Elk Cijlk Ekl Cijkl Cijlk
81 54
➢ T的对称性
Tij Cijkl Ekl T ji C jikl Ekl
内部约束＋外力
应变
特定的变形
应变
应力1 应力2
0 C 2323
0
0
0
C1231
0
C3131
如果关于x1x3或x1x2平面对称，C＝？
正交各向异性：独立的力学常数有9个
关于x2x3和 x1x3两个正交平面对称
C1111
C1122 C 2222
C1133 C 2233 C3333
0 0 0 C1212
0 0 0 0 C 2323
TT1323
T23
T31
C1122 C 2222
C1133 C 2233 C3333
C1112 C 2212 C3312 C1212
C1123 C 2223 C3323 C1223 C 2323
C1131 E11
C
2231
E22
C3331 C1231
E33 E12
Newtonian fluid Non-Newtonian fluid
Newtonian fluid Viscoelastic fluid
5.2 本构关系的一般原理
➢ 确定性原理：物体在时刻t的状态和行
为由物体在该时刻以前的全部运动历史 和温度历史所确定。
➢ 局部作用原理：物体中某一点在时刻t
C
2331
E
23
C3131 E31
完全各向异性，三斜晶系。 三斜晶系材料的独立的力学常数有21个
当材料的性质对于一个平面具有对称性时，称这种材料属 于单斜晶系
关于x2x3平面对称
C1111
C1122 C 2222
C1133 C 2233 C3333
0 0 0 C1212
C1123 C 2223 C3323
的行为只由该点任意小邻域的运动历史 所确定。
➢ 减退记忆原理：决定材料当前力学行
为的各种变量的历史中，距今越远的 历史对当前的力学行为影响越小。
➢ 客观性原理：物体的力学和热学的性质
不随观察者的变化而变化。
5.3 材料的对称性
等温情况下处于小变形的线弹性体的本构关系
T C : E Tij Cijkl Ekl
T22
1
Hale Waihona Puke Baidu
1 1
1
0 0
1
1
0 0
0
0
E11
E22
T33 T12
E(1 ) (1 )(1 2
)
1
0
1
0
1 0
0 1 2 1
0 0
0 0
E33 E12
T23
0
0
0
0 1 2 1
0
E23
T31
0
0
0
0
0
1 2 1
E31
5.4 内部约束 刚体，不可压缩，……
(1) 连续性方程 (2) 运 动 方 程
D ( v) 0
Dt
T b v
(3) 动量矩平衡定律 T T T
(4) 能量方程 T : D q
(5) 熵定理 T : D 1 q 0
xi Tij qi
5 本构关系
T Tˆ ( )
ˆ(
)
q
qˆ(
)
ˆ( )
在“纯力学”的研究中，本构关系常成为“应力－应变 关系”
(1) 各向同性和各向异性
(2) 塑性和脆性
(3) 弹塑性和粘弹性
蠕变
松弛
(1) Newton流体
dv1
dx2
(2) 非Newton流体
① Weissenberg效应
牛顿流体
非牛顿流体
② 挤出膨胀效应 ③ 塑性流动