2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，

，则集合

A. 2，

B. 2，

C. D. 2，3，4，

2.若i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象

限为

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.若实数x、y满足，则的最大值为

A. 3

B. 0

C.

D.

4.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

5.课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：

“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

6.已知正项等比数列，若向量，则

A. 12

B.

C. 5

D. 18

7.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总

结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中．九章算术将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为

A. B. 1 C. 2 D. 3

8.已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为，则的取

值范围是

A. B. C. D.

9.已知，则的值为

A. B. C. D.

10.设函数，则下列说法中正确的是

A. 关于中心对称

B. 的极小值为

C. 的最小正周期为

D. 图象的一条对称轴为

11.已知双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，

若，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

12.已知函数有三个不同的零点，，，且

，则的值为

A. 81

B.

C.

D. 9

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分

层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．

14.已知实数a、c满足，关于x的不等式的解集为______．

15.直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点

M，若，且，则抛物线的方程为______．

16.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则______；

若边AC上的点D满足，则的面积______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列是公差不为0的等差数列，且，．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ若，求数列的前n项和．

18.如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，

．

Ⅰ求证：；

Ⅱ当时，求三棱锥的体积．

19.2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰

壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．

Ⅰ已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？

Ⅱ此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．

20.已知函数．

Ⅰ求的单调区间；

Ⅱ当时，若函数与图象交于、两点，求实数a的取值范围

21.已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且

的面积为1，其中O为坐标原点．

Ⅰ为定值；

Ⅱ设线段AB的中点为M，求的最大值．

22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是为参数

以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

Ⅰ求直线l和曲线C的极坐标方程；

Ⅱ若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．

23.已知a、b、，且．

Ⅰ当时，求的最小值；

Ⅱ证明：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：因为集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，

所以：，，1，，4，，4，；

故集合2，．

故选：A．

根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出

B中不含有元素6，得到结果．

本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．

2.答案：D

解析：解：因为，

且；

所以：，；

复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．

故选：D．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，

是基础题．

3.答案：B

解析：解：画出的可行域如图：

．