2019届高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 文.pptx
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3
∴( a+ +b )2≤c 3. 故 a+ +b 的c最大值为 . 3
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考点突破
考点一 比较法证明不等式
典例1 设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥ a(ba2+b2).
证明 ∵a,b是非负实数, ∴a3+b3- a(ba2+b2)=a2 ( a- )a+b2b ( - b) b a =( a- )b[( )5-a( )5].b 当a≥b时, a≥ ,从b 而( )5≥a ( )5, b 得( a- )b[( )5-a( )5]≥b 0; 当a<b时, a< ,从b 而( )5<a( )5, b 得( a- )b[( )5-a( )5]>b0. 所以a3+b3≥ a(ba2+b2).
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5.平均值不等式
如果a1、a2、…、an为n个正数,则 a1 ≥a2 n,当且a仅n 当naa11a2 an =a2=…=an时,等号成立. 附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证 法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.
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1.已知a,b∈R+,a+b=2,则 1 +1 的最小值为 ( )
A. b ≥m b
am a
C. b ≤m b
am a
B. b > m b
am a
D. b < m b
am a
答案 B ∵a,b,m∈R+,且a>b,
∴ b -m b= m>(a0, b)
a m a a(a m)
即 b >m b,故选B.
am a
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4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m的2 最n小2 值为
(2)作商法(a>0,b>0):
a b
>②
1
⇔a>b;ba
<1⇔a<bba;
=1⇔a=b.
3
2.综合法与分析法
(1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系 列的③ 推理、论证 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导 果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 ④ 充分条件 ,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、 公理、定理等).这是一种⑤ 执果索因 的思考和证明方法.
.5
答案 5
解析 根据柯西不等式得 m=2 n·2 ≥1 |m(ma2+nnb2|=)(a2 b2 ) 1
5
5
,5当且仅当
m
=
n
(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=
10时取等号,故
ab
2
m的2 最n小2 值为 .
5
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5.设a>0,b>0,若 是3 3a与3b的等比中项,求证: 1+ 1 ≥4.
证明 (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因为a,b都是正数, 所以a+b>0. 又因为a≠b, 所以(a-b)2>0. 于是(a+b)(a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 所以a3+b3>a2b+ab2.
ab
1-2 已知a,b∈(0,+∞),证明:aabb≥(ab ) 2.
ab
证明 由 3是3a与3b的等比中项得3a·3b=3,即a+b=1.
要证原不等式成立,
只需证 a +b a≥ b4,
ab
即证 b +a ≥2.
ab
因为a>0,b>0,
所以 b +a ≥2b a=2 当且仅当b a= ,即a=b1= 时,取等号 ,
ab
ab
ab
2
所以 1 +1 ≥4.
ab
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6.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求 a+ +b 的c最大值. 解析 ( a+ +b )2=c(1× +1a× +1b× )2≤c (12+12+12)(a+b+c)=3. 当且仅当a=b=c= 1 时,等号成立.
4
3.反证法
先假设要证明的命题⑥ 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用 公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦ 推理 ,得到和命题的条 件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧ 矛盾 的结论,以 说明假设⑨ 不正确 ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
5
4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩ 放大 或 缩小 , 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而 得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.
方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常 将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断 出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且 第(3)步要判断商与1的大小.
1-1 已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明
a,b∈(0,+∞),
a
= abb ab
(ab) 2
ab
当a=b时,
a b
=21.
ab
ab ba
a=2 b 2,
a 2 b
当a>b时, a >1a, b>0,
b2
ab
则
a b
>21.
当b>a时,0< a <1a, b<0,
b2
ab
则 a >21.
b
综上可知,aabb≥(ab )a2b成立.
a
b
,则x与y的大小关系是 (A
)
A.x>y B.x<y
C.x≥y Dห้องสมุดไป่ตู้x≤y
答案
A
x-y=a+ 1
a
-b b1=a -b+
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
b= a . (a b)(ab 1)
ab
ab
所以 (a >b0),(即abx-y1>) 0,所以x>y.
ab
9
3.若a,b,m∈R+,且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( B )
ab
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 B ∵a,b∈R+,且a+b=2,
∴(a+b)
1 a
=2b1+
+b ≥a 2+2
ab
=b4,a
ab
∴ 1 +1 ≥4 =2,
a b ab
即 1 +1 的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.
ab
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2.若a>b>1,x=a+ 1 ,y=b+1
第二节 不等式的证明
总纲目录 教材研读
1.比较法 2.综合法与分析法 3.反证法 4.放缩法 5.平均值不等式
考点突破
考点一 比较法证明不等式
考点二 用综合法、分析法证明不等式 考点三 放缩法证明不等式 考点四 柯西不等式的应用
2
教材研读
1.比较法
(1)作差法(a、b∈R):a-b>0⇔① a>b ;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b.
∴( a+ +b )2≤c 3. 故 a+ +b 的c最大值为 . 3
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考点突破
考点一 比较法证明不等式
典例1 设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥ a(ba2+b2).
证明 ∵a,b是非负实数, ∴a3+b3- a(ba2+b2)=a2 ( a- )a+b2b ( - b) b a =( a- )b[( )5-a( )5].b 当a≥b时, a≥ ,从b 而( )5≥a ( )5, b 得( a- )b[( )5-a( )5]≥b 0; 当a<b时, a< ,从b 而( )5<a( )5, b 得( a- )b[( )5-a( )5]>b0. 所以a3+b3≥ a(ba2+b2).
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5.平均值不等式
如果a1、a2、…、an为n个正数,则 a1 ≥a2 n,当且a仅n 当naa11a2 an =a2=…=an时,等号成立. 附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证 法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.
7
1.已知a,b∈R+,a+b=2,则 1 +1 的最小值为 ( )
A. b ≥m b
am a
C. b ≤m b
am a
B. b > m b
am a
D. b < m b
am a
答案 B ∵a,b,m∈R+,且a>b,
∴ b -m b= m>(a0, b)
a m a a(a m)
即 b >m b,故选B.
am a
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4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m的2 最n小2 值为
(2)作商法(a>0,b>0):
a b
>②
1
⇔a>b;ba
<1⇔a<bba;
=1⇔a=b.
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2.综合法与分析法
(1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系 列的③ 推理、论证 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导 果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 ④ 充分条件 ,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、 公理、定理等).这是一种⑤ 执果索因 的思考和证明方法.
.5
答案 5
解析 根据柯西不等式得 m=2 n·2 ≥1 |m(ma2+nnb2|=)(a2 b2 ) 1
5
5
,5当且仅当
m
=
n
(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=
10时取等号,故
ab
2
m的2 最n小2 值为 .
5
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5.设a>0,b>0,若 是3 3a与3b的等比中项,求证: 1+ 1 ≥4.
证明 (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因为a,b都是正数, 所以a+b>0. 又因为a≠b, 所以(a-b)2>0. 于是(a+b)(a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 所以a3+b3>a2b+ab2.
ab
1-2 已知a,b∈(0,+∞),证明:aabb≥(ab ) 2.
ab
证明 由 3是3a与3b的等比中项得3a·3b=3,即a+b=1.
要证原不等式成立,
只需证 a +b a≥ b4,
ab
即证 b +a ≥2.
ab
因为a>0,b>0,
所以 b +a ≥2b a=2 当且仅当b a= ,即a=b1= 时,取等号 ,
ab
ab
ab
2
所以 1 +1 ≥4.
ab
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6.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求 a+ +b 的c最大值. 解析 ( a+ +b )2=c(1× +1a× +1b× )2≤c (12+12+12)(a+b+c)=3. 当且仅当a=b=c= 1 时,等号成立.
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3.反证法
先假设要证明的命题⑥ 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用 公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦ 推理 ,得到和命题的条 件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧ 矛盾 的结论,以 说明假设⑨ 不正确 ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
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4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩ 放大 或 缩小 , 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而 得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.
方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常 将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断 出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且 第(3)步要判断商与1的大小.
1-1 已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明
a,b∈(0,+∞),
a
= abb ab
(ab) 2
ab
当a=b时,
a b
=21.
ab
ab ba
a=2 b 2,
a 2 b
当a>b时, a >1a, b>0,
b2
ab
则
a b
>21.
当b>a时,0< a <1a, b<0,
b2
ab
则 a >21.
b
综上可知,aabb≥(ab )a2b成立.
a
b
,则x与y的大小关系是 (A
)
A.x>y B.x<y
C.x≥y Dห้องสมุดไป่ตู้x≤y
答案
A
x-y=a+ 1
a
-b b1=a -b+
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
b= a . (a b)(ab 1)
ab
ab
所以 (a >b0),(即abx-y1>) 0,所以x>y.
ab
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3.若a,b,m∈R+,且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( B )
ab
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 B ∵a,b∈R+,且a+b=2,
∴(a+b)
1 a
=2b1+
+b ≥a 2+2
ab
=b4,a
ab
∴ 1 +1 ≥4 =2,
a b ab
即 1 +1 的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.
ab
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2.若a>b>1,x=a+ 1 ,y=b+1
第二节 不等式的证明
总纲目录 教材研读
1.比较法 2.综合法与分析法 3.反证法 4.放缩法 5.平均值不等式
考点突破
考点一 比较法证明不等式
考点二 用综合法、分析法证明不等式 考点三 放缩法证明不等式 考点四 柯西不等式的应用
2
教材研读
1.比较法
(1)作差法(a、b∈R):a-b>0⇔① a>b ;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b.