场强和电势关系

∴ V R
2 0 0
ydy
R d( x2 y2 )
R
x2 y2
x2 y2 4 0 0 x2 y2 2 0
0
V ( x2 R2 1)
2 0
第2章 静电场中的导体和电介质
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目录 第31章 第16节 第2节
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目录 三、电场强度与电势的微分关系 第31章 1. 电势的梯度
第16节
标量场(scalar field) ：空间坐标的函数。
第2节
电势V=V(x，y，z)是标量场。
标量场的方向微商(directional derivative) :
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目录 例题1 一均匀带电圆盘，半径为R，其电荷面密度为，试求
第31章 盘轴线上的电势和场强分布。
第16节 解：微分圆环的带电量为
第2节
dq 2πydy
微分环在P点产生的电
势为
dy y RO
r
x
Px
dV dq 2πydy ydy 4π 0r 4π 0 x2 y2 2 0 x2 y2
标量沿各个方向的空间变化率。
电势在P点沿 l方向的方向微商:
P n
l
V V+V
V
V
lim
l l0 l
Q′ Q
n是两等势面间最短的位移矢量。
第2章 静电场中的导体和电介质
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目录
第31章 显然
n l cos
∴
x2 y2 z2 ( q )2
4π 0V0
第2章 静电场中的导体和电介质
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目录 点电荷形成的电场的等势面为以点电荷q为圆心、以 q
第31章
为半径的球面。
4π 0V0
第16节
第2节 电势分布函数V=V(x，y，z)表示一个空间曲面族。
加最快的方向。
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目录
∵
第31章
V V cos
l n
第16节 ∴沿任意方向的微商是电势梯度矢量在该方向的投影。
第2节 电势梯度矢量在直角坐标系中的表示式：
V
V
i
V
j
V
k
x y z
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目录 2. 电场强度与电势的微分关系
第31章
电势在P点沿 l方向的方向微商:
第16节
V
V
第2节
lim l l0 l
E
P
n
l
Q′ Q
V V+V
∵
V VQ VP
P E dl
dy y RO
r
E
x
Px
∵电场强度沿x方向，
∴
E
Ex
dV dx
2 0
(
x 1) R2 x2
E (1
x)
2 0
R2 x2
第2章 静电场中的导体和电介质
目录
§1.6 电场强度与电势的微分关系
第31章 一、等势面
第16节
等势面(equipotential surface) ：电势相等的点组成的曲面。
第2节
在点电荷电势分布函数 V
1
4π 0
q r
中，令V=V0，则
q r
4π 0V0
r2 ( q )2
4π 0V0
在直角坐标系中， r 2 x2 y2 z2
第2节
得到
Ex
V x
dl dyj
Ey
V y
dl dzk
V Ez z
将上述关系式代入 V
V
i
V
j
V
k ，得
x y z
V Exi Ey j Ezk E
E
V
( V
i
V
j
V
k)
x y z
电场强度与电势的微分关系：电场中任意点的场强等于该点
电势梯度的负值。
第2章 静电场中的导体和电介质
几种电荷分布的电场线和等势面
点电荷电场中的等势面
两个等值同号的点电荷
两个等值异号的点电荷
画等势面时，相邻等势面间的电势差相等。
第2章 静电场中的导体和电介质
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目录 二、等势面的性质
第31章 1. 等势面与电场线处处正交
第16节
第2节
∵
APN q0(VP VN )
而： VP VN
∴
APN 0
又∵
dA q0E cosdl 0
E
q0
dl
但是 q0 0, E 0, dl 0
∴
cos 0
即
90
因此，电场强度（电场线）与等势面必然处处正交。
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目录 2. 等势面密集处场强大，稀疏处场强小
第31章
认为n很小。
第16节 第2节
Q
V P E dl En
E
P
E V
n
n
Q
M
N V
V+V
V
∴
E lim n0 n
∵相邻等势面间的电势差相等，
∴ 等势面越密集（n越小）场强越大； 等势面越稀疏（n 越大）场强越小。
第2章 静电场中的导体和电介质
Q
P
E cos(π )dl
Q
P Q源自文库
E cosdl
P
Q Eldl
Ell
∴
V l
lim Ell l0 l
El
或
El
V l
第2章 静电场中的导体和电介质
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目录
第31章
分别取dl
为
dl dxi
第16节
第16节 电势在P点沿 n方向的方向微商:
第2节
V
V
V 1
lim lim
n n0 n l0 l cos
V 1 V
P
n
l
Q′ Q
V V+V
l cos l
电势沿n方向的方向微商比任何其它方向的方向微商都大。
电势V的梯度gradV或▽V:
方向沿 n，大小为
V n
的矢量。
电势梯度gradV 矢量的方向与等势面垂直，并且沿标量增
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目录
第31章 第16节
第2节
第一章 真空中的静电场
等势面 6.电场强度与电势的微分关系 等势面的性质
电场强度与电势的微分关系
第2章 静电场中的导体和电介质
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