数论6尾数和完全平方数

第六讲尾数定律和完全平方数
尾数定律：
尾数：一个数的个位数字，是这个自然数除以10的余数，只有0、1、2、3、4、
1、a的末位数字是0、1、5、6时，a n的尾数相同；
2、a的末位数字是4和9时，a n的尾数分别是以4、6和9、1循环；
3、a的末位数字是2、3、7、8时，a n的尾数分别以4个不同的数字循环出现，
周期为4。

完全平方数：一个数若能写成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数。

完全平方数的基本性质有：
1、完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6或9；
2、完全平方数的末位数字若为0，则这个数尾部一定有连续偶数个0；
3、完全平方数的因数个数一定是奇数。

完全平方数的判别方法：
1、两个连续自然数的平方数之间不再有完全平方数。

2、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位数字必为偶数；若个位数字是6，
其十位数字必为奇数。

3、一个整数如果除以3余2，那么这个数一定不是完全平方数；
一个整数如果除以4余2或3，那么这个数一定不是完全平方数；
一个整数如果除以5余2或3，那么这个数一定不是完全平方数；
4、如果一个数的因数个数为奇数，那么这个数一定是完全平方数。

两个公式：
平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）
平方和公式：12+22+32+42+……+n2=n（n+1）（2n+1）÷6
一、尾数定律：
例1、求4787，34178，12693的个位数字。

例2、计算下列各数的个位数字。

4635+5281，45237×37321，479283×305—479
例3、乘积1×2×3×…×（n—1）×n称为n的阶乘，记做n！。

求3！，1990！
的个位数字。

二、完全平方数
例1、指出下列各数哪几个是完全平方数：
486 1156 4128
例2、用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？
例3、300乘以一个数a得到一个完全平方数，求a的最小值
例4、1002—992+982—972+……+42—32+22—12
例5、求32+42+52+62+72+82+92+102
练习：1、求32009的个位数字。

2、求6666+7777+8888的个位数字。

3、求1×3×5×7×……×99的尾数是多少？
4、自然数1—10012中有多少个完全平方数？
5、说明3×（5n+1）不是完全平方数。

（n为自然数）
6、求992—982+972—962+……+52—42+32—22+12的结果。

7、求1002—982+962—942+……+82—62+42—22的结果。

8、求12+22+32+42+……+1002的结果。

9、360a的积是一个数的完全平方数，a最小是多少，这个数最小是多少？。