第六章 简单的超静定问题

§6―2
拉压超静定问题
B C
30o
30o
例题6 2 例题6—2 图示支
架承受荷载 F = 10kN，1、 2、3各杆由同一材料制 成，其横截面积分别为 A1 = 100mm 2 、A2 = 150mm 2 A3 = 200mm 2 。试求各 和 杆的轴力。
Δl 3 Δl 2
H A F E G
பைடு நூலகம்
Δl 1
∆l = ∆lt − ∆l F = 0
§6―2
物理关系为
拉压超静定问题
∆lt = α l ∆ t l FN l ∆l F = EA
将上面两式代入变形几何方程得温度内力为：
FN = α l EA∆ t 温度应力为 FN σ= = α t E∆ t A o −5 o 设 αl = 1.2×10 / C ，E=210GPa， ∆t = 40 C
（3）补充方程
FN l ∆l = EA
7 qa 4 FN a 3 FN l − = 12 EI EI EA
解得：
7 qa 4 A FN = 12( Il + Aa 3 )
梁的支反力FB和FC可由静力平衡方程求得。
§6―4
例题6 7 例题6—7 如右图a
简单超静定梁
所示为一超静定梁，弯曲 6 2 刚度为 EI = 5 ×10 N ⋅ m 。 试求梁的支反力，并绘梁 的剪力图和弯矩图。 此题可用一般超静定 问题解法：将B支座视为多 余约束，FB为多余约束力， 变形几何相容条件是B处的 位移为零。但因挠度表达
FN 1 = 8.45kN
FN 2 = 2.68kN
FN 3 = 11.55kN
§6―2
拉压超静定问题
二、装配应力•温度应力 装配应力 温度应力 1、装配应力 如右图所示的超静定问 题中，当中间杆由于制造误 差时，即 DA" ≠ DA ，这样 在三杆装配到一起时，就将 会产生附加的内力，即杆3 受拉力，杆1、2受压力。这 种附加内力称为装配内力。 与之相应的应力则称为装配应力。
Ma = Mb =
Ga I pa Ga I pa + Gb I pb Gb I pb Ga I pa + Gb I pb
Me Me
§6―4
一、超静定梁
简单超静定梁
例题6 5 例题6—5 求右图a
所示弯曲刚度为EI超静定 梁的支反力。
解：设支座B为多余
约束，相应多余未知力为 FB，基本静定系为一悬臂 梁（图b）。 （1）变形几何方程
wA = wAq + （2）物理关系 wAF = ∆l
wAq (2q )a 4 (qa 2 )(2a) q(2a) 3 7 qa 4 = + − a = 8 EI 24 EI 12 EI 3EI
§6―4
wAF
简单超静定梁
FN a 3 ( FN a)(2a) FN a 3 =− − =− 3EI 3EI EI
§6―2
拉压超静定问题
A B 如果将杆一端 A固定，则杆温度升 (a) l Δl 高后，杆将自由伸长 A t B’ Δlt（图b）。现因刚 (b) 性支承B的阻挡，使 Δl F A B B’ 杆不能伸长，相当于 FN (c) 在杆端B施加了一个 压力FN将杆顶住（图c），使杆又缩短ΔlF。变形何 方程为
3 FB = ql 8
5 FA = ql 8
§6―4
简单超静定梁
例题6 6 例题6—6 如右图a
所示，梁AC中B、C处分别 为固定铰支座和可动铰支 座，A端用一钢杆AD与梁铰 接。在梁受荷载以前，杆 AD内没有内力。已知梁和 拉杆用同样的钢材制成， 材料的弹性模量为E，梁横 截面的惯性矩为I，拉杆横 截面积为A，其余尺寸见图。 试求钢杆AD内的拉力FN。
解：因为有两个支反力偶矩，而平衡方程只有
一个，即 ΣMx = 0 。故为一次超静定。
§6―3
扭转超静定问题
设B端为多余约束，去掉此约束再加上相 应多余未知力偶矩MB，得基本静定系如图b。外 力偶矩Me引起的B 端扭转角φBM与多余未知力 偶矩MB引起的B端扭转角φBB的绝对值应相等。 变形几何方程为
由叠加原理有
∆ B = ∆ BF + ∆ BB = 0
（3）力和位移的物理关系为（图c、d） Fa FB l ∆ BF = ∆ BB = EA EA 代入上式后有：
§6―2
拉压超静定问题
Fa FB l − =0 EA EA
多余未知力为
Fa FB = l
另一个支反力为
l − a Fb FA = F − FB = F = l l
D
A’
解:(1)画节点A的受
力图（如左下图） （2）列平衡方程
FN1 FN2 FN3 A F
§6―2
ΣFx = 0 ΣFy = 0
即
拉压超静定问题
FN 3 cos 30o − FN 2 − FN 1 cos 30o = 0 FN 1 sin 30o + FN 3 sin 30o − F = 0
0.866 FN 3 − FN 2 − 0.866 FN 1 = 0 FN 1 + FN 3 − 2 F = 0
4
§6―4
简单超静定梁
（3）补充方程 ql 4 FB l 3 − =0 8 EI 3EI （4）平衡方程 ΣF = 0 ，
y
FA + FB − ql = 0
ql 2 M A + FB l − =0 ΣM A = 0 ， 2 由平衡方程和补充方程解得：
1 2 M A = ql 8 并由求出的支反力可绘出内力图（图e、f）。
§6―2
一、拉压超静定问 题解法
拉压超静定问题
例题6 1 例题6—1
两端固
定的等直杆AB，在C处 承受轴向力F（图a）， 杆的拉压刚度为EA，试 求杆的支反力。
解：本题为一次
超静定问题。
§6―2
拉压超静定问题
（1）去掉B端多余约束，代之以多余未知力FB， 如图b所示。 （2）几何变形相容方程
∆B = 0
拉压超静定问题
FN 2l2 ∆l2 = EA2 FN 3l3 ∆l3 = EA3
（4）物理关系式
（5）将上述物理关系式代入变形几何相容 后得补充方程为 FN 2l2 3 FN 1l1 FN 3l3 = EA − EA EA2 3 1 3 将有关数值代入后整理得 FN 2 = FN 1 − 0.5FN 3 解三个方程得
（3）画节点位移图，有变形几何相容方程 节点A 在变形后应至A’点，几何关系有
EG = AG − AH − HE ∆l2 ∆l1 ∆l3 ∆l2 = − − o o o tan 30 sin 30 sin 30 tan 30o 3 (∆l1 − ∆l3 ) ∴ ∆l2 = 3
§6―2
FN 1l1 ∆l1 = EA1
§6―4
简单超静定梁
式太繁锁而给解题带来麻烦。现介绍一种较为 简便的方法——三弯矩方程。 解：如上图b所示，假定从B截面右断开， 则AB部分面了一受均布荷载的简支梁，多余 约束 力为MB；假定从B截面左断开，则BC部 分也是一受集中荷载的简支梁，多余约束力也 是MB。在两个基本静定系中，简支梁AB中B端 转角θ B ' 应与简支BC中B端的转角θ B "是相等的。 这就是变形相容条件。即：
式中，φBa和φBb分别为内、外两杆的B端相对于 A端的相对扭转角。 （2）物理关系
ϕ Ba ϕ Bb
M al = Ga I pa M bl = Gb I pb
§6―3
（3）补充方程
扭转超静定问题
Ga I pa Gb I pb Mb
Ma =
（4）平衡方程 Ma + Mb = Me ΣM x = 0 ， 联立求解平衡方程和补充方程得
得补充方程： 160 ×103 4M B 126 ×103 5M B − − = + 3EI 3EI 3EI 3EI
§6―4
解上式得：
简单超静定梁
M B = −31.78kN ⋅ m
结果中的负号表明B截面的弯矩与假定方向相 反，即为负弯矩。 由静力平衡方程可求得其余支反力。 AB梁基本静定系： ΣM B = 0 ， FA = 32.05kN BC梁基本静定系： ΣM B = 0 ， FC = 11.64kN ΣFy = 0 ， FB = 66.35kN AC梁中： 由求得的支反力即可绘出剪力图和弯矩图， 如上图c、d所示。
σ = α l E ∆t = 1.2 ×10−5 × 210 ×109 × 40
= 100 ×106 Pa = 100 MPa 上述计算说明超静定结构中，温度应力不容忽视。
§6―3
例题6 3 例题6—3 两端固
扭转超静定问题
定的圆截面杆AB，在 截面C处受一扭转力偶 Me a 矩Me作用，如图a所示。 已知杆的扭转刚度为 GIp，试求杆两端的支 反力偶矩。
第六章 简单的超静定问题
§6―1
超静定问题及其解法
静定问题： 静定问题：构件上的未知力可以通过静力 学平衡方程求解。 超静定问题： 超静定问题：构件上未知力数目超过了平 衡方程数。在工程实际中，为了减小内力和变 形，常采用这种结构，如下图所示。
F
F F
§6―1
超静定问题及其解法
在超静定结构中，把维持平衡多出的支座 或杆件称为多余约束。未知力数超过独立平衡 方程的数目称为超静定次数。多余约束所产生 的支反力或内力称为多余未知力。显然，多余 未知力数目等于超静定次数。 超静定问题的解法：列出独立平衡方程、 超静定问题的解法 增加与超静定次数相同数量的补充方程——变 形几何相容方程。 解题步骤： 解题步骤：将多余约束解除代之以多余未 知力，得到一个有多余未知力的静定系；然后 建立变形几何相容方程；将力和位移的物理关 系代入方程解出未知力。