竖直平面内的圆周运动的几类问题

竖直平面内圆周运动的几类问题【关键词】：竖直平面圆周运动向心力
【摘要】：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。

解圆周运动问题的基本步骤：1.确定作圆周运动的物体作为研究对象。

2.确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

3.对研究对象进行受力分析。

4.运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F。

5.根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。

下面是我结合实例浅谈竖直平面内的圆周运动的几类问题：
一、最高点、最低点问题（如图）
竖直平面内的圆周运动最高点、最低点问题都是竖直方向的各力的合力提供向心力的情况。

其中最低点问题如上图Ａ，轨道对球的支持力和球的重力的合力提供给球做圆周所需的向心力，即；而最高点问题相对复杂点，我把它分成以下几种：
(一)、汽车过拱桥模型（如图）
例：汽车质量为1000kg, 拱形桥的半径为10m ，(g=10m/s2)则（1）
当汽车以5m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力是多大？（2）如果汽车以10m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力又是多大呢？
分析：（1）汽车受力分析如图所示,分析可得 r v m N mg 2=-，即
N 7500)N 105-(1010002
2
=⨯=-=r v m mg N ；（2）当汽车以10m/s 的速度通
过桥面最高点时，汽车对桥面的压力N=0，汽车达到最大安全速度，此时仅有重力提供向心力。

对上例最高点汽车受力分析可知，车在竖直方向上受到支持力和重力作用，取向心
速度ν增大时，向
心力增大，故Ｎ要减小，直到Ｎ=０，速度ν增到了最大值，即仅有重力提供向心力 ， 。

因此，汽车过拱桥模型有个最大速度(临界状态)，如果速度大于 ，那么汽车将飞离桥面，做离心运动。

(二)、绳球模型 （如图）
例：长为r=60cm 的细绳，一端系着盛水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，则当速度为多大时，在最高点水刚好不流出？水在最高点速率v=3m/s 时，水对桶底的压力大小和方向？
分析：（1）水桶运动到最高点时，设速度为v 时恰好水不流出，由水受到的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得，解得s m gr 6==ν；（2）设桶运动到最高点对水的弹力为F ，则水受到重力和弹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
r v m F mg 2
=+,解得N mg r v m F 5.22=-= ，方向竖直向下,又根据牛顿第三定律，水对桶的压力大小F /=F=2.5N ， 方向竖直向上。

在最高点，绳的拉力T 和重力G 的合力提供向心力, 即
，当拉力为零时，重力全部提供向心力
．这时小球的速度最小，小球恰能通过最高点做完整的圆周运动．故小球要完成
圆周运动有个最小速度(临界状态)，小球速度如果小于
，则不能通过最高点完成圆周运动。

(三)、杆球模型（如图）
例：如上图，质量为m=0.2kg 的小球固定在r=0.9m 的轻杆的一端，杆可绕O 点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：（1）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零；（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s 和1.5m/s 时，杆对小球的作用力的大小和方向；（3）小球在最高点的速度能否等于零？
分析：(1)当球对杆的作用力为0时，小球的重力正好提供了向心力，即 ，此时，小球的速度
s m gr 3==ν。

(2)当小球在最高点的速度为6 m/s 时，r v m F mg 2
=+，可知N mg r v m F 62=-=，即：球
对杆的力是竖直向上的，大小为6N ；当小球在最高点的速度为1.5 m/s 时，r v m F mg 2
/=+，可知N mg r v m F 5.12
/
-=-=，即：球对杆的力是竖直
向下的，大小为１.5N 。

(3) 小球在最高点的速度能等于0，这时球对杆的作用力等于小球的重力，即：N G F 2==，方向是竖直向下。

在最高点，杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，是汽车过拱桥模型和绳球模型的合成。

杆对球的作用力和球的重力G 的合力提供向心力。

由于杆的支撑作用，小球恰能达最高点的临界条件：V 临=0。

1.当小球运动到最高点的速度恰为零时，杆的支持力大小等于重力．
2.
小球运动到最高点的速度从零逐渐变大时，杆的支持力将从等于重力变为小于重力，然后减为零；再变为拉力并逐渐增大，从小于重力到大于重力．3.当杆的作用力为零时，重力提供向心力．
二、 中间水平位置问题（如图）
例：如右图所示，质量为 m 的小球置于正方体形状的质量为M 的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为 g ，空气阻力不计， 则：
（１）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作
用力，盒子做圆周运动的速度为多大？
（２）若盒子以第（1）问中周期的1/2做匀速圆周
运动，则当盒子运动到与O 点（该圆的圆心）位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？
分析：（1）最高点时，要使盒子在最高点时与小球之间恰好无作用力，则此时重力提供向心力，R m mg v 2= ,gR v =；(2)周期变为
1/2。

速度变为2倍。

则当盒子运动到与O 点（该圆的圆心）位于同一水平面位置时，竖直方向：盒子底部支持力Ｎ=mg 。

水平方向：盒
子外壁对小球的压力提供向心力()mg R m F v 422==，其它面上无作用
力。

从上例（２）问题中分析可知，在竖直平面内圆周运动的中间水平位置，重力对完成圆周运动所需向心力没有帮助，只有水平方向各力的合力提供向心力，而竖直方向上各力的合力只改变速度大小。

三、 一般位置问题（如图）
例：若汽车沿圆弧桥面从顶端下滑，分析汽车的运动情况。

分析：由物体重力及支持力沿半径方向的合外力提供向心力，若车速度过快，车会离开桥面做斜抛运动。

R v m F mg N 2
cos =-θ，)cos 1(212θ-=mgR mv ，即将离开时F N =0，所以︒==2.4832arccos θ。

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运
动，其合外力一般不指向圆心，它产生两
个方向的效果（如图）：
θ R
因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力。

总结，竖直方向圆周运动是个复杂的问题，但分析此类问题时利用力学的正交分解法，往往可以迎刃而解。

即对分析对象建立直角坐标系，其中一条轴要指向圆心，把各力分解到坐标轴上，那么指向圆心方向的合力为向心力，而另一轴上的合力则改变速度大小。

【参考文献】
[1]中国教育学会物理教学专业委员会出版的《中学物理》．
[2]物理课程标准研制组编写的《物理课程标准解读》．2004.
[3]广州市教研室物理科编印的《有效教学学习资料》．2006.。