斐波那契数列与黄金比ppt
第八讲--黄金分割与斐波那契数列
第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1.黄金分割的概念德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
“中外比”指将一线段分成两段不等长的部分，使得长段与短段之比等于全长与长段之比。
此比值为215，取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比，或黄金数（Golden Number）。
一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点，称为把此线段黄金分割。
有时也将黄金数称为黄金分割。
而一长方形，如长比宽等于黄金数，便称此为黄金长方形。
其实关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
2.黄金分割在各领域中的应用（1）人体中的黄金分割：人的肚脐眼原是胎儿在母体中吸收养分的重要器官，其所在高度与一个人身高的比值恰为0.618。
关于黄金比与斐波纳契数列ppt课件
♀
♀
♂
♀
♀♂ ♀ ♂
♀ ♂
蜂巢中有蜂王、工蜂、雄蜂。 前两者是雌性，由蜂王的受精 卵孵化而来；而雄蜂则是由蜂 王的未受精卵孵化来的。因此， 雌蜂有父亲和母亲，而雄蜂却 只有母亲。
从图上看，任何一只雄蜂有一 个父母（母亲），两个祖父母 （母亲的父母），三个曾祖父 母（祖母的父母和祖父的母 亲），家谱中每一代亲族的数 字构成一个斐波纳契数列：
51 2
531
2
黄金比例还有诸多迷人的表示方法，比如：
斐波纳契及斐波纳契数列之一 关于兔子繁殖的问题
•斐波纳契是中世纪的意大 斐波纳契数列之起源
利数学家。
——关于兔子繁殖的问题：
•他引进了阿拉伯数字及其 运算法则来代替复杂的罗 马数字。
将一对兔子放进一个 四周都是墙的地方。假定 一对兔子每月生一对小兔， 新生的小兔子过两个月之
爬楼梯问题
一个孩子要爬楼梯，他每次最多爬两阶，如果有n阶台阶，那么
他有多少种方法 C n 可以爬上楼梯?
• n=1时有一种方法， C 1 =1：1；
• n=2时有两种方法， C 2 =2：11，2； • n=3时有三种方法， C 3 =3：111，12，21； • n=4时有五种方法， C 4 =5：1111，112，121，211，22；
极限中间比为 x 1 也就是黄金比例
我们的黄金比例
不管怎么说， 首先是一个极其有趣的数字：
1 51.618033987，由此出发， 的倒数
2
1 0.618033987 , 的平方22.618033987
事实上，
的倒数 1
2 51
511，
2
2
Fibonacci数列(斐波那契数列)PPT课件
指数形式。不妨设为 f n n 进行尝试。将
n 代入差分方程：
fn2 fn1fn
得到 n2 n1 n
-
11
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有 2 1
解得
1
1
2
5
2
1 2
5
由此可知这两个都是差分方程的解。
-
12
3.Fibonacci数列的通项公式
-
6
2.观察Fabonacci数列
如何求它的通项呢？（粗略地求） 拟合法
利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合
-
7
2.观察Fabonacci数列
利用matlab拟合
直接拟合有点难！
把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图， 看看有什么规律？
取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！
-
2
1. 提出问题
-
3
1. 提出问题
越往后就越复杂，最后归纳得
数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系：
F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1.
由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣， 后来又发现了该数列的更多性质
2an 8
-
26
-
21
4.自然界中的斐波那契数列
医学研究已表明，秋季是人的免疫力最佳的 黄金季节。因为7月至8月时人体血液中淋巴 细胞最多，能生成大量的抵抗各种微生物的 淋巴因子，此时人的免疫力强.
-
22
4.自然界中的斐波那契数列
在我们的生活环境中，就随处可见了，如建 处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、 报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕， 以及许多家用器物都是近似这个数比关系构 成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经 把它作为经典法则来应用。有许多美术家运 用它创造了不少不朽列
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
《斐波那契螺旋线》课件
适用于Mac系统的矢量绘图软件，也支持绘制斐波那契螺旋线。
Inkscape
免费的开源矢量图形软件，同样可以绘制出精美的斐波那契螺旋 线。
手绘方法与技巧
准备工具
准备一张纸、一支铅笔、一把 尺子和圆规等基本绘画工具。
绘制基础图形
先在纸上绘制一个圆形或椭圆 形作为基础图形。
开始绘制
从圆心开始，按照斐波那契数 列的规律向外绘制线段，每条 线段长度依次为前两条线段之 和。
《斐波那契螺旋线》ppt课件
目 录
• 斐波那契螺旋线的简介 • 斐波那契螺旋线的数学原理 • 如何绘制斐波那契螺旋线 • 斐波那契螺旋线的艺术创作 • 斐波那契螺旋线在自然界中的表现 • 斐波那契螺旋线的科学意义与价值
01
斐波那契螺旋线的简介
定义与特性
定义
斐波那契螺旋线是一种按照斐波那契 数列规律生成的螺旋线，其特点是相 邻两个线段之间的长度比等于前两个 相邻线段长度之和。
这种关系使得斐波那契螺旋线在视觉 上具有美感，被广泛应用于艺术、建 筑和设计等领域。
斐波那契数列中的数字与黄金分割密 切相关，例如，前两个数字的比值接 近于黄金分割，后续的数字的比值也 呈现类似的规律。
生成斐波那契螺旋线的数学公式
斐波那契螺旋线是一种几何图形 ，它由连续的曲线组成，这些曲 线按照斐波那契数列的规律排列
04
斐波那契螺旋线的艺术创作
绘画中的应用
抽象画
斐波那契螺旋线在抽象画中常常被用来表现自然生长的规律和节奏，如花、草、 树木等。
具象画
在具象画中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的纹理和图案，如动物的毛发、 植物的叶片等。
雕塑中的应用
浮雕
在浮雕中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的形态和动态 ，如动物的姿态、植物的形态等。
黄金分割比和斐波那契数列
黄金分割比和斐波那契数列1. 黄金分割比：自然中的奇妙比例1.1 什么是黄金分割比好啦，先聊聊黄金分割比吧。
这个比率听起来像个高深的数学名词，但实际上，它非常简单：黄金分割比大约是1.618。
这是什么意思呢？假如你有一条线段，把它分成两部分，其中一部分和整条线段的比例，等于另一部分和较长部分的比例。
这种比例就是黄金分割比。
有没有觉得很神奇？就像大自然中的秘密一样，几乎无处不在。
1.2 黄金分割比在生活中的应用你可能没注意到，但黄金分割比在生活中随处可见。
比如，我们的脸部比例、一些著名建筑的设计，甚至你最喜欢的艺术作品中，都有这个比率的影子。
它就像是一种神秘的美学标准，让一切看起来更加和谐自然。
就连《蒙娜丽莎》这样的经典画作也都蕴含了这个比例。
2. 斐波那契数列：数学中的魔法2.1 什么是斐波那契数列接下来，咱们聊聊斐波那契数列。
这是一串非常特别的数字序列，开头的两个数字是0和1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
例如，0，1，1，2，3，5，8，13……以此类推。
听起来是不是有点像魔法？这种数列不仅在数学中有趣，而且在自然界里也经常出现。
2.2 斐波那契数列与黄金分割比的关系现在，你可能会好奇，斐波那契数列和黄金分割比到底有啥关系。
其实，它们之间有着密不可分的联系。
随着斐波那契数列不断增长，数列中的数字比值会越来越接近黄金分割比。
这就像数学中的一个小秘密，揭示了自然界和艺术作品的深层美学。
3. 黄金分割比和斐波那契数列的奇妙结合。
3.1 自然界中的应用大自然里可真是黄金分割比和斐波那契数列的“大舞台”。
比如，向日葵的种子排布、松果的鳞片、甚至某些贝壳的螺旋形状，都是按照这些数学法则排列的。
试着观察一下，你会发现这些自然界的奇迹，竟然都遵循着这样一种神秘的规律。
3.2 艺术和建筑中的体现不仅在自然界，黄金分割比和斐波那契数列在艺术和建筑中也有广泛应用。
古希腊的帕台农神庙、文艺复兴时期的画作，甚至现代建筑设计中，都可以找到它们的身影。
斐波那契数列PPT
兔子数列
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁 殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一 对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死， 那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔对数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能 力，所以一共是三对
越到后面，这些比值越接近黄金比。
与杨辉三角的关系
将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来， 即得一数列1、1、2、3、5、8、……
矩形面积
斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以 导出一个斐波那契数列的一个性质。
斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小 的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成 一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大 矩形是这样一个数列 ：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597， 2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个 数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项 之和，构成了后一项。
图片欣赏——生活中的斐波那契额数列
谢谢
与黄金分割的关系
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当 n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………， 55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.61803 39886…...
黄金比例和斐波那契数列
黄金比例和斐波那契数列
黄金比例和斐波那契数列是数学中常被提及的两个概念。
黄金比例指的是两个量之比等于它们的和与较大量之比，即φ=(1+√5)/2，约为1.618。
这个比例在自然界和艺术中都有广泛应用，例如黄金矩形和黄金螺旋等。
而斐波那契数列是一种数列，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
其前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列也被广泛应用在自然界和科学中，例如植物的叶子排列、蜂巢的结构等。
黄金比例和斐波那契数列之间有着紧密的联系，例如相邻两项的比值趋近于黄金比例，而将斐波那契数列的相邻两项放在一个矩形中，则这个矩形的长和宽的比例也趋近于黄金比例。
因此，黄金比例和斐波那契数列是数学中非常有趣和重要的概念。
- 1 -。
演示文稿斐波那契数列与黄金分割
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花
的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他 144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明 这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成的。这一 模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真正意义上的 解释直到1993年才给出。目前科学家们对这一模式 还在研究之中。
=1.6180・・・
黄金比，黄金数
第十八页，共55页。
第十九页，共55页。
斐波那契数列的美妙性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
☆ 随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分
割0.6180339887…… ☆ 从第二项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每 个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
的美,是一种冷而严肃的美。”
我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地处处
开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果
园正是按照美的追求开拓出来的。”
第三页，共55页。
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
第四页，共55页。
十秒钟加数
• 请用十秒，计算出左边一列数的 和。
时间到！
第二十五页，共55页。
A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征
生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多数 情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34， 55，89，144……
例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣 花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的花瓣有 13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……
第二十九页，共55页。
B、斐氏数列与游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对 他的地毯匠朋友说： “请您把这块地毯分成四小块，再 把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。” 这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形 地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地 毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做 到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目的！
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
斐波拉契数列与黄金分割共35页文档
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美பைடு நூலகம்。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
斐波拉契数列与黄金分割
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
END
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指事物各部分间一定的数
学比例关系，即将整体一
分为二，较大部分与较小
部分之比等于整体与较大
部分之比，其比值为
1∶0.618或1.618∶1，即
长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审
美意义的比例数字。上述
比例是最能引起人的美感
的比例，因此被称为黄金
分割
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发现历史
据说在古希腊，有一 天毕达哥拉斯走在街上， 在经过铁匠铺前他听到铁 匠打铁的声音非常好听， 于是驻足倾听。他发现铁 匠打铁节奏很有规律，这 个声音的比例被毕达哥拉 斯用数数理的方式表达出 来。被应用在很多领域， 后来很多人专门研究过， 开普勒称其为“神圣分割” 也有人称其为“金法”。
-
黄金比与战争
千百年来，人们对成吉思汗的蒙古
骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地
席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用
游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、
善于骑射以及骑兵的机动性这些理
由，都还不足以对此做出令人完全
信服的解释。或许还有别的更为重
要的原因？仔细研究之下，果然又
从中发现了黄金分割律的伟大作用。
蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的
斐波那契数列&黄金比
-
斐波那契数列
Fibonacci Sequence
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Game：“取棋子”
游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的棋子 。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子 全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最 多不能超过对方所取棋子数的一倍。然后又轮到 先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所 取棋子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部 棋子被取光为止，谁能拿到最后一粒棋子，谁就 算胜利者。
小兔
子对
数1
0
1
1
2
3
5
8 13 21 34 55 89
大兔 子对 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
数
兔子 总对 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
Fibonacci Sequence·解析
通项公式
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黄金比
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黄金比
黄金分割又称黄金律，是
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黄金分割与自然
鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄 金比例，是自然界最美的鬼斧神工。
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黄金分割与自然
如果从一棵嫩枝的顶 端向下看，就会看到 叶子是按照黄金分割 的规律排列着的。
-
Do you know?
1、人的体温37度，室温25度是人们 感受最舒适的温度，而25÷37=0.676很 接近0.618。
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黄金分割与美感
利用黄金分割率的紫禁城
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黄金分割与美感
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黄金分割与美感
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黄金分割与美感
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黄金分割与作息制度
科学家们还发现，当外界 环境温度为人体温度的 0.618倍时，人会感到最舒 服．现代医学研究还表明 ，0.618与养生之道息息相 关，动与静是一个0.618的 比例关系，大致四分动六 分静，才是最佳的养生之 道。医学分析还发现，饭 吃六七成饱的几乎不生胃 病。
方阵大不相同，在它的5排制阵形
中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动
轻骑兵的比例为2:3，这又是一个
黄金分割！你不能不佩服那位马背
军事家的天才妙悟，被这样的天才
统帅统领的大军，不纵横四海、所
向披靡，那才怪呢
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黄金分割与战争
一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会 想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在 一起。1812拿破仑大帝 年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽 宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的 博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他 的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇 满志、不可一世。他并未意识到，天才和 运气此时也正从他身上一点点地消失，他 一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。 后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰 溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军 加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看， 法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时 ，脚下正好就踩着黄金分割线。
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Game：“取棋子”
如果棋子总数为2个，获胜的是谁呢？先取的一方还是后 取的一方？ 如果棋子总数为3个，获胜的是谁呢？ 如果棋子总数为5个呢？8个呢？13个，21个呢？
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后Game时代
观察这些数字，有什么规律？ 2，3, 5, 8, 13, 21 再加上这些数字呢？ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
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Fibonacci Sequence·缘起
“不死”之兔
一对兔子，出生后第二个月开始 有生育能力，每月繁殖一对小兔 子。问一对兔子一年中可繁殖出 多少对兔子？
——《珠算原理》 Liber Abacci
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Fibonacci Sequence·解析
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Fibonacci Sequence·解析
月数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2．理想体重计算很接近身高×（1－ 0.618）。
3．普通人一天上班8小时， 8×0.618=4.944，上班第5个小时是最 需要休息的时候，同时也是开始期待下 班的时候。
4．小学生一节课40分钟，而注意力 只有40×（1－0.618）=15.28分钟，因 此教师必须不断注意学生的学习。
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黄金分割左右股市
黄金线五段买卖法则 1.耐心持有待突破： 2.高抛低吸取黄金： 3.虎口拔牙要小心： 4.高高在上买不宜： 5.风光无限在险峰：
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是什么呢？
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f(n)/f(n-1)-→0.618
• 经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值 是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。 即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都 是整数，两个整数相除之商是有理数，所 以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。 但是当我们继续计算出后面更大的菲波那 契数时，就会发现相邻两数之比确实是非 常接近黄金分割比的。
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Fibonacci Sequence
斐波那契数列（兔子数列 ）
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 斐波那契数列(Finonnaci sequence) 自第三项开始,每一项都是前两 项的和 数列中的每一项为 斐波那契数(Fibonnaci Number) 以符号 Fn 表示。 F1 = F2 = 1 ， 而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
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Leonardo Fibonacci
斐波那契数列的发明 者，是意大利数学家 列昂纳多·斐波那契 Leonardo Fibonacci， （AD1170~AD1240）。 他被人称作“比萨的 列昂纳多”。1202年， 他撰写了《珠算原理》 (Liber Abacci)一书。他 是第一个研究了印度 和阿拉伯数学理论的 欧洲人。