弧度制 优质课PPT课件
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高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
人教A版必修第一册5.1.2弧度制 课件(共15张PPT)
三、度与弧度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意
非零角，单位不同量数也不同. 因为周角的弧度
数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360⁰＝2πrad， 180⁰＝πrad. 1 = π rad 0.01745rad
180
1rad
=
180 π
Q1 P1
P B
A
于是
l = n π 180
r 180
α
O
PQ A
探究！如图，在射线OA上的一点Q(不同于点O)，
OQ=r1. 在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的 长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论?
可以发现，圆心角α所对的弧长 Q1 B
与半径的比值，只与α的大小有关.
P1
也就是说，这个比值随α的确定而
3、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积 公式得以简化，这体现了弧度制优点.
(1)l = αR ; (2)S = 1 αR2; (3)S = 1 lR.
22ຫໍສະໝຸດ 谢谢！！!唯一确定.O
PQ A
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径
的关系度量圆心角.
B
二、弧度的概念
我们规定：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
r
1rad
Or A
的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度.
我们把半径为1的圆叫单位圆，在单位圆O
中，弧AB长等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角α rad，那么
l = nπR 180
S = nπR2 360
人教版-弧度制-课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
l n r
180
l
3、扇形旳面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们要求，长度等于半径旳弧所
正确圆心角叫做1弧度旳角；用符号rad表
达，读作弧度。 用弧度来度量角旳 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
r
A
O
l 2r
CC
2radA
r
A
Oo
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解
3
3
rad = ×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边旳角旳集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表达旳角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
1、弧度制旳定义； 2、弧度制与角度制旳转换与区别；
2、例题： （1）把6730化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度数
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2 3 5
43 2 346
3 2
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
探究二
弧AB旳长 OB旳旋转 方向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(36张)
(3)∵25π＝25×180°＝72°， ∴与25π终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°. ∴在 0°～720°中与25π终边相同的角为 72°，432°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数
[解析] (1)α1＝－171π＝－171×180°≈－282.86 °； α2＝5611π＝5611×180°＝15 330°； α3＝9＝9×1π80°≈515.66°； α4＝－855°＝－855×1π80＝－149π. (2)163π＝4π＋43π； －315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －117π＝－2π＋37π.
l 的绝对值是|α|＝_____r___.这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
(3)弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝____2_π___ rad 180°＝____π____ rad
π 1°＝_1_8_0_ rad≈0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
课时·跟踪训练
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋π2，k∈Z ∪
α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋π2，k∈Z
.
首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位 要统一，注意虚实边．
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判 断 2 014°是不是这个集合的元素．
探究二 用弧度制表示角 [例 2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
弧度制PPT优秀课件16(共9份)
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
《弧度制》【公开课教学PPT课件】
解析：|α|＝rl＝42＝2.
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
高中数学《弧度制》课件
2．若 α＝－3，则角 α 的终边在
(C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3 为第三象限角．
返 回 目 录
5
课堂练习
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角
3
归纳探索
4．角度与弧度的互化：
(1)角度转化为弧度：
360°＝2π rad；180°＝π rad；
π 1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad.
(2)弧度转化为角度：
2π rad＝ 360° ；π rad＝ 180° ；
1 rad＝1π80°≈57.30°＝57°18′.
返
回
目
录
3
归纳探索
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面
积最大为 100 cm2.
返 回
目
录
5 课堂练习
5
课堂练习
1．时针经过一小时，时针转过了
A．π6 rad
B．－π6 rad
C．1π2 rad
D．－1π2 rad
(B )
5
课堂练习
180
360
2 创设情景
2
创设情景
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的
圆心角等于1 rad.
若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
弧度制 课件
.
错解:∵与 45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈
Z},
π
∴与 4 终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+45°,k∈Z}.
错因分析:只考虑把360°化为2π,忽视了对45°的要求,出现角度与
弧度混用.
正解:∵与45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z},
π
π
∴与 4 终边相同的角的集合为 = 2π + 4 ,∈Z .
π
答案: = 2π + ,∈Z
4
2
1
当 r=4 时,l=2(cm),此时 θ= = rad.
4
1
综上可得,θ= .
2
(2)设扇形弧长为 l,
π
2π
∵72°=72× = (rad),
2π
180
5
∴l=αr= 5 ×20=8π(cm).
1
1
∴S=2lr=2×8π×20=80π(cm2).
2
角度制与弧度制混用
π
π
4
4
典例与 终边相同的角连同 在内组成的角的集合是
【例2】 (1)将下列各角化为弧度:①112°30';②-315°;
19
5π
(2)将下列各弧度化为角度:① - 12rad;②
. 3π
分析:
解:(1)①∵1°=
π
π
180
rad,
5π
∴112°30'=180 ×112.5 rad= 8 rad.
π
7π
②-315°=-315×180 =- 4 .
180
l
r
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
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正数 负数
零
正数 负数 0
实数集R
7
3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
r
α 其中 l 为以角 作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.
l 4.
= |α| r (弧长计算公式)
.
8
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这 这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
.
3
2、弧长公式:
l n r 180
l
3、扇形的面积公式：
S扇形
n
36
R2 0
.
n° l r
l OS
R
4
二、弧度制
1 、弧度制的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。
“弧度”常用“rad”表示。
设弧AB的长为L，
B
若L=r， 则∠AOB=
L r
=1
弧度
L=r
1弧度
Or A
若L=2r，则∠AOB=
.
15
你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算
出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？
角度制：
弧长公式：l = nπR/180
扇形面积公式：
S扇形
n
36
R2 0
弧度制：
弧长公式：l = αR 扇形面积公式：s = ½αR 2= ½ l R
.
16
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°}
五、小结：
弧度制
角度制
度量单位
弧度(10进制)
度(60进制,1=60,1′=60)
把长度等于半径长
单位规定
的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
周角的1/360叫做1度的 角。
换算关系
360 2rad
180rad
基本关系 .
1 rad0.017r4a5d
180
1rad1805.7305718
导出关系 18
解： 3ra d3180 108
5
5
.
12
（3）、把-35°化成弧度。
解：
－35o － 180 rad × 35 －
7 rad
36
（4）、把 —4 π 弧度化成度。 3
解： 4 rad 4 × 180 o 240 o
3
3
.
13
填一填： 注意： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
度数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧度
数
0
6
4
2 3 5 3 23 23 4 Nhomakorabea62
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不 写，但用“度”（°）为单位不能省略。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如 无特别要求，不用将π化成小数。
弧度制（一）
.
1
身高：2.26米 体重：125千克
1米=3.28043英尺 1千克=0.4536磅
.
2
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
• 1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
.
14
4、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行 比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧 度”为单位度量角的制度，角度制是以“ 度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于 半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的 大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧） 的大小；③不论是以“弧度”还是以“度 ”为单位的角的大小都是一个与半径大小 无关的定值．
由180°= π 弧度 还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
.
11
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。 解：6730' 671
2
6 7 3' 0rad 61 73rad
180 2 8
（2）、把 —3 π 弧度化成度。 5
L r
=
2
弧度
.
5
若L=3r，则∠AOB=
L r
=3
弧度
3r
3rad
r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它数所的对 绝的对弧值的是长Lr为3=r，3，则∠AOB的弧度
即∠AOB=－
L r
=
－3弧度
B
OrA
-3弧度
.
L=3r6
2.正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正角 负角 零角 任意角的集合 .
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角
所对的弧长与半径之. 比是常数
9
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
.
10
180°= 1°× 180
0,
2
2 ,
2
周角： {θ|θ=360°}
2
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
[0, )
2
(, )
2
[0,)
0°到360°的角：{θ|0°≤θ. <360°}
[01,72)
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
.
19