小学三年级奥数余数问题
小学奥数知识点：余数问题
小学奥数知识点：余数问题余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a(mod m);②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mo d m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
小学奥数经典题1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。
小学三年级奥数余数问题
第三讲 余数问题一、知识概要（1） 被除数÷除数＝商……余数余数一定要小于除数被除数＝除数×商＋余数,或被除数－余数÷商＝除数;（2） 一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”或“弃九数”;求一个数的九余数,就是求这个数各个数位上数字之和的九余数;例如：求345÷9的余数,就用3＋4＋5÷9＝12÷9＝1……3,可知345÷9的余数是3;（3） 如果整数a 和b 被几除,得到的余数是相同的,那么,我们僦称a 和b “同余”;同余性质有：⑴若a 和b 同余,c 和d 同余,则a ±c 和b ±d 同余；⑵若a 和b 同余,c和d 同余,则a ×c 和b ×d 同余;二、典型例题精讲1、 △□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环;求出310的余数,找到排列在第“余数”位的那个图形即是;解：310÷6＝51组……4个答：这个图形的第310个图是□;2、 哪些数除以7结果的商和余数都相同识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式,因为“余一定小于除数”,所以,余数有7-1种可能;根据“知识概要”<1>可解答解：如表所示;答：这些数是8、16、24、32、40、48;3、积的个位是数字几？个19933333⨯⨯⨯⨯ 识题技巧：3＝3 1个33×3＝9 2个33×3×3＝27 3个33×3×3×3＝81 4个33×3×3×3×3＝243 5个33×3×3×3×3×3＝729 6个3…………………从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环;因此,这个题是个“余数问题”;解：199÷4＝49组…………3个,3个3相乘积的个位为7;答：积的个位数字是7;4、去年200年的“元旦”是星期二,那么今年2003年的“元旦节”是星期识题技巧：<1>“元旦”即1月1日,从2002年元月1日到2003年元月1日共有365＋1天,即366天;<2>星期是7天为一个周期;<3>按本题的意思,星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一;解：366÷7＝52个周期…………2天排在第2的是星期三答：2003年的“元旦节”是期三;5、计算2731596÷7284,并用“九余数”法验算;识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来,所得的和再除以9而得到的余数;也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后,如果和仍然还是两位以上的数,那么再继续把和的各个数位的数字加起来,直到和是一位数,这个“一位数”即是“九余数”;解： 验算： 6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖,当第三个小朋友拿到7颗糖时,老师已发了多少颗糖 识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗,这说明老师循环发了6次多3人或7次少 1人; 解：6×4＋3＝27颗或7×4－1＝28－1＝27颗 答：老师已经发了27颗糖;三、练习巩固与拓展1、 小英同学有一串五彩珠子,是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的,问：<1>第58颗是什么颜色的<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗<3>第9颗紫珠子与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日,这一年的10月1日国庆节是星期几2004年的“元旦节”是星期3、 □÷8＝□……□,余数可能是几96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596375 7284 33和 21 15 15 6余数 3 × 66 18 90 6 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)4、 □÷□＝□………7,除数最小是几5、 □÷7＝16………□,要使余数最大,被除数是几6、，积的末位数字是几？个1873333⨯⨯⨯⨯ 7、几？，积的末位数字应该是个3002222⨯⨯⨯⨯ 1、 在下面的乘法中,A 、B 表示不同的数字,试问：A 、B 各代表哪一个数字 9、钟面上现在是整点,分钟再转100圈,正好是四点整,钟面上现在是几点钟10、有红、白、黑球具2000个,按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列如下图,最后一个是什么颜色的球11、星期四,再过25天,第26天是星期几12、假设所有的自然数排列起来如下图,120应位于哪一个字母下面A B C D E F G1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 …………13、在下列这串分数中：14、张江同学计算一个奥数题,由于粗心,把某数除以23等87余12,余数写多于正确答案10;你说“某数”是多少15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗,前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次;以第一个战士开始手,100小时该由第几个战士上班16、紧接着2063的后面写一串数字,每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字,这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数字是几17、杨军在外婆家玩了9天,回家后,将这9天的日历撕下来,他惊奇地发现：这9天日历上的数相加刚好是81;你想：杨军是几号回家,几号去外婆的他为什么感到“惊奇” 第三讲 练习题答案1、158÷5＝11……3排在第3位的是“蓝”故：第58颗是蓝色;25×8－2＝38颗故：第8颗蓝珠子是第38颗;2、1123÷7＝17……4 排在第4位的是星期三46363302A B A ⨯B故：国庆节那天是星期三;2225÷7＝30……5余数为5,按星期规律排在第五是星期四故：2004元旦是星期四;3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况;4、除数最小是8;5、当余数为6时,被除数是16×7＋6＝118;6、187÷4＝46……3第3个重复出现的是“7”故：积的末位数字是7;7、300÷4＝75余数为0,是排在第四位的重复出现数“6”故：积的末位数字是68、A 代表5；B 代表6;9、<1>100÷12＝8……4小时<2>4－4=0即12点运用倒推法故：钟面上现在是12点;10、2000÷9＝222……2个第2个是“红”故：最后一个是红球;11、26÷7＝3周……5天,第5循环数是“1”故：第26天是星期一;12、提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A －G 七个字母下面120÷7＝17……1第一个字母是A故：120位于A 下面;13、提示：分母和分数的出现规律是：分母是1,有分数1个；分母是2,有分数3个；分母是3,有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……;分母为6,相对应的分数有11个,66排在分母为6这一组中的第6个; <1>9＋1×5÷2＋6＝31个 故：66是第31个分母数; <2> ∵分数的个数与分母有这样的关系如下表∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个,即64 ; 14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10,∴□＝23×87＋12－10＝2003故：“某数”是200315、∵A B C D E 5个战士1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 时间11－1213－1415－1617－1819－20………………………………………每隔10小时1循环∴100÷10＝10余数为0或9都是轮为“E”故：100小时时该由第五个战士上班;16、提示：这串数从11位开始,每6个为一个周期循环出现,而且每一位上的数字与余数的对应关系是：∵2063÷6＝343 (5)故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号,则第二天就是K＋1号,第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋1＋8×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的,13号回家;杨军之所的感到惊奇,是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样,凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积;注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样,而是特定的从某天开始;如本题必须是从5号从6号就不一定了开始,到13号这九天日期才是81;。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理2星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-2星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少人．【答案】59．【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]−1=59（人）．2. 一个数，除以11余7，除以13余9，除以19余15，问满足条件的最小自然数是．【答案】2713．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这样得[11、13、19]−4=2713．3. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】43．【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7]=35，所以这个数就是35+8=43．4. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为．【答案】323．【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323．5. 一个大于100的数，除以9余3，除以11余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】111．【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12，这样我们可以把余数都处理成都余12，所以[9、11]=99，所以这个数就是99+12=111．6. 一个大于2000数，除以11余5，除以13余3，除以17余16，问满足条件的最小自然数为．【答案】2447．【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是11+5=13+3= 16，这样我们可以把余数都处理成都余16，所以[11、13、17]=2431，所以这个数就是2431+16=2447．7. 有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4，如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360−6=354(块)．8. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1，[2,4,5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41．9. 有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少个．【答案】62【分析】设有x个苹果．因为11除以3余2，所以x除以3余2；因为10除以4余2，所以x除以4余2；因为12除以5余2，所以x除以5余2．又因为x大于12，x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）．10. 一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为．【答案】1078．【分析】n除以15余13：最小为13，通式为13+15k1；n除以13余12：k1最小为6，则有13+15×6=103，通式为103+[15,13]k2=103+ 195k2．n除以11余0：k2最小为5，则有103+195×5=1078．11. 一个大于3的数，除以7余4，除以9余6，除以11余8，问满足条件的最小自然数是．【答案】690．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这样得[7、9、11]−3=690．12. 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是．【答案】103．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]−2=103．13. 小明心里想了一个正整数．并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是．【答案】41【分析】该整数除以14的余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20．这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42，所以这个数可以表示成42k−1的形式，被42除的余数是41．14. 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级人数应该是人．【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，则a÷3⋯⋯1 ①a÷5⋯⋯2 ②a÷7⋯⋯1 ③符合条件①的有1，4，7，10，13，16，⋯．同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22．以后每隔[3,5,7]=105即符合．由于该年级有100多名学生，为22+105= 127．15. 某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．【答案】62【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.16. 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是．【答案】998【分析】观察到11−8＝13−10＝3，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11×13−3＝140,设某数为a，则a＝143m−3m为非零自然数，只需143m−3除以17余12，而143÷17＝8⋯7,只需(7m−3)÷17＝n⋯12,即7m−15是17的倍数所以，m＝7，所以a＝143×7−3＝998.17. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是．【答案】104或119【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．18. 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．【答案】157【分析】（解法一）先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．（解法二）除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17（n为自然数）此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15719. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【答案】323【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[5,7,9]=315所以这个数最小为315+8=323.20. 红星小学组织学生划船．若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人．如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有人．【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142．21. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．【答案】148【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5＋3＝7＋1＝8,这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a＝35m＋8,下一步只需要a除以9余4，35÷9＝3⋯8,只需8＋8m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m＝4，因此满足所有条件的最小自然数为8＋35×4＝148.22. 有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写在这里．【答案】31，94【分析】除以7余3的数有：3，10，17，24，31⋯；除以9余4的数有：4，13，22，31⋯；所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为[7,9]n+31=63n+31（n为自然数）按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94．23. 在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．【答案】6【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1．有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．24. 一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小的奇数．【答案】1523．【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．25. 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，则这个数最小是．【答案】419．【分析】分析题意知，这个数加1就能被2,3,4,5,6,7整除，所以这个数为[2、3、4、5、6、7]−1=420−1=419．26. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数．【答案】23．【分析】由中国剩余定理得这个数为23．27. （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？【答案】（1）3；（2）31【分析】（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3．（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．28. 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？【答案】59【分析】70×2+21×4+15×3=269；269−105−105=59；29. 小朋友们做游戏，若7人分成一组，则最后余下5人；若9人分成一组，则最后余下5人；若11人分成一组，则最后余下5人．那么一起做游戏的小朋友至少有人．【答案】698【分析】分析题意知，小朋友的人数是7，9，11的公倍数减5，所以做游戏的小朋友的人至少有[7、9、11]+5=698（人）30. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【答案】670．【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22，除以28余26，除以32余30，[24、28、32]=672，所以这批书的数量为672k−2，又因为这批图书总数在1000本以内，所以k=1，这本书为670．31. 已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【答案】1303【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知11+5=9+7=13+3=16,也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11×9×13+16=1303.32. 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？【答案】11【分析】．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数1133. —个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？【答案】11【分析】简答：除以5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的数是59加上若干个60，如119、179等，这些数除以12余11．34. （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，⋯，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，⋯，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？【答案】（1）23；（2）165【分析】（1）采用逐步满足条件法．满足条件第二个条件的数位1、12、23、⋯发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23．（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．35. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用中国剩余定理求解）【答案】1102【分析】70+21×2+15×3=70+42+45=157，157+105n在1000到1200之间．可以先写成52+105n，105×10+1050，1050+52=1102．36. 已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．【答案】77和78【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以5余2．除以6的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以6余2或余5．除以7的余数之和是1，则可以判断出第一个数除以7余0．满足第一、三两个条件的数有7、42、77，再考虑第二个条件，只有77满足．因此这两个数为77和78．37. 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？【答案】999【分析】这是一道余同的问题．满足条件的数可以表示为[4,6]×n+3，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]×83+3=999．38. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【答案】140．【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11−8=13−10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143，所以这个数是143−3=140．39. 被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？【答案】31【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：3,5,7,9,11,⋯,27,29,31,33,⋯被3除余1的所有整数是：4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,⋯被5除余1的所有整数是：6,11,16,21,26,31,36,⋯上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数．40. 有5000多根牙签，可按6种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？【答案】5039【分析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包．所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520，即n+1是2520的倍数，在满足题下只能是2520×2=5040，所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．41. 炒饭老师非常喜欢吃炒饭．有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭．他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗．问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【答案】62【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3，4，5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为[3,4,5]+2=60+2=62（碗）．42. 被3，5除余2的最小两位数是几？【答案】2【分析】被5除余2的所有整数是：2,7,12,17,22,27,32,37⋯被3除余2的所有整数是：2,5,8,11,14,17⋯所以，被3，5除余2的最小两位数是2．43. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？【答案】473【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．44. 刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】467【分析】兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2+ [3,5]×n，其中n为自然数，即2、17、32、47、⋯其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47+[3,5,7]×m，其中m为自然数．m取4时满足条件，为467．45. 一个两位数分别除以7、8、9，所得的余数的和为20．问：这个两位数是多少？【答案】62【分析】余数的和为20，则这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8或5、7、8．其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62．46. 有一个自然数，用它去除25，38，43所得到的3个余数之和是18，那么这个自然数是多少？【答案】11【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}25 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\38 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\43 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 25 + 38 + 43 - 18 = 88$ 为x的倍数；②88=2×2×2×11③枚举验证⇒x=11．47. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数．【答案】53．【分析】分析题目，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数15 21 3530 42 7045 63 10560 84 140… … …找出除以7余4的 除以5余3 除以3余2．可以找出分别是：60 63 35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内．所以答案为：158−105=53．48. （1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）—个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？【答案】（1）122；（2）104；（3）5649. 有一个整数，用它去除63，90，130所得到的3个余数之和是25，那么这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}63 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\90 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\130 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 63 + 90 + 130 - 25 =258$ 为x的倍数；②258=2×3×43③枚举验证⇒x=43．所以 $\left\{ \begin{gathered}63 \div 43 \cdots 20 \hfill \\90 \div 43 \cdots 4 \hfill \\130 \div 43 \cdots 1 \hfill \\\end{gathered} \right.$，显然这3个余数中最大的一个是20．50. 一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？【答案】59【分析】除以27余5的数有5、32、59、⋯，其中除以7余3的最小的数是59．51. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个数是多少？【答案】53【分析】如果用剩余定理相信大家会做了，接下来看逐步满足法．第一个条件，除以3余2，最小是2；先记下2．第二个条件，除以5余3，原来已经有了2，要保持满足第一个条件不变，那么在2的基础上增加3的倍数，这样除以3余2不会变．2+3n的形式．这个数要满足第二个条件，除以5余3．在2+3n中，2已经余2了，3n需要余1，所以n=2即可．这样满足前两个条件的最小的数是8．第三个条件，除以7余4.8+3×5n的形式．3×5n=15n除以7要余4−1=3，15除以7余1，所以n最小是3，这个数是8+45=53满足题意．52. 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？【答案】5【分析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，⋯；它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，⋯；除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，⋯；它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，⋯；一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余3+2，除以4余4+1，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a，则a=12m+5，（m为自然数）所以这个数除以12余5．53. （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）—个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？【答案】（1）17；437（2）106；216【分析】（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,10]+17=437．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]=110，因此这个数最小为110−4=106．第二小的是110×2−4=216．54. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用逐步满足法）【答案】1102【分析】方法1（比较法）：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102.方法2（逐步满足的比较法）：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.方法3（逐步满足法）：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.55. 今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？【答案】7【分析】40×1+45×3+36×2=247，3×4×5=60，247÷60=4⋯⋯7，最少是7．56. 今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最少有多少个？【答案】32【分析】70×2+21×2+15×4=242；244−105−105=32；57. 有一个正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【答案】85【分析】除以7余1的数至少是1，为满足这一特点每次要加7，加了4个7后首次满足除以8余5；然后每次加56，加了一个后满足除以9余4，此时这个数是85．58. 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【答案】172【分析】法一：仔细分析可以发现3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[3,5,11]=165，所以这个数最小是165+7=172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．59. 一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？【答案】1906．【分析】设这个数为x．x除以8余2：最小为2，通式为2+8k1；x除以9余7：k1最小为4，则有2+8×4=34，通式为34+[8,9]k2=34+72k2．x除以11余3：k2最小为4，则有34+72×4=322．则x=322+[8,9,11]n=322+792n．322+792n−28+322+792n−79+322+792n−311=622 40+99n+35+88n+29+72n=622259n=518n=2x=322+792×2=1906．60. 有一个整数，用它去除53，89，127所得到的3个余数之和是23，那么这个整数是多少？【答案】41【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}53 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\89 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\127 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 53 + 89 + 127 - 23 =246$ 为x的倍数；②246=2×3×41③枚举验证⇒x=41．61. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？【答案】148．【分析】设这个数为n．n除以5余3：最小为3，通式为3+5k1；n除以6余4：k1最小为5，则有3+5×5=28，通式为28+[5,6]k2=28+30k2．n除以7余1：k2最小为4，则有n=28+30×4=148．62. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【答案】2430，2431，2432．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n+1，n+2．依题意可知：15∣n，17∣(n+1)，19∣(n+2)，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15∣n 17∣(n +1)19∣(n +2)→→→15∣2n 17∣(2n +2)19∣(2n +4)→→→15∣(2n −15)17∣(2n −15)19∣(2n −15)}⇒[15,17,19]∣(2n −15)从上面可以发现 2n −15 应为 15、17、19 的公倍数．由于 [15,17,19]=4845，所以 2n −15=4845(2k −1)（因为 2n −15 是奇数），可得 n =4845k −2415．当 k =1 时 n =2430，n +1=2431，n +2=2432，所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432．63. 有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1．问这个数除以 12 余数是几？【答案】 5【分析】 满足条件的最小值是 5，那么所有满足条件的数肯定具有 [3,4]k +5=12k +5 的形 式，除以 12 —定是余 5 的．64. （1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？【答案】 （1）123；（2）115【分析】 （1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 [8,12]×n +3，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 5，即 [8,12]×5+3=123．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为 [6,10]×n −5，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 4，即 [6,10]×4−5=115．65. 一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个，如果 9 个一包，最后还剩 8 个 ⋯⋯ 如果 5 个一包，最后还剩 4 个，那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？【答案】 8 个【分析】 简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7⋅⋯，除以 5 余 4，[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5×7×8×9=2520，所以，布袋中球数是 2520−1+2520=5039，5039÷13 余 8．66. （1）—个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？（3）—个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？【答案】 （1）110；（2）106；（3）29【分析】 简答：（1）[4,6]=12，14+12×8=110；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”计算．67. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】7和9的公倍数9和5的公倍数5和7的公倍数6345351269070135105180140225175210245280⋯⋯⋯在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．68. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【答案】1102【分析】方法1：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．方法2：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102．方法3：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．69. 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【答案】368．【分析】将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165 3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678−1155×2=368是符合条件的最小值．70. 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个除数为M，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．63÷M=A⋯⋯aa+b+c=25，则(63+90+130)−(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283−25=258=(A+B+C)×M.所以M是258的约数．258=2×3×43显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2−1)=3,3×(3−1)=6,3×(6−1)=15所以均不满足．而当除数M为43×2，43×3，43×2×3时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数M只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．71. 有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？。
小学三年级奥数ppt：余数的妙用
组内第1个数
1 2 3 4 5 67 8 9 3 2 5 3 2 53 2 5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 2 5 3 余22 5 3 2 5
19 20 21 22 23 … 3 2 5 3 2…
组内第2个数
规律
余几即是组内第几个数，
余0即是组内最后一个数。
第88个数在B列。
2009年元旦是星期四，那么， 2010年元旦是星期几？
365÷7=52（组）……1（个）
答：2010年元旦是星期五。
19 20 21 22 23 … 32532
1 23 4 567 8 9 3 25 3 253 2 5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 2 余5 0 3 2 5 3 2 5
19 20 21 325
组内最后一个数
1 23 4 567 8 9 3 25 3 253 2 5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 2 5 余31 2 5 3 2 5
小升初试题
•2009年元旦是星期四， 那么，2010年元旦是星 期几？
余数的妙用
例题1、有一列数：3，2，5，3，2，5， 3，2，5…… （1）第21、22、23个数分别是几？ （2）前23个数的和是多少？
1 23 4 567 8 9 3253 25325
10 11 12 13 14 15 16 17 18 3 25 3 253 2 5
例题3、下面题中的自然数各列用ABCDE来代表， 如：1在A列，2在B列，那么请问99在哪一列呢？
多少个数 为一组？
99个数可以 分成几组， 余几个数？
99÷8=12（组）……3（个） 答：第99个数在C列。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
三年级奥数第8讲 有余数除法
例3、23÷□=□……5中，除数和商各是多少？
同步练习
1、27÷□=□……3中，除数和商各是多少？
2、□÷8=5……□中，被除数和商各是多少？
4、在一道有余数的除法中，商是最小的两位数，除数是最大的一位数，被除数和余数最大是多少？最小是多少？
课后巩固
一、填空
1、下面算式中的余数可能是几？
（1）□÷5=□……□（）
（2）□÷6=□……□（）
（3）□÷7=□……□（）
2、要使商和余数相同，被除数是哪些数？
（1）□÷9=□……□（）
（2）□÷6=□……□（）
3、下列除法算式中除数和商各是几？
（1）18÷□=□……4除数（）商（）
（2）33÷□=□……3除数（）商（）
3、一道除法算式，被除数是最小的三位数，商是8，余数是4，求这道除法算式的除数是多少？
例2：算式□÷6=□……□中，不告诉被除数、商是多少，你能写出它的余数有哪几个吗？
同步练习
1、算式□÷7=□……□中，不告诉被除数、商是多少，你能写出它的余数有哪几个吗？
2、算式□÷9=5……□中，被除数最大是几？最小是几？
（3）35÷□=□……8除数（）商（）
（4）69÷□=□……1除数（）商（）
二、判断
1、在算式□÷6=8……□中，余数最大是5。（）
2、在算式23÷□=□……5中，除数可能是3，商可能是6。（）
3、某一个数除以5，所得的商与余数相同，这个数只可能是6。
4、在算式□÷□=25……3中，除数最小是4，被除数最小是103。
例4、有一袋桃子，如果每次拿走5个，最后余下2个；如果每次拿7个，最后余下1个，这袋桃子最少有多少个？
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
2升3奥数拓展：有余数的除法综合(试题)-小学数学三年级上册人教版
2升3奥数拓展：有余数的除法综合（试题）-小学数学三年级上册人教版一、选择题1．一个星期有7天，如果六月份有5个星期六和星期日，那么6月30日是星期（）。
A．日B．一C．六D．二2．小时候我们用手指练习数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（）。
A．食指B．中指C．无名指D．小指3．有一堆苹果不足40个，5个5个地分还剩3个，7个7个地分也还剩3个，这堆苹果有（）个。
A．39个B．38个C．35个4．△△○△△△○△△△○△按这样的规律画图形，第29个图形应是（）。
A．○B．△C．△5．在有余数的除法算式244□○中，商有（）种可能。
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A．2B．3C．4D．无数6．君君穿了这样一串项链送给妈妈，用了12颗。
用了（）颗。
A．12B．18C．36二、填空题7．如果把●和△按照……●△●△……顺序排成一排，●有20个，则△可能有( )个，可能有( )个，还可能有( )个。
8．果果书架上的书比40本多，比50本少。
如果按6本分一组，还剩3本；如果按7本分一组，也剩3本。
果果的书架上有( )本书。
9．有36个桃子，至少要增加( )个，正好可以平均分给7只猴子，每只猴子分( )个。
10．彩旗按1面红旗，3面黄旗，2面蓝旗的顺序排一排，第50面是( )旗。
11．把一些香蕉平均分给6个小朋友，每人分到3根，还剩3根。
如果每人分4根且正好分完，那么需要再添上( )根。
12．在□里填上合适的数。
三、解答题15．六一儿童节小丽想自己动手做一些手链送给朋友们，每串手链需要4颗爱心，3颗小花，6颗五角星，现在她有23颗爱心，28颗小花，36颗五角星，她最多做几串手链？16．这些水果最多可以装成多少个礼盒？20．5个、4个、2个可以装成一个水果篮。
这些水果最多可以装成多少个水果篮？参考答案： 1．A【分析】解决时间推算问题，首先把总时间按照周期性进行合理分段，用总时间的天数除以一个周期性时间的天数，根据余数进行日期的推算，余数是几，就是周期性时间的第几天；没有余数，就是周期性时间的最后一天。
三年级奥数第8讲 有余数除法专题
第8讲：有余数除法专题简析：把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分到书的本数一样多，这些书分到最后会出现什么情况？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。
解这类题的关键是要先确实余数，如果余数已知，就可以确实除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数=商×除数+余数。
例题1、在算式□÷6=8……□中，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？习题一、1、下面算式中被除数最大是几？最小是几？□÷8=3……□2、你能写出下式中最大的被除数和最小的被除数吗？□÷4=7……□3、下式中要使除数最小，被除数应为几？□÷□=12 (4)例题2、在算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？习题二、1、下列算式中，除数和商各是几？（1）22÷（）=（）......4 （2）65÷（）=（） (2)（3）37÷（）=（）......7 （4）48÷（）=（） (6)2、149除以一个两位数，余数是5，请写出所有符合条件的两位数。
例题3、在算式（）÷7=（）……（）中，商和余数相同，被除数可以是哪些数？习题三、1、下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数（1）（）÷6=（）……（）（2）（）÷5=（）……（）（3）（）÷4=（）……（）（4）（）÷3=（）……（）2、一个三位数除以15，商和余数相同，请你写出5个符合条件的除法算式。
3、在算式（）÷9=（）……（）中，商和余数相等，被除数最大是几？例题4、在算式（）÷（）=（）……4中，除数和商相等，被除数最小是几？习题四、1、下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？（1）（）÷（）=（） (6)（2）（）÷（）=（） (8)（3）（）÷（）=（） (3)2、有一个除法算式，它的余数是9，除数和商相等，被除数最小是几？3、有一个除法算式，它的除数是7，商和余数相等，被除数最小是几？例题5、在算式12÷（）=（）……（）中，不同的余数有多少个？习题五、1、在算式18÷（）=（）……（）中，不同的余数有多少个？2、除法算式A÷9=B……C中，B,C都是一位数，A最大是多少？3、甲、乙两数的和是23，甲数除以乙数商2余2，求甲数和乙数。
(完整版)小学奥数数论问题余数问题练习题.doc
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.3.除以 99,余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.4.求下列各式的余数：(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11(2)19992000 ÷ 7分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4 的各次方除以 7 的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么 3 个一循环 ,所以由 2000÷3 余 2 能够得到 42000 除以 7 的余数是 2,故 19992000÷7的余数是 2.【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛 )有苹果 ,桔子各一筐 ,苹果有 240 个,桔子有 313 个,把这两筐水果分给一些小朋友 ,已知苹果等分到最后余 2 个不够分 ,桔子分到最后还余 7 个桔子不够再分 ,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说 ,已知一个数除 240 余 2,除 313 余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化 ,因为 240 被这个数除余 2,意味着 240-2=238恰被这个数整除 ,而 313被这个数除余 7,意味着这 313—7=306 恰为这个数的倍数 ,我们只需求 238 和 306 的公约数便可求出小朋友最多有多少个了 .240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于 1 的整数 ,除 45,59,101 所得的余数相同 ,求这个数 .分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 , 根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.【第四篇】1.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.2.除以 99 的余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.【第五篇】199419941994(1994个 1994)除以 15 的余数是 ______.分析：法 1：从简单情况入手找规律,发现 1994÷15余14,19941994 ÷ 15余 4,199419941994 ÷余15 9,1994199419941994 ÷ 15余 14,......,发现余数 3 个一循环,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是 4;法 2：我们利用最后一个例题的结论能够发现199419941994能被 3 整除 ,那么19941994199400 0能被 15 整除 ,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是4.。
小学生奥数数论问题应用题：余数问题
★这篇《⼩学⽣奥数数论问题应⽤题：余数问题》，是特地为⼤家整理的，希望对⼤家有所帮助！
⼀个⼤于10的⾃然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个⾃然数去除220后所得的余数，则这个⾃然数是多少?
解答：
这个⾃然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个⾃然数去除90+164=254后所得的余数，所以254和220除以这个⾃然数后所得的余数相同，因此这个⾃然数是254-220=34的约数，这个⾃然数只能是17或者是34，如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题⽬条件.如果这个数是17，那么他去除90、16、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题⽬条件，所以这个⾃然数是17。
小学奥数 余数性质(二) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
带余数的除法奥数题道 带余数的除法奥数题及答案
带余数的除法奥数题道带余数的除法奥数题及答案题目1小明手上有45个苹果，要均分给他的3个朋友。
请问小明每人能分到几个苹果，还有剩余几个苹果？解答将45除以3得到商15，余数为0。
小明每人能分到15个苹果，没有剩余。
题目2小红收到了30本书，想要将它们平均分成4堆。
请问每堆书有几本，还有剩余几本书？解答将30除以4得到商7，余数2。
小红每堆书有7本，还剩下2本。
题目3小华手上有65只纸鹤，他想把它们放在3本相同大小的笔记本中。
请问每本笔记本里有几只纸鹤，还有剩余几只？解答将65除以3得到商21，余数2。
每本笔记本里有21只纸鹤，还剩下2只。
题目4有100个学生参加足球比赛，要将他们平均分到10个队中。
请问每个队有几个学生，还有剩余几个学生？解答将100除以10得到商10，余数0。
每个队有10个学生，没有剩余。
题目5小李有17本漫画书，要将它们分成5堆。
请问每堆有几本书，还有剩余几本？解答将17除以5得到商3，余数2。
每堆有3本书，还剩下2本。
题目6小明买了23根铅笔，要均分给他的4个朋友。
请问每人能分到几根铅笔，还有剩余几根？解答将23除以4得到商5，余数3。
每人能分到5根铅笔，还剩下3根。
题目7小华有98个糖果，他想将它们平均分给他的7个同学。
请问每个同学能分到几个糖果，还有剩余几个糖果？解答将98除以7得到商14，余数0。
每个同学能分到14个糖果，没有剩余。
题目8小红有53块巧克力，她想将它们分成4堆。
请问每堆有几块巧克力，还有剩余几块？解答将53除以4得到商13，余数1。
每堆有13块巧克力，还剩下1块。
题目9小李有63颗石头，他想将它们放在4个箱子中。
请问每个箱子里有几颗石头，还有剩余几颗？解答将63除以4得到商15，余数3。
每个箱子里有15颗石头，还剩下3颗。
题目10有30个学生参加篮球比赛，要将他们平均分到6个队中。
请问每个队有几个学生，还有剩余几个学生？解答将30除以6得到商5，余数0。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理5星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-5星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？【答案】1506．【分析】设这个数为x．[7,8,9]=504，504−6=498，则x=498+504n．498+504n−17+498+504n−28+498+504n−39=570 71+72n+62+63n+55+56n=570191n=382n=2x =498+504×2=1506．2. 一个不超过 200 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 9．如果用十进制表示，那么这个数是多少？【答案】 23【分析】 根据结论：“在 n 进制中，一个自然数与它的数字和模 (n −1) 同余”，所以这个数 {÷3⋯2,÷5⋯3,÷7⋯2, 利用物不知数可以求出符合的答案为 23、128、233、…，符合“不超过 200”的只有 23 和 128，经检验，23=(113)4=(35)6=(27)8，128=(2000)4=(332)6=(200)8，只有 23 符合．3. 有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0）．这样的三位数中最小的三个是多少？【答案】 118、119、155【分析】 设这个三位数为 N ，先写出所有的情况再分析：{ N ÷2⋯0、1,N ÷3⋯0、1、2,N ÷4⋯0、1、2、3,N ÷5⋯0、1、2、3、4,N ÷6⋯0、1、2、3、4、5.首先，N 除以 4 不可能余 0 或余 1，否则和 N 除以 2 的余数相同；N 除以 6 不可能余 0 或余 1 或余 2，否则和 N 除以 3 的余数相同．所以情况变为{ N ÷2⋯0、1,N ÷3⋯0、1、2,N ÷4⋯2、3,N ÷5⋯0、1、2、3、4,N ÷6⋯3、4、5.若这个数是偶数，很明显 {N ÷2⋯0,N ÷4⋯2,N ÷6⋯4, 所以 { N ÷2⋯0,N ÷3⋯1,N ÷4⋯2,N ÷5⋯3,N ÷6⋯4, 利用物不知数解出通解为 58+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 118；若这个数是奇数，很明显 {N ÷2⋯1,N ÷4⋯3, 那么 {N ÷2⋯1,N ÷4⋯3,N ÷6⋯5, 因为 N 除以 6 余 5，所以 N 除以 3 余 2，所以 {N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷6⋯5, 此时 N 除以 5 有 2 种情况，若 { N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷5⋯0,N ÷6⋯5, 利用物不知数解出通解为 35+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 155；若 { N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷5⋯4,N ÷6⋯5, 利用物不知数解出通解为 59+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 119；这样的三位数中最小的三个是 118、119、155．4. 有连续的三个自然数 a 、a +1、a +2，它们恰好分别是 9、8、7 的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？【答案】 495【分析】 法一：由 a +1 是 8 的倍数，得到 a 被 8 除余 7，由 a +2 是 7 的倍数，得到 a 被 7 除余 5，现在相当于一个数 a 除以 9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5．运用中国剩余定理求 a （用逐步满足的方法也可以）7 和 8 的公倍数中除以 9 余 1 的最小为 280；7 和 9 的公倍数中除以 8 余 1 的最小是 441；8 和 9 的公倍数中除以 7 余 1 的最小是 288，根据中国剩余定理，280×0+441×7+288×5=4527 符合各个余数条件，但 4527 不是最小的，还需要减去 7、8、9 的公倍数，可知 4527−(7×8×9)×8=495 是满足各个余数条件的最小值，所以 a 至少是 495．法二：仔细观察，可知由于 a 、a +1、a +2 恰好分别是 9、8、7 的倍数，那么 a +9、a +1+8、a +2+7 也分别是 9、8、7 的倍数，即 a +9 是 9、8、7 的公倍数，那么 a +9 的最小值是 9×8×7=504，即 a 至少是 504−9=495．。
小学奥数 数论 余数问题 余数性质(二).题库版
1.学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学三年级奥数第2讲 有余除法(含答案分析)
第2讲有余除法一、知识要点：1、解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
2、（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练【例题1】[ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？练习1：(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。
[ ]÷8＝3……[ ](2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。
[ ]÷4＝7……[ ](3)下题中要使除数最小，被除数应为________。
[ ]÷[ ]＝12 (4)【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［］中，被除数最小是几？练习2：(1)下面算式中，被除数最小是几？①[ ]÷[ ]＝4……［］②[ ]÷[ ]＝7……［］③[ ]÷[ ]＝9……［］(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？①[ ]÷[ ]＝3……［］②[ ]÷[ ]＝6……［］(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
练习3：(1)下面算式中，除数和商各是几？①22÷[ ]＝[ ] (4)②65÷[ ]＝[ ] (2)③37÷[ ]＝[ ] (7)④48÷[ ]＝[ ] (6)(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
_________________________________________________________________(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？_________________________________________________________________ 【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？练习4：(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？①[ ]÷6＝[ ]……[ ]②[ ]÷5＝[ ]……[ ]③[ ]÷4＝[ ]……[ ]④[ ]÷3＝[ ]……[ ](2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。
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第三讲 余数问题
一、知识概要
（1） 被除数÷除数＝商……余数（余数一定要小于除数）被除数＝除数×
商＋余数，或（被除数－余数）÷商＝除数。
（2） 一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”（或“弃九数”）。
求一个数
的九余数，就是求这个数各个数位上数字之和的九余数。
解答）
解：如表所示。
答：这些数是8、16、24、32、40、48。
3、积的个位是数字几？个
19933333⨯⨯⨯⨯ 识题技巧：3＝3 （1个3）
3×3＝9 （2个3）
3×3×3＝27 （3个3）
3×3×3×3＝81 （4个3）
3×3×3×3×3＝243 （5个3）
3×3×3×3×3×3＝729 （6个3）
…………………
从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而
按“3、9、7、1”依次循环。
因此，这个题是个“余数问题”。
解： 验算： 6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖，当第三个小朋友拿到7颗糖时，老师已发了多少颗糖？ 识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗，这说明老师循环发了6次多3人（或7次少 1人）。
96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596 375 7284
33(和21 15 15 6(余数) 3 × 6
6 18 9
0 6 ＝ 0 ＋
2731596÷7284＝375……
解：6×4＋3＝27（颗）[或7×4－1＝28－1＝27（颗）]
答：老师已经发了27颗糖。
三、练习巩固与拓展
1、小英同学有一串五彩珠子，是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的，
问：<1>第58颗是什么颜色的？<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗？
<3>第9颗紫珠子与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子？
2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日，这一年的10月1日国庆节是星
期几？2004年的“元旦节”是星期？
14 13 12
15 16 …………
13、在下列这串分数中：
14、张江同学计算一个奥数题，由于粗心，把某数除以23等87余12，余
数写多于正确答案10。
你说“某数”是多少？
15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗，前5天由五个战士每隔2小时依次轮
换一次。
以第一个战士开始手，100小时该由第几个战士上班？
16、紧接着2063的后面写一串数字，每个数字都是它前面两个数字之积的
个位数字，这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数
字是几？
17、杨军在外婆家玩了9天，回家后，将这9天的日历撕下来，他惊奇地发
现：这9天日历上的数相加刚好是81。
你想：杨军是几号回家，几号
去外婆的？他为什么感到“惊奇”？
第三讲练习题答案
11、26÷7＝3（周）……5（天），（第5循环数是“1”）
故：第26天是星期一。
12、（提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A－G七个字母下面）
120÷7＝17……1（第一个字母是A）
故：120位于A下面。
13、（提示：分母和分数的出现规律是：分母是1，有分数1个；分母是2，
有分数3个；分母是3，有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、
5、7、9……。
分母为6，相对应的分数有11个，6
6排在分母为6这一组中的第6个。
）
<1>（9＋1）×5÷2＋6＝31（个） 故：6
6是第31个分母数。
<2> ∵分数的个数与分母有这样的关系（如下表）
∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个，即6
4 。
14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10，
发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样，凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积。
（注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样，而是特定的从某天开始。
如本题必须是从5号（从6号就不一定了）开始，到13号这九天日期才是81。
）。