勾股定理的应用立体图形展开
勾股定理的应用教学设计5篇
勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。
2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。
启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。
二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。
三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
【难点】：查找长方体中最短路线。
四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。
教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。
五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。
思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。
【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。
《勾股定理的应用》--长方体表面上的最短路径问题教学设计
17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。
三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。
2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。
（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。
（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。
勾股定理的应用
5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面 还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地 面，求旗杆的高度.
【解析】设旗杆的高度AC为x m，
那么绳子的长度AB为(x+1) m，
根据题意得到△ABC为直角三角形，∠C＝90°，
根据勾股定理得到：
52+x2=(x+1)2，
答案：480
4.如图所示，学校有一块长方形花圃，有极 少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内 走出了一条“路”.他们仅仅少走了_______ 步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草. 【解析】根据勾股定理可得斜边长是 则少走的距离是3+4-5=2(m)，即4步. 答案：4
42 32 5 m .
A.45 m
B.40 m
C.50 m
D.56 m
【解析】选B.由题意知△AOB为直角三角形, 因为OA=32 m,OB=24 m, 所以 AB AO2 BO2 322 242 40 m .
2.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用 上,他搬来了一架高为2.5 m的梯子,要想把拉花挂在高2.4 m的 墙上,小虎应把梯子的底端放在距离墙______m处. 【解析】由勾股定理得，梯子的底端到墙的距离为
(打“√”或“×”) (1)应用勾股定理的前提是三角形是直角三角形.( √ ) (2)只用米尺不能确定一个门框的两边是否垂直.( × ) (3)如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者 在C点设桩，使∠ABC=90°,并测得AC长50 m、BC长40 m，则 A，B两点间距离是30 m.( √ )
解得x＝12.
答：旗杆的高度为12 m.
6.如图所示，从电线杆离地8 m高的A处向地面B处拉一条长 10 m的缆绳，如果从电线杆离地6 m高的C处同样拉一条长10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点D与B点的距离有多远？
勾股定理的应用ppt课件
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
1.3 勾股定理的应用
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考 ■考点一 立体图形上的最短路线
点 清 1. 确定圆柱侧面上两点之间的最短距离，其步骤如下：
单 解
（1）将侧面展开为长方形；
读
（2）根据“两点之间线段最短”构造直角三角形；
（3）利用勾股定理求距离.
1.3 勾股定理的应用
单 解
一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边时，可设未知
读 数，根据勾股定理建立方程，通过解方程解决问题.
1.3 勾股定理的应用
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考
对点典例剖析
点 清
典例2 如图，台风过后，一棵白杨树在某处折断，白杨
单 树的顶部落在离白杨树根部 8 m 处，已知白杨树高 16 m， 解
读 则白杨树是在离根部_____ m 的位置折断的.
1.3 勾股定理的应用
考 ［答案］ 6 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
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重 ■题型 勾股定理中的方案设计问题
难 题
例 一路上 A，B 两地（视为直线上的两点）相距 25
型 突
km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB
于点
A，CB⊥AB
破 于点 B（如图），已知 DA=10 km，CB=15 km，现要在路
AB 上建一个土特产收购站 E，使得 C，D 两村到收购站 E
的距离相等，请求出 E 站到 A 地的距离．
1.3 勾股定理的应用
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重 ［答案］ 解：由题意得 CE=DE，在 Rt△DAE和 Rt
难 题
△CBE
中
，DE2
=AD2
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
巧用勾股定理解决折叠与展开问题
专题：巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解•【例1】直角三角形纸片的两直角边AC= 8, BC= 6,现将△ ABC如图折叠，折痕为DE 使点A与点B重合，则BE的长为.1. （2017 •黔西南）如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCDff叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH,则线段AF的长是第1题图第2题图2•如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF= 3,则A吐 -------- .类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解.【例2】（教材P39T12变式与应用）如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm,底面半径等于3 cm,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n取3）【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的AA剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.针对训练3. 如图是一个高为10 cm,底面圆的半径为4 cm的圆柱体.在AA上有一个蜘蛛Q, QA=3 cm；在BB上有一只苍蝇P，PB= 2 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是(结果用带n4. 如图，在一个长为2 m宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是——(精确到o.oi m.5. 如图，长方体的高为5 cm底面长为4 cm,宽为1 cm(1)点A i到点G之间的距离是多少?(2)若一只蚂蚁从点A爬到C,则爬行的最短路程是多少?1. （2017 •广州）如图，E, F 分别是？ ABC ［的边AD , BC 上的点，EF = 6,/ DEF= 60 将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ', ED 交BC 于点6则厶GEF 的周长为（）A. 6B. 12C. 18 2. （2017 •舟山）一张矩形纸片ABCD 已知A 吐3, AD= 2,小明按下图步骤折叠纸片, 则线段DG 长为（）4. 如图，OAB（是一张放在平面24A.2 C. 1 D. 2 3. （2017 •南宁）如图，菱形ABC ［的对角线相交于点 O, AO2, BD= 23,将菱形按如图 方式折叠，使点 专题练习D CA B B. 22 E H H r EB 与点O 重合,直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA= 5, OC= 4.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折, 使点O落在BC边上的点E处.求D, E两点的坐标.5. （2017 •鄂州）如图，将矩形ABC即对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.⑴求证：△ AFE^A CDE⑵若AB= 4, BO 8,求图中阴影部分的面积.6. （2017 •济宁）（教材P34 “活动1”的变式）实验探究：⑴如图1,对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM同时得到线段BN MN请你观察图1,猜想/ MBN勺度数是多少，并证明你的结论；⑵将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论.专题：解决特殊平行四边形中折叠冋题的4种方法? 方法一用方程思想解决特殊平行四边形中的折叠问题1 •如图1-ZT—1,将矩形ABCDS EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上•若A吐6, BO9,贝U BF的长为（）D fA. 4B. 3 2C. 4.5D. 5 2•把一张矩形纸片（矩形ABCD按如图1 —ZT—2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合,折痕为EF.若A吐3 cm BO 5 cm,则重叠部分△ DEF的面积是 ____________ m.图1—ZT—23. 如图1—ZT—3,将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE 且点D落在对角线D'处.若AB= 3, AD= 4,则ED的长为（）A32 B. 3 C. 1 D.434. 如图1—ZT—4,折叠矩形ABCD勺一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE= 5 5 cm 且EC： FO BF： A吐3 : 4.那么矩形ABCD勺周长为________ m5. 如图1—ZT—5,在矩形ABC冲，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG// CD交AE于点G,连接DG.（1）求证：四边形DEFG为菱形；⑵若CD= 8, CF= 4,求CEDE勺值.图1—ZT? 方法二用数形结合思想解决特殊平行四边形中的折叠问题6. 如图1— ZT — 6,在矩形ABCD 中，A 吐4, BO6, E 为BC 的中点，将△ ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF,贝U CF 的长为（ ）A95 B.125 C.165 D.1857•如图1 — ZT — 7,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD&直线AE 折叠（点E 在边DC上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为（10, 8），则点E 的坐标为8. 如图1— ZT — 8,在矩形ABCD 中 AB= 6 cm, E, F 分别是边BC, AD 上一点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C, D 分别落在点C', D'处.若C E 丄AD 贝U EF 的长为______ m9. _________________________________________________________________ 如图1— ZT — 9,在矩形ABCOK OA 在 x 轴上，OC 在y 轴上，且OA= 2, A 吐5,把 △ ABC 沿着AC 对折得到厶AB C, AB 交y 轴于点D,则点D 的坐标为 ________________________ .10. 如图1 — ZT — 10,在矩形ABCD 中, E 是边CD 的中点，将△ ADE 沿AE 折叠后得到△AFE 且点F 在矩形ABCD 内部.将 AF 延长交边BC 于点G,若CGG 号1k ，贝U ADAB图 1— ZT — 6A图1—ZT—1011 •如图1 —ZT—11，将矩形ABCD& DE折叠，使顶点A落在DC上的点A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处•再将矩形ABCDS CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1) 求证：EG= CH(2) 已知AF= 2，求AD和AB的长.图 1 —ZT—11? 方法三用转化思想解决特殊平行四边形中的折叠问题12. 如图1 —ZT—12,将矩形ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH EH= 12 cm, EF= 16 cm,则边AD的长是()A. 12 cmB 16 cmC 20 cmD 28 cm13. 如图1—ZT—13，已知正方形ABCD勺对角线长为2 2,将正方形ABCDS直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A. 8 2B. 4 2C. 8D. 614•如图1 —ZT—14，正方形纸片ABCD勺边长为8,将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为_________ .C f?方法四用分类讨论思想解决特殊平行四边形中的折叠问题15.如图1 —ZT—15,在矩形ABCD中, A吐3, BO4, E是BC边上一点，连接AE把 /B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△ CEB为直角三角形时，求BE的长.图1—ZT。
七年级下册数学勾股定理的应用
h=3.75，r=3
h=2.625，r=3
8.625
11.625 9.375
①
我想检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB，随身只带
了一把卷尺.
（1）你有办法吗？ （ 2 ）量得 AD 长是 30 厘米， AB 长是 40 厘米， BD 长是 50 厘米 .AD 边垂直于 AB 边吗？ D A C B
食 物
B
A
B
B
A
【解析】AB2=202+102=500＞400
不能
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间 的最短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1、没有图的要按题意画好图并标上字母； 2、有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方 程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
例 题
《九章算术》中的趣题
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？” 注：方:正方形 丈：长度单位 1丈=10尺 葭：芦苇．
1
5
《九章算术中的趣题》
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？”
【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得x2 +52=(x+1)2 x2+25=x2+2x+1 1
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2
得∠DAB=90°AD边垂直于AB边
（3）若随身只有一个长度为 20厘米的 刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直 于AB边吗？
【解析】在AD上取点M,使AM=9,在AB
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
勾股定理的应用
是否垂直于AB边吗？BC边与AB呢？ D
C
（3）小明在AD边上量得AE=0.3厘
米，AB边上量得AF=0.4厘米，EF的 A
B
长是0.5厘米，从而得出AD边垂直
于AB边。他的做法合理吗？
一展身手
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形
花圃，有极少数同学为了走“捷径”
在花圃内走出了一条“路”。 他们
仅仅少走了（ ）步路（假设2步
方案选择
蚂蚁A→B的路线
视频演示
拓展提高
c6
9
6B
A
c 6B
6
9 A
方案选择
蚂蚁A→B的路线
学有所获
今天的收获：
1、今天你学到了哪些知识? 2、你还有哪些困惑？
教师寄语
数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在 我们的身边,我们的眼前, 还有很多 象 “勾股定理”那样的知识等待我 们去探索，等待我们去发现……
B
接向上爬到点C ，然后
再从点C 沿底面直径爬
到点B ，这样爬的总路
程与沿圆柱侧面爬行的
最短路程比较，哪一条
更短些？
A
探研点拨
归纳 几何体上的最短路径
转化
平面上两点间的距离
建模
直角三角形
勾股定理
求解 即：在求曲面上的最短路径时，往往把立体图形转化 为平面图形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
走近生活
课后探索
如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm 的长方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B 需要爬行的最短路程是多少呢？
B
A
美丽绽放
如图，有一个圆柱，它的高
B
等于12cm,底面上圆的周长等于
第一章 第3节 勾股定理的应用
第3节勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线长图形中，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路径不一定是两点间的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．【例1】如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面的直径，高BC=6 ，点P是母线BC上一点，且PC=32BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，求蚂蚁爬行的最短距离．特别提醒：在棱柱上确定不同面上的两点间的最短距离时，要把棱柱展开成平面图形，展成不同的面，可能得到不同的路线，要比较后再确定最短距离．拓展：在曲面上确定最短路线，一般沿着出发点或终止点所在的母线展开．解题模板：知识点二利用勾股定理的逆定理解决实际问题在实际生产、生活中常碰到两直线是否垂直的问题，即判断这两条直线构成的角是不是直角．若身边没有测量直角的工具，则可构造三角形，通过测量三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形，从而判断该角是不是直角．【例2】某校两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一小组的行走速度为30 m/min ，第二小组的行走速度为40 m/min ，两组行走的路线为直线且为不同的路线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1 500 m.请你判断一下两组同学行走的路线是否垂直，并说明理由．总结：勾股定理及其逆定理解决实际问题的两种思路思路1：若能抽象出直角三角形，可以直接利用勾股定理解决实际问题；思路2：若不能抽象出直角三角形，需要先运用勾股定理的逆定理来验证三角形是否为直角三角形，再利用勾股定理解决实际问题．题型一立体图形上的最短距离问题角度1、确定长方体（或正方体）上的最短路线长度如图，已知长方体的长AC =2 cm，宽BC =1cm，高AA'=4 cm一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B＇点，那么沿哪条路线爬行最近？最短路程是多少？c1.如图，一块长方体砖宽AN=5 cm 长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD = 8 cm，地面上A 处有一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路程是多少？解后反思：对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的两定点的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．本题易出现只考虑其中的一种情形，而忽视了另外两种情形的错误角度2、立体图形中最短缠绕长度问题【例 2】我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如示意图所示，把枯木看做一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，问葛藤的最短长度为多少．2.如图所示，有一根高为2 m 的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕七圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？方法技巧：应用勾股定理建模，求解最短缠绕问题立体图形中不论是路线长还是绳长问题，都需要将立体图形展开转化为平面图形，在平面图形上将“路线长”或“绳长”转化为两点间的距离，再借助直角三角形，利用勾股定理建模求解．题型二利用勾股定理解决实际问题【例3】如图1.3-9，某地方政府决定在相距50 km的A ,B 两站之间的公路旁E点修建一个土特产加工基地，且使C,D 两村到E点的距离相等．己知DA⊥AB 于点A ,CB⊥AB 于点B ,DA=30 km,CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？变式训练：3、一游泳池长为48 m，小方和小朱进行游泳比赛，从同一起点同时出发．小方的平均速度为3 m/s,小朱的平均速度为 3.1 m/s.小朱沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14 m按各人的平均速度计算，谁先到达终点？规律总结：勾股定理及其逆定理的应用知多少（1）解决两点问距离问题：正确画出图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边； （2）解决航海问题：理解方位角的概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或逆定理解题； （3）解决实际问题中两线段是否垂直问题：以已知的三条边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题；（4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题（5）解决梯子问题：梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用 勾股定理的知识解题； （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．典型高频题1.如图1，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. 5 m B.12 m C.13 m D.18 m图1 图22.如图 2，一轮船以 16 n mile/h 的速度从港 口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mile/h 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开 港口2 h 后，则两船相距（ ） A.25 n mile B.30 n mile C.40 n mile D.50 n mile3.图3是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度 都是 30 cm ，每个台阶的高度都是15cm ，连接 AB ，则 AB 等于（ ）A. 195 cmB.200 cmC.205 cmD.210 cm图3 图4 4.如图4，一圆柱高为8 cm ，底面圆半径为6cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm5.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100 cm,15 cm 和10 cm,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为_________ cm.图5 图66.如图6所示，一个梯子AB长为2.5 m，顶端A 靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为0.5 m，则梯子顶端A下落了_____m.7.如图7 是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．8.将一根长为22 cm的筷子置于底面直径为5 cm ,高为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h 的取值范围是__________（提示：圆柱的母线与底面直径都垂直）．9..如图9、在一根长为90 cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4 cm，影色丝带均匀地缠绕了30 圈，则彩色丝带的总长度为_______cm.图910.如图10，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100 km 的B 处有一台风中心，沿BC方向以20 km/ h 的速度向D 移动．巳知城市A到BC的距离AD=60 km，那么台风中心经过多长时间将从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？图10。
勾股定理在实际问题中的应用
勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来．勾股定理不仅在数学的发展中起着重要的作用，而且在现实世界中有着广泛的应用．下面举例说明勾股定理在实际生活中的应用．一、少走几步路例1.如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．点评：爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。
由此可见，只有懂得“三角形两边之和大于第三边”的人才知道走“捷径”的比经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当的行为上，那将是数学的悲哀。
二、票价为多少元呢？例2.如图2，A 、B 、C 、D 是四个小镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A ↔B ：10元；A ↔C ：12.5元；A ↔D ：8元；B ↔D ：6元；C ↔D ：4.5元．为了B 、C 之间的交通方便，要在B 、C 之间建成笔直公路，请按上述标准计算出B 、C 之间的公路的票价为多少元．分析：因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程来处理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5，利用勾股定理求解．解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理．已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．因为AD 2+BD 2=82+62=64+36=100=102=AB 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ADB=90°． 连接BC ，在Rt △BDC 中，CD=4.5，BD=6，所以224.567.5BC =+=．故B 、C 之间公共汽车票价为7.5元．点评：本题是利用勾股定理来解决生活中的实际问题．本题的技巧是将票价视为路程来处理，这一点与代数中的换元法极为相似．三、最短路程是多少例3如图3，一圆柱的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程大约是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．13cmD ．16cm分析：把圆柱沿直径BC 剪开成两半，展开成平面后可得如图4，则蚂蚁从点A 爬行到“路”4m 3m 图1 AB C 图2 Ａ Ｂ图3ＡＣ 图4 Ｂ点C 的最短路程是矩形的对角线AC 的长，由已知，AB=4，BC=12，故AC=22412+≈12.6≈13（cm ），故选C ．点评：解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化，因此，圆柱问题通常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A 出发到点C ，当圆柱沿母线AB 展开成矩形时，点C 对应的是矩形一边的中点。
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》示范课教学设计
第一章勾股定理3 勾股定理的应用一、教学目标1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.二、教学重难点重点：会用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.难点：能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是.预设答案：直角三角形.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为.预设答案：勾股数.观察思考：小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？教师活动：教师提出问题，观察学生如何思考，再让学生说明理由.关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径.答案：线路③.【问题探究】有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？做一做自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？教师活动：让学生说出自己规划的蚂蚁的路线，然后用课件展示.③A→B的路线长为：AA′+A′B ；③A→B的路线长为：AA′+曲线A′B；③A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB；③A→B的路线长：曲线AB．将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？教师活动：对照圆柱上的线路，用课件展示侧面剪开图，让学生观察并说出哪条线路最近.教师活动：将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：第（4）种方案路程最短．追问：蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？答案：在Rt③A′AB中，利用勾股定理，得AB²=AA′²+A′B²．其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半(πr) ．已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则AB=15cm.做一做如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解蚂蚁最近线路该如何走.多媒体展示答题过程解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得，22AB2.=10+20=50020×1=20(cm).③202<500．③蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．【思考探究】教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？提示：连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD和边BC分别垂于底边AB.提示：连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，边BD长是50 cm.边AD垂直于边AB 吗？教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.解:连接BD③AD=30,AB=40,BD=50又③AD2+AB2=302+402=502=BD2③ΔABD为直角三角形,③A=90°③AD⊥AB同理可证得：BC⊥AB.问题：小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N，使AN=12,92+122=152【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.典型例题【例1】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长．分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为x m,从而AE是（x-1）m,而③AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m．在Rt③AEC中，③AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32= x 2，解得x =5．故滑道AC的长度为5 m．【例2】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt③ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.③这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定教师画示意图：222⨯+⨯=⨯(650)(850)(1050)∴所以小刚上学走了个直角弯.答案：C2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是.教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE=12AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.答案：5 cm.3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：2小时后，A组行驶的路程为：12×2=24（km）；B组行驶的路程为：9×2=18（km）；又因为A，B两组相距30 km，且有242+182=302所以A，B两组行进的方向成直角.。
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
初二-第06讲-勾股定理的应用-教案
第06讲 勾股定理的应用温故知新一、上节课重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有222a b c += 。
2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂导入一、 问题导入知识要点一勾股定理的应用1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决直角三角形的边长问题。
（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。
2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。
3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题：用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。
典例分析例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12mC．13m D．18m【解析】 D．例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20mC．40m D．50m【解析】 C．例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米．【解析】在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC==2米，在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE==1.5米，∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．答案为：0.5．例4、一个零件的形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长．【解析】在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，∴CD=13（cm）．答：CD的长为13cm举一反三1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm【解析】D．2、放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米【解析】D．3、有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了米（用含根号的式子表示）．4、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱．5、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？【解析】（1）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；学霸说规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用知识解读无论是解决实际问题，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。
典列示范一、在数轴上作出表示的点例1如图3－11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是________【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB 的斜边，根据勾股定理可得OB的长，就是这个点表示的实数。
【技巧点评】实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。
第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。
二、在网格中作长度为无理数的线段例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
（1）使三角形的三边长分别为3，（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。
由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。
（2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。
【解答】【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤，第一步设法将n表示成两个整数的平方和；第二步构造直角三角形，使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值.三、梯子下滑问题例3如图3－11－5，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？【提示】本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.【解答】【技巧点评】梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC=A1C+0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题.四、长方体的对角线例4有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是40cm，30cm，120cm的木箱中，露在木箱外边的长度至少为cm.【提示】如图3-11-7，和△是直角三角形，先在中应用勾股定理求出A′C′的长，然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长.【技巧点评】长宽高分别为a，b，c的长方体的对角线长.五、立体图形表明的最短路径例5如图3-11-8，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长.【提示】要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A点到点C1的面上有两种情况，故需分类讨论。
勾股定理的应用
原晓琳
教学目标: 1、熟悉辨别勾股定理和勾股定理的逆定理，并会正确使 用。 2、在一些解题中，会正确构建直角三角形，并能灵活使 用勾股定理。 3、体会数学中的转化思想，感受数学世界里的完美。
教学重点和难点：如何将立体图形展开成平面图形，能灵 活使用勾股定理。
如图，一个圆周长为24m，高为5m 的桶，一只蚂蚁沿表面从A点到B点 所经过的路线长为多少m？
a 2 b2 c 2
（3x） （4 x） 10
2 2 2
A
4x
C
解之得：x=2 ∴a=6 b=8
例2.如图：折叠矩形的一边 AD，点D落在BC边F处，已知 BC=10cm，AB=8cm，求FC， EC的长。
解 :由题意知ADE AFE, AD AF
在RtABF中 BF 10 8 36 BF 6 FC 4
2 2 2
10
8 6 4 8x x
设EC x, 则ED EF 8 x
在RtECF中 4 x
2 2 2 8 x
x3
∴FC=4cm,EC=3cm 注意：找出不变量，分析问题的数量关系，通过已知和未知的联系，在 直角三角形中利用勾股定理构建方程，最后解出方程。
勾股定理应用二：求面积
解：由圆的面积公式可 得
S2 a
c b
S1
S3
1 C S1 ( ) 2 C 2 2 2 8 1 a S2 ( )2 a 2 2 2 8 1 b S3 ( ) 2 b 2 2 2 8 而在直角三角形中有 a 2 b2 c2
2 S12 S2 S32
以直角三角形三边为边向外作三个 正方形，则两个直角边正方形的面积 等于斜边正方形的面积。
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B
B
5米
∟
A
A
12
C
例1：如图所示，有一个高为12cm，底面半 径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对 的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要 爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)
B
A
c
BC
B
1 2
A
A
r=3
解：如图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的 一半＝2×3×3÷2＝9， AC=12
B
A
3cm
A
正面与上面
B
1cm 2cm
B 1
想 想看
下面与右侧 面
B
2
A
3
1C
AB=( 20)CM
∟ ∟
∟
2
A
3
C
AB=( 18)CM
正面与右侧 面
B 1
A
3
2C
AB=( 26)CM
回顾与反思：上述这类问题，一般按三个 步骤进行：
（1）把立体图形转换成平面图形； （2）寻找问题中隐藏的直角三角形； （3）利用勾股定理解答。
路线中的数学知识 B
起点 A
终点 C
两点之间线段最短
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,
A
a2+b2=c2.
cb
B aC
1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第 三边长为＿＿5＿或＿＿＿7＿．
2．直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，
则这个直角三角形的面积为＿2＿4＿cm＿2 ，斜边上的高 为＿＿4＿.8＿c＿m＿＿．
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边
上的高为＿＿48＿cm＿2，面积为____6_cm__．
如图，有一圆柱形油罐，现要从油罐底部的一点A 环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油 罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，油罐底部周 长为12米，那么梯子最短要多少米？
通过本节课学习,我的收获是 我的困惑是
在今后的学习中我要改进的是
同步解析 P55~P57
答:蚂蚁沿着表面爬行的最短路线是 10 c5m
拓展2：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两 个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口 的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多 少？
B
B
0.3 0.2
(0.2×3＋0.3×3)m
A
2
A
C
2m
B
(0.2×3＋0.3×3)m
A
C
2m
解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝2 , BC=0.2×3+0.3×3=1.5
由勾股定理得 AB= AC2 BC2 4 2.25 =2.5
答:蚂蚁沿着台阶爬行到B的最短距离是2.5 米
拓展与提升：如果盒子换成如图长 为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方 体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢？
由勾股定理得，AB= AC2 BC2 92 122 15
答：最短路程为15cm。
拓展1：如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的 最短路程又是多少呢？
B
A
B
B
10
10
A
A
10Leabharlann 10C解：如图，在Rt△ABC中，AC＝20 ,BC=10
由勾股定理得，AB=AC2 BC2 202 102 500 10 5