第11章 机械振动学习指导

第11章 机械振动

内容提要

1． 振动

（1）机械振动：物体在其平衡位置附近作来回反复的运动，称为机械振动。

（2）简谐振动：一个作往复运动的物体，如果在其平衡位置附近的位移按余弦函数（或正

弦函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动。 2． 简谐振动的特征 （1）简谐振动的动力学特征

作简谐振动的物体受到的力为线性回复力，即：

kx F -=

取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程为：

0222=+x dt

x

d ω （2）简谐振动的运动学特征

作简谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦函数关系，即：

)cos(ϕω+=t A x

由上式导出物体的振动速度

)sin(ϕωω+-=t A v

物体的振动加速度

)cos(2ϕωω+-=t A a

3． 简谐振动的特征物理量

（1）振幅A

物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值叫做振幅。它给出了物体运动的范围。对于给定的振动系统，A 的值由初始条件决定，即：

2

20

20

ω

v x A +

=

（2）周期T 、频率ν和角频率ω

作简谐振动的物体从某振动状态发生周而复始的一次变化称为一次全振动，作一次全振

动的时间间隔称为振动的周期；周期T 的倒数T

1=ν代表物体在单位时间内发生全振动

的次数，称为振动的频率；ω表示在2π秒时间内发生全振动的次数，称为振动的角频率。它们都是由振动系统的力学性质决定，之间的关系为：

πνπ

ω22==

T

（3）位相)(ϕω+t 及初位相ϕ

位相)(ϕω+t 是描述简谐振动物体瞬间运动状态的物理量；初位相ϕ是位相的初始值，它与振动物体的初始状态对应，其值由初始听见决定，即：

)(0

x v arctg ωϕ-

= 4． 简谐振动的旋转矢量法

将简谐振动与一旋转矢量对应，使矢量作逆时针匀速转动，其长度等于简谐振动的振幅A ，其角速度等于简谐振动的角频率ω，且t=0时，它与参考坐标轴的夹角为简谐振动的初位相ϕ，t=t 时刻它与参考坐标轴的夹角为简谐振动的位相)(ϕω+t ，旋转矢量A 的末端在参考坐标轴上的投影点的运动即代表质点做简谐振动。 5． 简谐振动的能量

简谐振动系统既有动能，又有势能，它们都随时间变化而变化，但总的机械能守恒，即：

动能：)(sin 21

212222ϕωωυ+==t A m m E k 势能：)(cos 2

1212

22ϕω+==t kA kx E p

机械能：22

22

121kA A m E E E p k ==+=ω

6． 阻尼振动

当振动系统受到各种阻尼作用时，系统的玻璃将不断减少，振幅也随时间增加而不断减小。这种系统能量（或振幅）随时间增大而减小的振动为阻尼振动。 7． 受迫振动

振动系统在周期性外力的持续作用下进行的振动称为受迫振动。这种周期性外力称为强迫力。稳态时，振动频率等于强迫力。当强迫力的频率等于振动系统的故有频率时将发生共振现象。

8． 简谐振动的合成

（1）同方向、同频率的简谐振动的合成

合成后仍为同方向、同频率的简谐振动，合振动的振幅和初位相由两分振动的振幅和处位相决定，即：

振幅： )c o s (212212

221ϕϕ-++=

A A A A A

初位相：2

2112

211cos cos sin sin ϕϕϕϕϕA A A A arctg

++=

当两个简谐振动的位相差为：

),2,1,0(212 =±=-k k πϕϕ时，

合振动振幅最大，即21A A A +=； 当两个简谐振动的位相差为：

),2,1,0()12(12 =+±=-k k πϕϕ时，

合振动振幅最小，即；21A A A -=。 （2）同方向、不同频率的简谐振动的合成

两振动频率差与她们的频率相比很小时，合成后产生拍的现象，拍频ν'等于两振动的频率差，即：

12ννν-='

（3）相互垂直的两个同频率简谐振动的合成

合运动的轨迹通常为椭圆，其具体形状决定于两分振动的位相差和振幅。 （4）相互垂直的两个不同频率简谐振动的合成

两个分振动的频率为简单整数比时，合运动轨迹为李萨如图形。

解题指导与示例

学习本章应重点掌握谐振动的特征、振动方程以及旋转矢量方法的运用，既要注意对相关概念的理解，又要注意将概念及理论用以解决相关的实际问题。

本章主要问题是在加深对简谐振动的特征及规律的理解，题型主要有如下几类： 1、判断物体是否作简谐振动。可通过对物体的受力分析，看合力是否具有kx F

-=的形式，或通过对物

体的受力分析，建立动力学关系，看是否能出到简谐振动的微分方程的形式。

2、根据系统的力学性质和初始条件，写出振动方程。可通过对已知条件的分析，求出A 、ω、ϕ来解决，既可用解析法，也可用旋转矢量法。

3、已知振动方程求描述谐振动的特征量（如A 、ω、T 等）或振动状态量（如x 、v 、E k 、E p 等）。这类问题可通过正确理解各量的物理意义及其相互关系来解决。

例11-1 如图所示，劲度系数分别为k 1、k 2的两个弹簧与质量为m 的物体连接成系统。忽略各种摩擦阻力，问物体的运动是否为简谐振动？

解 判断物体运动是否为谐振动的方法通常有二：一是看其受力特点，二是看其运动规律。本题给出了物体的受力情况，因此应从其受和特点来分析：先找出其受力示式，后分析其受力特点，然后再根据特点来下结论。

以物体的平衡位置为原点O 作X 轴。当物体处 于x 位置时，所受合力：

kx x k k x k x k F F F -=+-=--=+=)(212121

式中，21k k k

+=，故知物体的运动为简谐振动。 图11-1

例11-2 长为0.5m 的轻弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.10kg 的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.6m ，若将砝码上抬，使弹簧缩短到原长后释放。 （1）证明砝码的上、下运动为简谐振动； （2）求此简谐振动的振幅和角频率；

（3）求此简谐振动的振动方程（从释放开始计时）。

解 （1）建立如图所示的坐标系。设未挂砝码时弹簧的自由端为坐标原点O ′，挂砝码后新的平衡位置为点O ，弹簧的伸长量为Δl ，于是有

mg =k Δl

（1） 设振动中的某一时刻砝码位于x ′处，则其所受的合外力 F =mg －kx ′

（2）

将式（1）代入式（2），得

F =k Δl －kx ′=－k （x ′－Δl Δl ）

（3）

令x ′=x ′－Δl 并以新的平衡位置点O 建立新坐标轴

OX ，于是有

F =－kx

可见，砝码的运动是以O 为原点的简谐振动。 图11-2 （2）据题意知A=Δl =0.10m ，故

)s rad (9.910.08

.91-⋅==∆==

l

g m k

ω （3）因t =0时，m

10.0cos 0

-==ϕA x

，即

1cos -=ϕ，故知πϕ=，砝码的简谐振动方程

为

)9.9cos(010π+=t x （m ）

例11-3 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x －t 关系曲线如图所示，求 （1）两个简谐振动的相位差；

（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程。

解 （1）由题给的x －t 图可知，A 1=A 2=5cm ，T=4s ，

1

s 2

-=

π

ω。t =0时，两简谐振动的旋转矢量图