第四章复数练习题及答案：复数加减

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复数的概念及运算练习卷(含答案详解)

复数的概念及运算[基础巩固]1．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．9 解析因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.答案 B2．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2022i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( )A ．2022＋2iB ．2022＋4iC ．2＋2022iD ．4－2022i 解析因为a ＋2022i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2022，即a ＝2，b ＝－2022，所以a 2＋b i ＝4－2022i.答案 D3．(多选题)下列命题错误的是( )A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1B ．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C ．若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3D ．若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应解析 A 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；B ，C 错误；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错误．答案 ABCD4．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝________. 解析由条件知a 2－3＋2a ＝0，解得a ＝1或a ＝－3.答案 1或－35．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1，则实数m ＝____________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2. 答案 26．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．(1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ；(2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0. 解析 (1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. (2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. [能力提升]7．i 2021的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析直接利用i 4＝1，化简i 2021，再得到其虚部．因为i 2021＝(i 4)505·i ＝i ，∴i 2021的虚部为1.故选A ．答案 A8．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R .若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析 ∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案 {0}9．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．解析 ∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．答案 {0}10．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围．解析 (1)∵z 1为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．[探索创新]11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．解析由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.。

复数练习题附答案

复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。

练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 $ 4 + 2i $。

练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 $ i^2 = -1 $，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 $ 14 - 5i $。

练习题3：求复数 $ z = 3 - 2i $ 的共轭复数。

答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 $ z = 2 + i $ 的模（magnitude）。

答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 $ a $ 和 $ b $ 分别是复数的实部和虚部。

所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 $ z = 1 + i $ 的逆。

答案5：复数的逆通过公式 $ \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} $ 计算。

首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 $ |1 + i|^2 = 2 $。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。

答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。

答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。

答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。

答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。

答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。

解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。

答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。

解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。

答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。

解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。

答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。

数学复数的习题及其答案

数学复数的习题及其答案
题目：数学复数的习题及其答案
在数学中，复数是由实数和虚数组成的数。

复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2=-1。

复数在数学中有着广泛的应用，包括在电路分析、信号处理、量子力学等领域中都有重要的作用。

下面是一些关于复数的习题及其答案，希望能帮助大家更好地理解复数的概念和运算。

1. 计算下列复数的和与差：
(a) (3+4i) + (2-5i)
(b) (5-2i) - (3+7i)
答案：
(a) (3+4i) + (2-5i) = 5-i
(b) (5-2i) - (3+7i) = 2-9i
2. 计算下列复数的乘积与商：
(a) (2+3i) * (4-5i)
(b) (6-2i) / (2+4i)
答案：
(a) (2+3i) * (4-5i) = 23-2i
(b) (6-2i) / (2+4i) = 1-i
3. 求下列复数的模和共轭复数：
(a) 4+3i
(b) 2-6i
答案：
(a) |4+3i| = √(4^2+3^2) = 5, 共轭复数为4-3i
(b) |2-6i| = √(2^2+(-6)^2) = 2√10, 共轭复数为2+6i
通过以上习题的练习，相信大家对复数的概念和运算有了更深入的理解。

复数在数学中有着重要的地位，希望大家能够在学习中加深对复数的认识，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

复数练习题及答案

复数练习题及答案复数是英语语法中的一个重要概念，它用来表示多个个体或物体。

掌握复数形式对于学习英语来说至关重要。

在这篇文章中，我们将提供一些复数练习题及答案，帮助读者加深对复数的理解和应用。

第一部分：基础练习1. 将下列名词变为复数形式：a) bookb) catc) appled) boxe) child答案：a) booksb) catsc) applesd) boxese) children2. 将下列名词变为复数形式，并注意特殊变化：a) manb) womanc) childd) tooth答案：a) menb) womenc) childrend) teethe) feet第二部分：规则变化3. 根据名词的词尾变化，将下列名词变为复数形式：a) dogb) penc) bookd) hate) cup答案：a) dogsb) pensc) booksd) hatse) cups4. 将下列名词变为复数形式，并注意词尾变化规则：a) tomatoc) brushd) watche) box答案：a) tomatoesb) potatoesc) brushesd) watchese) boxes第三部分：不规则变化5. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) childb) mousec) toothd) foote) woman答案：a) childrenb) micec) teethd) feet6. 将下列名词变为复数形式，并注意不规则变化规则：a) oxb) deerc) sheepd) fishe) aircraft答案：a) oxenb) deerc) sheepd) fishe) aircraft第四部分：应用练习7. 用适当的复数形式填空：a) There are three _______ on the table.b) My sister has two _______.c) The _______ in the zoo are very cute.d) I need two _______ for this recipe.e) The _______ in the pond swim gracefully.答案：a) booksb) catsc) monkeysd) cupse) fish8. 用适当的复数形式填空，并注意不规则变化：a) The _______ are playing in the garden.b) I saw two _______ in the field.c) The dentist pulled out three _______.d) She bought a pair of _______.e) The _______ are grazing in the meadow.答案：a) childrenb) deerc) teethd) jeanse) sheep复数练习题及答案到此结束。

复数的四则运算练习题(文理通用)

1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形￥解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋－1－22＝612.{答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， ∴|z |＝a 2＋b 2＝510，：将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1解析由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离．答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于（( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5， ∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，zC＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a－b ＝－4.）答案－410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 42^11．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．*12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， ~ 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形．又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15i )C ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C)＋－2＋i 1＋2i的值是( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i＝－1i ＋i ＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案－3(5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 83 6．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i. "法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 【答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x ＝－1，故选B.答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.:解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝________. 解析令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i＝22＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案－i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i2＋i，若z 2＋az <0，求纯虚数a .…解由z 2＋a z <0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0，∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1!。

《复数》全章习题

《复数》全章习题学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值．如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三复数相等例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4，即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D 解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题．课时作业一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________．答案 0解析复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案－2－i解析由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0，又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案－25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ，由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

复数的四则运算(含答案解析)

复数的四则运算1.复数 z= 的虚部为（）2 2013（ i 是虚数单位），则的值8.若 a=i+i + +iA.-1B.-3C.1D.2 为（）A.iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.已知 m 为实数， i 为虚数单位，若m+（m 2-4） i＞ 0，的实部与虚部是互9.设 i 是虚数单位，假如复数则=（）为相反数，那么实数 a 的值为（）A.iB.1C.-iD.-1A. B. C.3 D.-33.已知 a∈ R，i 为虚数单位，若（ 1-i ）（ a+i）为纯虚数，则 a 的值为（）10. 复数 z 知足（ z+2i） i=1+i，则 z=（）A.2B.1C.-2D.-1 A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i11.已知复数 z 的实部为a（ a＜ 0），虚部为1，模长为4.已知（a，b∈R），此中i为虚数单位，2，是 z 的共轭复数，则的值为（）则 a+b=（）A.0B.1C.-1D.2 A. B.- -i C.-+i D.-5.计算=（）A.-1B.iC.-iD.16.已知 i 是虚数单位，，则| z|=（）A. B.2 C. D.47.复数 z 知足 z（2-i ） =2+i（ i 为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.设 x， m 均为复数，若 x2=m，则称复数 x 是复数 m 的平方根，那么复数 3-4i（ i 是虚数单位）的平方根为（）A.2-i 或 -2+iB.2+i 或 -2-iC.2-i 或 2+iD.-2-i 或 -2+i13.设 i 为虚数单位，则（）2014等于（）A.21007iB.-21007iC.22014D.-2201414.已知复数 z1=1+i， | z2 |=3 ， z1z2是正实数，则复数 z2= ______ ．15.复数 z=，i是虚数单位，则z2015= ______．复数的四则运算答案和分析1.B 解：∵ z==，∴复数z=的虚部为 -3．2. A 解：∵ m+（m2-4） i＞ 0，∴，解得：m=2．则=．3.D 解：∵（ 1-i）（ a+i） =1+a+（1-a）i 为纯虚数，∴，解得：a=-1．4.B 解：∵=，∴，解得，则 a+b=1．5.B 解：=．6. C解：由，得，即| z|=．7.D 解：∵z（ 2-i）=2+i，∴ z（ 2-i）（2+i）=（2+i ）（ 2+i），∴ z= （ 3+4i），则= - i 在复平面内对应的点（，-）所在象限为第四象限．8. D 解：由于i+i2 +i3+i 4=0，因此2 2013=i．= = =-a=i+i + +i=-=-1-i．9.C 解：==，∵ 复数的实部与虚部是互为相反数，∴，即 a=3．10. B 解：由（ z+2i） i=1+i ，得，∴ z=1-3i．11.D 解：∵复数 z 的实部为 a（ a＜ 0），虚部为 1 ，则复数 z=a+i．又模长为 2，∴，解得a=．∴ z=，．则==．2 2 212. A 解：设 z=x+yi，则（ x+yi） =3-4i，即 x -y +2xyi=3-4i，∴，解得：或．∴复数 3-4i 的平方根为2-i 或 -2+i．13. A 解：∵（）2=-2i，∴ （）2014=（-2i）1007=（-2）1007?i1007=21007i．14.解：设复数 z2=a+bi（ a， b∈ R），z1z2=，∵ | z2|=3，z1z2是正实数，∴，解得：．则复数z2=．故答案为：z2=．15. 解：∵ z==（1+i），∴ z2=（1+2i+i2）=i，z3=z2?z=i?（1+i）=（-1+i），z4=（z2）2=-1，z5=z4?z=-（1+i），z6=z4?z2=-i，z7=z3?z4=（1-i），z8=z2?z6=1， z9=z?z8=（1+i），∴z t=z8k+t（k、t∈N*），∵ 2015=251× ，8+7∴ z2015=z7=（1-i），故答案为：（1-i）．。

高中复数练习题及讲解及答案

高中复数练习题及讲解及答案### 高中复数练习题及讲解及答案#### 练习题1. 复数的加减法- 计算以下复数的和：$3 + 4i$ 和 $1 - 2i$。

2. 复数的乘法- 求 $(2 + 3i)(1 - i)$ 的乘积。

3. 复数的除法- 计算 $\frac{2 + i}{1 + i}$。

4. 复数的共轭- 找出 $3 - 4i$ 的共轭复数。

5. 复数的模- 求 $5 + 12i$ 的模。

6. 复数的幂运算- 计算 $(2 + i)^2$。

7. 复数的指数形式- 将 $8$ 表示为 $2$ 的幂次形式。

8. 复数的极坐标形式- 将 $-3 - 4i$ 转换为极坐标形式。

9. 复数的三角函数- 求 $\sin(3 + 4i)$。

10. 复数的对数- 计算 $\log(-8 + 0i)$。

#### 讲解复数是实数和虚数的组合，形如 $a + bi$，其中 $a$ 和 $b$是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行加减。

2. 乘法：使用分配律，然后合并同类项。

3. 除法：将分母的实部和虚部合并，然后乘以共轭复数，简化表达式。

4. 共轭复数：改变虚部的符号。

5. 模：计算 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

6. 幂运算：使用二项式定理或幂的性质。

7. 指数形式：使用欧拉公式 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$。

8. 极坐标形式：表示为 $r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$，其中 $r$ 是模，$\theta$ 是辐角。

9. 三角函数：使用复数的指数形式和欧拉公式。

10. 对数：首先将复数转换为极坐标形式，然后应用对数的性质。

#### 答案1. $4 + 2i$2. $2 + 5i$3. $3 - i$4. $3 + 4i$5. $13$6. $3 + 4i$7. $2^3$8. $5(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))$9. 无实数解，因为 $\sin$ 函数在复数域内没有定义。

高中复数加减法练习题(打印版)

高中复数加减法练习题（打印版）# 高中复数加减法练习题## 一、基础练习题1. 计算以下复数的和：\[ z_1 = 3 + 4i \]\[ z_2 = 1 - 2i \]求 $ z_1 + z_2 $。

2. 计算以下复数的差：\[ w_1 = 2 - 5i \]\[ w_2 = 1 + 3i \]求 $ w_1 - w_2 $。

3. 给定复数 $ a = 2 + 6i $ 和 $ b = -1 - 3i $，求 $ a -b $。

## 二、进阶练习题4. 计算复数 $ x = 4 - 2i $ 和 $ y = 3 + i $ 的和，并简化结果。

5. 给定复数 $ p = 1 + i $ 和 $ q = -2 - 4i $，求 $ p - q $ 并将其表示为 $ a + bi $ 的形式。

6. 计算复数 $ r = 5i $ 和 $ s = -3 - 2i $ 的差，并简化结果。

## 三、混合运算练习题7. 计算 $ (2 + 3i) + (1 - 4i) - (3 - 2i) $。

8. 给定 $ u = 2 - i $ 和 $ v = 3i $，求 $ u + v - (1 + 2i) $。

9. 计算 $ (-1 + 2i) - (3 - 4i) + (2 + i) $ 并简化。

## 四、应用题10. 在复平面上，点 $ A $ 表示复数 $ 4 + 3i $，点 $ B $ 表示复数 $ 1 - 2i $。

求点 $ A $ 和点 $ B $ 之间的距离。

11. 已知复数 $ z = 3 - 4i $，求 $ z $ 与原点 $ O $ 之间的距离。

12. 计算复数 $ w = 2 + 5i $ 与 $ x = -1 - 3i $ 的和，并在复平面上表示这个和。

注意：请同学们认真完成以上练习题，掌握复数的加减法运算规则，提高解题能力。

高中数学复数的运算练习题及参考答案2023

高中数学复数的运算练习题及参考答案2023
在高中数学中，复数是非常重要的一部分。

学生需要了解复数的定义、性质及运算。

因此，掌握好复数的运算方法是高中数学的重点之一。

下面，本文将提供一些复数运算的练习题及参考答案，以帮助学生更好地掌握复数运算。

一、练习题
1. 将 $z_1 = 3+4i$ 和 $z_2 = -2+5i$ 相加。

2. 将 $z_1 = 2-3i$ 和 $z_2 = 4+5i$ 相乘。

3. 将 $z = 2+3i$ 除以 $w = -1+2i$。

4. 求 $z = \sqrt{-12}$。

5. 求 $z^{2023}$，其中 $z = 4+3i$。

二、参考答案
1. $z_1+z_2=(3+4i)+(-2+5i)=1+9i$
2. $z_1\times z_2=(2-3i)\times(4+5i)=23+2i$
3. $\frac{2+3i}{-1+2i}= \frac{(2+3i) \times (-1-2i)}{(-1+2i) \times (-1-2i)}=\frac{-8-1i}{5}=-\frac{8}{5}-\frac{1}{5}i$
4. $z=\sqrt{-12}=\sqrt{12}\times \sqrt{-1}=2\sqrt{3}i$
5. $z^{2023}=(4+3i)^{2023}=(-336+5272i)$
练习题及参考答案中的计算结果均经过精心计算，如果答案正确，则学生可以自信地进行下一步的学习。

总之，本文提供的练习题和参考答案，旨在帮助学生更好地掌握复数的运算方法，巩固相关的知识点。

希望本文能够对学生们的学习有所帮助。

数学复数练习题附答案

数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案复数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述实数范围之外的数。

复数由实部和虚部组成，其中实部是一个实数，虚部是一个带有虚数单位i的实数。

在解决各种数学问题和物理问题中，复数起着重要的作用。

本文将提供一些复数练习题，并附带答案，以帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算。

1. 计算下列复数的模和辐角：a) 3 + 4ib) -2 - ic) 5i答案：a) 模：|3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = 5辐角：θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°b) 模：|-2 - i| = √((-2)^2 + (-1)^2) = √5辐角：θ = arctan(-1/-2) ≈ -26.57°c) 模：|5i| = √(0^2 + 5^2) = 5辐角：θ = arctan(0/5) = 0°2. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 5ic) 6i答案：a) 共轭复数：2 - 3ib) 共轭复数：-4 + 5ic) 共轭复数：-6i3. 将下列复数写成极坐标形式：a) 1 + ib) -2 - 2ic) 3i答案：a) 极坐标形式：√2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4))b) 极坐标形式：2√2 * (cos(3π/4) + i * sin(3π/4))c) 极坐标形式：3 * (cos(π/2) + i * sin(π/2))4. 计算下列复数的乘积：a) (2 + i)(3 - 2i)b) (4 - 3i)(-2 + i)c) (5i)(-2i)答案：a) 乘积：(2 + i)(3 - 2i) = 6 + i - 4i - 2i^2 = 6 - 3i - 2(-1) = 8 - 3ib) 乘积：(4 - 3i)(-2 + i) = -8 + 4i + 6i - 3i^2 = -8 + 10i + 3 = -5 + 10ic) 乘积：(5i)(-2i) = -10i^2 = -10(-1) = 105. 计算下列复数的商：a) (2 + i)/(3 - 2i)b) (4 - 3i)/(-2 + i)c) (5i)/(-2i)答案：a) 商：(2 + i)/(3 - 2i) = (2 + i)(3 + 2i)/(3^2 + 2^2) = (6 + 4i + 3i + 2i^2)/13 = (6 + 7i - 2)/13 = 4/13 + (7/13)ib) 商：(4 - 3i)/(-2 + i) = (4 - 3i)(-2 - i)/((-2)^2 + 1^2) = (-8 + 6i + 4i - 3i^2)/5 = (-8 + 10i + 3)/5 = -5/5 + (10/5)i = -1 + 2ic) 商：(5i)/(-2i) = 5i/(-2i) = -5/2通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解复数的概念和运算。

复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)

复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)复数的四则运算同步练题1.若复数z满足z + i - 3 = 3 - i，则z等于6 - 2i。

2.复数i + i^2在复平面内表示的点在第二象限。

3.复数z1 = 3 + i，z2 = -1 - i，则z1 - z2等于4 + 2i。

4.设z1 = 2 + bi，z2 = a + i，当z1 + z2 = 0时，复数a + bi 为-2 - i。

5.已知|z| = 3，且z + 3i是纯虚数，则z等于3i。

6.复数-i + 1/i等于-2i。

7.i为虚数单位，1/i + 1/i^3 + 1/i^5 + 1/i^7等于2i。

8.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a + i)i = b + i，则a = 1，b = -1.9.在复平面内，复数i + 1 + i/(1 + 3i)^2对应的点位于第二象限。

10.设复数z的共轭复数是z，若复数z1 = 3 + 4i，z2 = t + i，且z1·z2是实数，则实数t等于3/4.11.若z = (1 + 2i)/i，则复数z等于-2 + i。

12.复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是1/2 - 1/2i。

13.(1 - i)(1 + 2i)/(1 + i) = -2 + i。

14.若复数z1 = 1 + i，z2 = 3 - i，则z1·z2等于4 + 2i。

15.已知a + 2i/i = b + i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a + b等于1.16.若复数 $x-2+yi$ 和 $3x-i$ 互为共轭复数，则实数$x$ 和 $y$ 的值为 $(D)$。

17.在复平面内，复数 $i$，$1+i$，$1+3i$ 的和对应的点位于 $(B)$。

18.设 $i$ 是虚数单位，$z$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若$z=\frac{1+i}{1-i}$，则 $z=(A)$。

19.若复数 $z$ 满足 $(3-4i)z=|4+3i|$，则 $z$ 的虚部为$(D)$。

高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)

高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。

只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。

4、共轭复数：z a bi =−，对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。

横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。

数学复数练习题附答案

数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案数学是一门抽象而又实用的学科，而复数是数学中一个非常重要的概念。

复数由一个实数部分和一个虚数部分组成，虚数部分以虚数单位i表示。

在实际应用中，复数常常用于描述电路中的交流电信号、量子力学中的波函数等。

为了帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算规则，下面将提供一些复数练习题，每道题都附带答案和解析。

1. 计算下列复数的实部和虚部：a) 3 + 4ib) -2 - 5ic) 7i答案和解析：a) 实部为3，虚部为4b) 实部为-2，虚部为-5c) 实部为0，虚部为72. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 6ic) 5i答案和解析：a) 共轭复数为2 - 3ib) 共轭复数为-4 + 6ic) 共轭复数为-5i3. 将下列复数写成极坐标形式，并计算其模和辐角：a) 1 + ib) -3 - 3ic) 4i答案和解析：a) 极坐标形式为√2 * (cos(π/4) + isin(π/4))，模为√2，辐角为π/4b) 极坐标形式为3√2 * (cos(5π/4) + isin(5π/4))，模为3√2，辐角为5π/4c) 极坐标形式为4 * (cos(π/2) + isin(π/2))，模为4，辐角为π/24. 计算下列复数的乘积：a) (2 + 3i)(4 - i)b) (-3 + 2i)(1 + 5i)c) (2i)(3 - 4i)答案和解析：a) 乘积为(11 + 10i)b) 乘积为(-13 - 13i)c) 乘积为(8 + 6i)5. 计算下列复数的商：a) (3 + 2i)/(1 - i)b) (-4 - 3i)/(2 + 3i)c) (5i)/(2 - i)答案和解析：a) 商为(-1.25 + 2.25i)b) 商为(-1 - 2i)c) 商为(-5i)通过以上练习题，读者可以巩固对复数的实部、虚部、共轭复数、极坐标形式以及复数的乘法和除法运算的理解。

复数专题训练(四)精选练习及答案

复数专题训练（四）班级 ________ 姓名__________ 记分___________28、（本小题满分12分）(续前)复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1、z 2在复平面内的对应点分别为Z 1、Z 2，O 为原点．（1）若z 2-z 1=-1，求arg12z z ； (2) 设argz 1=α，argz 2=β，若ΔOZ 1Z 2的重心对应复数31+151i ，求tg(α+β)的值．29、（本小题满分12分）设z 为复数，D 为满足条件||z|-1|+|z|-1=0的点Z 所构成图形的边界．（1）若复数ω=21z+1-2i(z ∈D)，求ω对应点的轨迹方程；（2）若满足条件|z+21|=|z-23i|所构成的图形D /与D 有两个公共点A 、B ，OA 、OB 的倾斜角分别为α、β（O 为原点），求cos(α+β)的值．30、（本小题满分14分）设无穷数列{z n }满足z 1=-1+i ，z n 在复平面上的对应点为Z n (n=1，2，…)，将向量n OZ 沿逆时针方向旋转4π，且使模扩大到原来的2倍就得到向量1n OZ +． (1). 求这个数列的通项公式； (2). 已知数列的第n 项为-32，求n ； (3) .将数列{z n }中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列{b n }，并设S n =b 1+b 2+…+b n ，求∞→n lim S n ．参考答案： DCCBA AADCC BDBDD16、10, 0 17、{-2,0,2} 18、82，π419、(1)Z 为实数(2)0或1或-i 2321± 20、32π; 21、2±;22、(1) –1; (2) 300o; (3) -2 3 I; (4)__________23、以( －1 , 0 ) 为圆心, 2为半径的圆 .24、解析：设Z 1=cos α＋isin α,Z 2=-4(cos β＋isin β)∵Z 1－Z 2=1－2i 3,∴⎩⎨⎧-=-=-)2(32sin 4sin )1(1cos 4cos βαβα(1)2＋(2)2得1＋16－8cos(α－β)=13,∴cos(α－β)=21,sin(α－β)=23± ∴21Z Z =21Z Z =[cos(α－β)＋isin(α－β)]=8381)3321(41±=±i i25、．解：由|z 1|=1，则1z =1z 1，|z 2|=4，则2z =2z 16，∴|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2-1z z 2-z 12z =|1-23i|2=13，∴1z z 2+z 12z =4，即12z z +1621z z=4，∴16（21z z ）2-421z z +1=0，∴21z z =8i 31±，ω=221z z 3z 4-=21（1±3i ）-3=-25±23i ．26、解：（1）设x 0为原方程一实根，则x 02-2(1+i)x 0+21ab-(a-b)i=0，所以⎪⎩⎪⎨⎧-==+-,a b x 2,0ab 21x 2x 0020消去x 0得(a+2)2+(b-2)2=8，所以-22-2≤a≤22-2，2-22≤b≤2+22．（2）设a+2=22cos θ，b-2=22sin θ，则x 0=2a b -=2sin(θ-4π)+2∈[0，4]，所以此方程实根的最大值为4，最小值为0．27、解：设z 的辐角主值为θ，则2z 、3z 的辐角的主值均为θ．∵|z|=2，∴|2z|=4，|3z|=6，∴S 3AOP ∆=21|OA|·|OP 3|·|sin θ|=3|sin θ|，S1AOP ∆=21|OA|·|OP 1|·|sin θ|=|sin θ|，∴S 21AP P ∆+S 32AP P ∆= S 3AOP ∆-S 1AOP ∆=2|sin θ|=2，∴|sin θ|=1，即θ=2π或θ=23π，故z=2i 或z=-2i ．28、．解：（1）因为|z 1|=|z 2|=1，所以|z ||z |12=1，设12z z =cos θ+isin θ，θ=arg 12z z ，代入z 2-z 1=-1，得(cos θ+isin θ)z 1-z 1=-1，所以z 1(cos θ+isin θ-1)=-1，所以|(cos θ-1)+isin θ|=1，即θ+-θ22sin)1(cos =1，θ-cos 22=1，cos θ=21，所以arg 12z z =θ=3π或35π．（2）设z 1=cos α+isin α，z 2=cos β+isin β，则3cos cos β+α=31，且3sin sin β+α=151，即⎪⎩⎪⎨⎧=β+α-=β+α,51sin sin ,1cos cos 解得tg 2β+α=51，所以tg(α+β)=125． 29、解：由已知，曲线D 为|z|=1．（1）由ω=21z+1-2i 得：|ω-1+2i|=21|z|=21，所求轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=41．（2）由|z+21|=|z-23i|及|z|=1，得（z+21）（z +21）=（z-23i ）(z +23i)，且z z =1，化简得(3i-1)z 2+4z-1-3i=0，所以z A ·z B =-i 31i 31+-+=-54+53i ，又由于z A =cos α+isin α，z B =cos β+isin β，所以z A ·z B =cos(α+β)+isin(α+β)，所以cos(α+β)=-54．30、解：（1）由题设知z n+1=2(cos4π+isin 4π)z n =(1+i)z n ，所以|z n |是以-1+i 为首项，公比为1+i 的等比数列，所以z n =(-1+i)(1+i)n-1=i(1+i)n．（2）因为z n = i(1+i)n=i(2)n =(cos4n π+isin 4n π)，要z n ∈R ，则cos 4n π=0，4n π=k π+2π，n=4k+2(k=0，1，2，…)，所以{z n }的实数项为z 2，z 6，z 10，…，z 4k+2，…，所以n1n b b +=-41，所以{b n }是首项为-21，公比q=-41的等比数列，所以∞→n lim S n =4121+-=-52．。

复数的加减法

4．2 复数的加减法一．选择题：1．已知f (z +1)=z ，z 1=1+i ，z 2=2－i ，则12()f z z +等于（）（A ）－2 （B ）2 （C ）3 （D ）－32．在复平面上复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，若a >c ，cd +ab >da +bc ，则z =z 1－z 2在复平面上所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在复平面上复数－3－2i ，－4+5i ，2+i ，所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（）（A ）5－9i （B ）－5－3i （C ）7－11i （D ）－7+11i4．已知复平面上△A O B 的顶点A 所对应的复数是1+2i ，其重心G 所对应的复数是1+i ，则以O A 、O B 为邻边的平行四边形的对角线的长为（）（A ）32 （B ）22 （C ）2 （D ）55．复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ，5+2i ，则由A 、B 、C 所构成的三角形是（）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）锐角三角形（D ）钝角三角形6．△ABC 三个顶点所对应的复数分别为z 1, z 2, z 3，复数z 满足|z －z 1|=|z －z 2|=|z －z 3|，则z 所对应的点是△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心二．填空题：7．(2+7i )－|－3+4i |+|512|i -+3－4i = .8．计算：i +i 2+i 3+……+i 等于 .9．计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi = .(x , y ∈R )10．已知z 满足|z －3|=1，则|z －i |的最大值为；最小值为。

11．若f (z )=2z +z －3i ，f (z +i )=6－3i ，则f (－z )= .三．解答题：12．计算： (1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－……－(－i ).13．已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ，z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ , 2OZ (O 为原点)，若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值。

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复数的加减运算
例计算
（1）)
(i
3
i-
)
+
-；
4(
-
2
5
)
5
4
3(i
3(
i-
+
+；（2）)
（3）)
-
i+
i
-
-
5(i
+
-
)
3(
6
2
3
(
2
)
分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。

解：（1）.
+
-
i
i+
+
+
i
+
-
=
=
3(
)3
)4
3(i
)
5(
4
)
5
6
3(
（2）.
-
-
=
i
+
i+
-
+
(i
-
-
-
-
=
-
i
(
2[
5
)]
3
7
)4
7
)
2
4(
5
(
)
3
（3）)
)3
2
(
6
2
5(-
-i)3
-
-
=.
+
+
-
-
2
2
(
3(
3
-
)
)
-
6
i+
-
5(i
i
=
11i
-
确定向量所表示的复数
例如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别
表示0，i2
-，试求：
2+
3+，i4
（1）AO所表示的复数，BC所表示的复数.
（2）对角线CA所表示的复数．
（3）对角线OB所表示的复数及OB的长度．
分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。

或者用向量的相等直接给出所求的结论．
解：（1）OA
=
AO-
∴所表示的复数为i2
AO
-．
3-
BC=
，
AO
∴所表示的复数为i2
BC
-．
3-
（2）OC
=，
OA
CA-
∴所表示的复数为i
CA
=
3(-
+
+
2
-
-
)
i2
i
)
5
2
(
4
（3）对角线OC
+
=
=，它所对应的复数为
AB
OB+
OA
OA
3(+
2
=
-
+
+
)
+
2
i
i
i6
1
4
)
(
3761||22=+=OB
求正方形的第四个顶点对应的复数
例复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正
方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

分析1：利用BC AD =或者DC AB =求点D 对应的复数。

解法1：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应
的复数为yi x +（R y x ∈,）则
OA OD AD -=)21()(i yi x +-+=
i y x )2()1(-+-=
OB OC BC -=i i i 31)2()21(-=+----=
∵ BC AD =， ∴.31)2()1(i i y x -=-+-
∴ ⎩⎨⎧-=-=-321
1y x 解得⎩⎨⎧-==12y x
故点D 对应的复数.2i -
分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的
中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．
解法2：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应
的复数为yi x +（R y x ∈,）
因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心．
∴ 点O 也是B 与D 点的中点，于是由0)()2(=+++-yi x i
∴ .1,2-==y x
故D 对应的复数为.2i -
小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C 对称固形，解题思路较巧．
根据条件求参数的值
例已知i a a z )5(321++-=，i a a a z )12(122-++-=（R a ∈）分别对应向量，
21,OZ OZ （O 为原点），若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值．分析：12Z Z 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出12Z Z 对应的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得．
解：设向量12Z Z 对应复数z ∵2112OZ OZ Z Z -=
∴])12(1[)5(32221i a a a i a a z z z -++--++-=-=
i a a a a a )]12()5[()]1()3[(22-+-++---=
i a a a a )6()2(22+--+--=
∵ z 为纯虚数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≠+--=--0
60222a a a a 即⎩⎨⎧≠-+=+-0)2)(3(0)1)(2(a a a a ∴ .1-=a
求复数的轨迹方程
例 r z =，求i z 432-+对应的点的轨迹方程．
解：i z 432-+=ω，则.432i z +-=ω 又r z =，故有.22r z =
∴ r i 2)43(=--ω
∴ ω对应点的轨迹是以i 43-为圆心，r 2为半径的圆．
小结：由减法的几何意义知1z z -表示复平面上两点z ，1z 间的距离．当r z z =-1，表示复数z 对应的点的轨迹是以1z 对应的点为圆心，半径为r 的圆．当1z z -2z z -=，表示以复数1z ，2z 的对应点为端点的线段的垂直平分线．
求复数的最大值与最小值
例设复数满足i z i z 342234-+-=--+，求z 的最大值和最小值．
分析：仔细地观察、分析等式i z i z 342234-+-=--+，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若a a -=，则0≤a ，因此已知等式可化为0234≤--+i z
解：由已知等式得02)34(≤-+--i z 即02)34(≤-+--i z ，它表示的以点P （－4，3）为圆心，
半径2=R 的圆面．如图可知OQ z =时，z 有最大值725=+=+R OP ；OM z =时z 有最小值325=-=-R OP
小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解．。