高等代数欧氏空间的定义与基本性质

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欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)； 右可加性 (α, β + γ) = (α, β) + (α, γ). 因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
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欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
∫b (f, g) = f(x)g(x)dx.
a
由定积分的性质不难证明，对于上面的内积，C(a, b) 构成欧氏空 间. 同样地，线性空间 R[x], R[x]n 对于上面的内积也构成欧氏空间.
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欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的.
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表示：
cos⟨α, β⟩
=
(α, β) .
|α||β|
为了在一般的欧氏空间中利用上面的表达式引入夹角的概念，我
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欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
源自文库
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
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欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
√
|kα| = (kα, kα) = k2(α, α) = |k||α|.
长度为 1 的向量称为单位向量，如果 α ̸= 0，则向量 1 α |α|
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欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
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欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)； 右可加性 (α, β + γ) = (α, β) + (α, γ). 因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)；
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)； 2 左齐次性 (kα, β) = k(α, β)；
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)； 2 左齐次性 (kα, β) = k(α, β)； 3 左可加性 (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)； 4 正定性 (α, α) ≥ 0，当且仅当 α = 0 时 (α, α) = 0.
就是一个单位向量. 用向量 α 的长度去除向量 α，得到一个与 α 或比例的单位向量，通常称为把 α 单位化.
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欧氏空间的度量
在解析几何中，向量 α, β 的夹角 ⟨α, β⟩ 的余弦可以通过内积来
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
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(α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. 显然，上面引入的内积适合定义中的条件，这样，Rn 就成为一 个欧氏空间. 以后仍用 Rn 来表示这个欧几里得空间.
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表示：
cos⟨α, β⟩
=
(α, β) .
|α||β|
为了在一般的欧氏空间中利用上面的表达式引入夹角的概念，我
们需要证明不等式：
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欧氏空间的度量
在解析几何中，向量 α, β 的夹角 ⟨α, β⟩ 的余弦可以通过内积来
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)； 2 左齐次性 (kα, β) = k(α, β)； 3 左可加性 (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)； 4 正定性 (α, α) ≥ 0，当且仅当 α = 0 时 (α, α) = 0.
欧几里得空间也简称为欧氏空间.
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欧氏空间的例子
例 在线性空间 Rn 中，对于向量
α = (α1, α2, · · · , αn), β = (b1, b2, · · · , bn), 定义内积
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欧氏空间的例子
例 在闭区间 [a, b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a, b) 中，对于 函数 f(x), g(x) 定义内积
∫b (f, g) = f(x)g(x)dx.
a
欧几里得空间的背景
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称 为线性运算. 如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的 一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等， 在线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度量性质在许多 问题（其中包括几何问题）有着特殊的地位，因此有必要引入度 量的概念. 在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通 过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质. 所以 在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念.
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)； 2 左齐次性 (kα, β) = k(α, β)； 3 左可加性 (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)；
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欧几里得空间的概念
定义 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (α, β)，它具有以下性质：
1 对称性 (α, β) = (β, α)； 2 左齐次性 (kα, β) = k(α, β)； 3 左可加性 (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)； 4 正定性 (α, α) ≥ 0，当且仅当 α = 0 时 (α, α) = 0. 这里 α, β, γ 是 V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空 间 V 称为欧几里得空间.
欧氏空间的例子
例 在线性空间 Rn 中，对于向量
α = (α1, α2, · · · , αn), β = (b1, b2, · · · , bn),
定义内积 (α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn.
显然，上面引入的内积适合定义中的条件，这样，Rn 就成为一 个欧氏空间. 以后仍用 Rn 来表示这个欧几里得空间. 在 n = 3 时，上面定义的内积就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式.
由定积分的性质不难证明，对于上面的内积，C(a, b) 构成欧氏空 间.
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欧氏空间的例子
例 在闭区间 [a, b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a, b) 中，对于 函数 f(x), g(x) 定义内积
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
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欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
√
|kα| = (kα, kα) = k2(α, α) = |k||α|.