课题平面几何图形面积的求解与应用(二)

课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）
教学目的：
知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.
过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.
情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心. 教学重点与难点：
重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值围. 教学用具：直尺、多媒体 教学容： 一、引入
数图象有关的面积问题，已成为近年中考园中一支鲜艳的奇葩．下面举例说明．二、例题
例1、 如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别以A 点A 的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.
分析：由反比例函数的对称性可求点 B 的坐标,由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.
解：∵⊙ A 与y 轴相切，且坐标为（1，2），
∴ ⊙A 的半径等于1.
又∵反比例函数函数关于原点中心对称,
∴点B 坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积∴2
1S ππ=⨯=阴影.
设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.
例2、已知：如图，直线1
22
y x =
-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P （(,)x y 在直线6y x =-上运动，且0,0x y ><.求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．
分析：本题要求四边形AOBP 的面积S ，可以用△O AP 的面积与△O BP 的面积之和来表示，还可以过P 点作x 轴或y 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量x 的取值围时应注意结合函数图象思考． 解：解法一：连接OP ．
∵ 直线1
22
y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，
∴ A (4，0)，B (0，-2)．
y=
21
-x
0 C(1, 0) A x
y
B 2 1.5 1 0.5
2 0 C(1,0) A x
y
B 2 1.5 1 0.5
2 0 C(1,0) A x
y
B
2 1.5
1 0.5
2
M N
设P (,)x y ，0,0x y ><，
11
22
OBP OAP
S S
S
OB x OA y =+=⋅+⋅
11
24(6)1222
x x x =
⨯-⨯-=-+． ∵ 0,0x y ><， 即 60x -<，
∴6x <．
∴ 自变量x 的取值围是06x <<．
解法二：设6y x =-交x 轴于M (6，0)，交y 轴于N (0，6)，则MON
BNP
AMP
S S S
S
=--．
解法三：作PG x 轴于G ，则PGA PBOG S S S =+梯形．
解法四：作PQ y 轴于Q ，则PBQ PQOA S S S
=-梯形．
设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．
例3、 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．
(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 分析：直线y kx b =+与x 轴的交点坐标是(,0)b
k
-
，与y 轴的交点坐标是(0，b )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C 是OA 的中点．（如图），因此可知BC 将△AOB 分成的两部分面积相等，设直线BC 的解析式为2y kx =+，代入点C 的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．
解：(1) 直线2y x =-+与x 轴交点A(2，0)，与y 轴交点B(0，2)， ∵直线BC 经过B(0，2)， C(1，0),
∴ 2,0.
b k b =⎧⎨
+=⎩ ∴2,2.b k =⎧⎨=-⎩
经过B 、C 两点的直线解析式为22y x =-+． ∴ 所以2,2k b =-=．
(2)设y kx b =+与y 轴交于M(0，h )，△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，
∴1
6
OMC
AOB S
S =
．
图1-1
图1-2
∴
21×1×h =61×21×2×2，可得 h =3
2． ∴ M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,0．
经过点M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,a ．
∴ OMC
CAN
S
S
=．
∵ N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,a 在直线2y x =-+上，
∴ a =
34，所以N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,34． ∴ y kx b =+经过M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
32,0、C (1，0)或N ⎪⎭
⎫
⎝⎛32,34、C (1，0)． 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=;32,3
211b k 或 ⎩⎨⎧-==.2,222b k
点拨：C (1，0)恰为OA 边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识．
例4、已知ABC △中，3,90AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处．
（1）如图1-1，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分的面积（直接写出结果）
（2）如图1-2，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE x =，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围；
（3）若2BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ，设
(1)CF x x =>，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．
分析: 解此题关键是用含有x 的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”应分两种情况分类讨论：①12,x <≤②23x <≤．
图1-4
图1-5
解: (1) 94
AEDF S =
四边形． (2) 如图1-3,
过点D 作DM
⊥AB 于M ．
∵3,90AB AC BAC ==∠=︒， ∴
BC =
=
∵ BD CD =， ∴ 12BD BC =
= ∴ 11133
sin 45(3)(3)(03)22224
y BE DM BE BD x x x =⋅=⋅⋅︒=-⋅=-≤≤．
(3) (i)如图1-4,连结AD,过
D 点分别作AB 、AC
的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵3,90AB AC BAC ==∠=︒， ∴
BC =
=
∵ 2BD CD =，
∴
BD CD ==
．
∴sin 12DN DC C =⋅==，sin 22
DM BD B =⋅==． 易证 12∠=∠．
∵ ∠DME=∠DNF=90°， ∴ △DME ∽△DNF ． ∴
ME DM
FN DN
=
． ∵ (1)CF x x => ， ∴ 22(1)ME FN x ==-． ∴ 1131
(21)2(3)1(12)2222
ADE ADF
y S
S
x x x x =+=-⋅+-⋅=+<≤． (ii) 如图1-5, 过D 点作AC 的垂线，垂足为N ． 9191
1(23)2222
ABC CDF
y S
S
x x x =-=
-⋅=-<≤． ∴ 3
1(12),22
91(23).22
x x y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩
三、练习
1． 函数(0)y kx k =-≠与x
y 2
-
=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△BOC 的面积为多少？ 2．求直线24y x =+和直线26y x =--与y 轴围成的三角形的面积.
3．直线28y x =+交x 轴，y 轴于A 、B ，直线l 过原点交AB 于点C ，分△AOB 的面积为1∶3两部分，求直线l 的解析式. 4.如图，点B 在直线1y x =-+上，且点B 在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO 的面积为2，求点B 的坐标.
5.
直线13
y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限作等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,点P 1(,)2
a 在第二象限，△ABP 面积与△ABC 面积相等，求
a 的值.
简要答案： 1.1 2.25
2
3．6y x =-或23y x =- 4.（3,2-）
5. 42a =-. 四、总结
本节课要求学生掌握两种基本技能：（1）会应用函数思想表示和求解几何图形的面积；（2）已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解，体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想.建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作完成，最后教师引导学生进行归纳总结. 五、课后反思
与函数有关的面积问题是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化思想，求解这类问题的重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值围．例4中第（3）问 条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”是求解这一问的关键，教师可应用几何画板帮助学生分析，提高学生的审题及分析问题的能力．
解决这类问题的基本程序是： （1）确定交点坐标（可用参数表示）； （2）求出有关线段的长度；
（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解．。