高一物理竞赛讲义四——物系相关速度

物系相关速度
研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；
类型 1 由杆或绳约束物系的各点速度：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．
1、如图所示，木块在水平桌面上移动的速度是v ，跨过滑轮的绳子向下移动的速度是______（绳与水平方向之间的夹角为α）
2、如图所示，湖中一条小船，岸边人用缆绳跨过一定滑轮拉船靠岸，若绳子被以恒定速度v 0拉动，当绳与水平方向成α角，此时小船前进的速度为__________。

3、如右图所示，A 物块以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B 在水平方向上运动．当细绳与水平面成夹角为θ时，求物体B 运动的速度．
4、如图3所示，A 、B 以相同的速率v 下降，C 以速率v x 上升，绳与竖直方向夹角α已知，则v x =______v 。

5、如图4所示，重物A 、B 由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A ，当A 的水平速度为v A 时，如图中虚线所示，求此时B 的速度v B ＝______。

6、两只小环O 和O '分别套在静止不动的竖直杆AB 和B A ''上。

一根不可伸长的绳子一端固定在A '上，穿过环O '，另一端系在环O 上（如图）。

若环O '以恒定速度1v 向下运动，α='∠O AO ，
求环O 的速度？
7、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。

上面分别穿有一个小球。

小球a 、b 间用一细直棒相连如图。

当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比v a ∶v b = .
8、如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。

将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？
★解析：
A 球以
V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。

而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为V B2；
B
'
b
由图可知：ααcos sin 11A A B B V V V V ===
αcot ⋅=A B V V
9、如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D ，BC 段水平，当以恒定水平速度V 拉绳上的自由端时，A 沿水平面前进，求当跨过B 的两段绳子的夹角为α时，A 的运动速度。

类型2 线状相交物系交叉点的速度：相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和
1、如图所示，A 、B 两直杆交角为θ，交点为M ，若两杆各以垂直于自身的速度v 1、v 2沿着纸面运动，则交点M 的速度为多大？
解：如图所示，若B 杆不动，A 杆以v 1速度运动，交点将沿B 杆移动，速度为v 1’， v 1’=v 1／sin θ。

若A 杆不动，B 杆移动时，交点M 将沿A 杆移动，速度为 v 2’， v 2’=v 2／sin θ。

两杆一起移动时，交点M 的速度v M 可看成两个分速度V 1’和V 2’的合速度，
故v M 的大小为v M =()
θ--+0212'22'1180cos 2‘’v v v v ＝θθsin /cos 2212
221v v v v -+
【思路导航】面对这样一道题，很多同学会毫不思考地用矢量合成法，直接求出交点P 的速度为)180cos(2212
22
1θ-︒++=
v v v v v p 。

这一解法是错误的，利用“移动法”即可得到验证．如图2一15所示，经时间t ，
AB 移到A 'B '，CD 移到C 'D '，它们的位移分别为v 1t 、v 2t ，点P 移到P '，由图可清楚地看出，直线AB 、 CD 分别移动的位移与P 的位移不满足平行四边形法则，可以肯定上述解
法是错误的．（“移动法”）（奥赛高考
P
77例8）
2、如下图所示，棒MN 在夹角为300的导轨BA 上向左滑行，若在滑行过程中，棒始终垂直于AB 边，且速度为1.2m/s ，那么MN 与AC 的交点P 沿AC 导轨滑行的速度是_____ 。

3、两个相同的正方形铁丝框如图所示放置，它们沿对角线方向分别以速度v 和2v 向两边运动，则两线框的交点M 的运动速度大小为（ ）。

(A )
v 26
(B ) v 210 (C ) v 223 (D ) v 2
2 解：如图所示，根据线状相交物体交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和，把速度V 分解为沿右侧正方形切向运动的分速度，把速度
2V 分解为沿左侧正方形切向运动的
分速度，则交叉点的速度为：
2v
v
2v
v
v
2
v 2
2
v M ＝22)2()2
2v v +（＝
v 210
，故选（B ）。

4、如图所示，直杆ab 搁在半径r 的固定圆环上以速度竖直向下匀
速平动，求直杆ab 运动到图示的位置时，杆与环的交点M 的速度的大小________________.(已知ab ⊥ON,∠MON=θ)
分析与解 当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．
5、如右图所示，A 、B 为半径相同的两个半圆环，以大小相同、方向相反的速度运动，A 环向右，B 环向左，则从两半圆环开始相交到最后分离的过程中，两环交点P 的速度方向和大小变化为 （A ）向上变小， （B ）向下变大，（
）
（C ）先向上再向下，先变小再变大， （D ）先向下再向上，先变大再变小。

类型3 接触物系接触点速度的相关特征是1、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速
如图所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向
的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

解：设竖直杆运动的速度为V 1OP 方向，所以V 0、V 1在OP 方向的投影相等， 即有
θθc o s s i n 10V V =，解得V 1=V 0·
tg θ。

2、如图所示，一长为L 的杆，下端铰于地面，上端固定一个小球，杆搁在一边长为a 的正方体上，正方体以速度v 向右匀速运动，则当滑到杆与水平面成“角时，杆与正方体的接触点沿杆滑动的速度大小为___________，杆转动的角速度为_________，小球的运动速度大小为______________。

解：杆与正方体的接触点的瞬时速度为向右的v ，它可以分解为沿杆方向的v 1和垂直于杆方向的v 2，如图所示，则可得v 1＝ｖcos α，v 2＝ｖsi nα。

此时杆与正方体的接触点与转轴的距离为α
α
sin =
l 。

而杆转动的角速度为a v a v l v ααω222sin sin ===。

小球的运动速度为a
vL L v α
ω2sin '==。

3、 如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端A 点速度为v ，方向水平．以
铰链固定于B
度ω与角a 的关系．
v v A P B
分析与解 设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即 ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)． ①
现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是 ｖn＝ｖOｓｉｎα． ②
又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有
ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ． ③
将②、③两式代入①式中，得
ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．。