线性代数1-2章精选练习题

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最全线性代数习题及参考答案

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ；解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ；解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是；解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

【精品】高等数学二线性代数一第二三章习题集部分

【关键字】精品设有矩阵，（m≠n），下列运算结果不是阶矩阵的是（）.A、BAB、ABC、D、设矩阵A可以左乘矩阵B，则（）.A、B、C、D、若|A|=0，则A=（）.A、0矩阵B、数字0C、不一定是0矩阵D、A中有零元素两个n阶初等矩阵的乘积为（）.A、初等矩阵B、单位矩阵C、可逆阵D、不可逆阵若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关，则A的秩（）.A、大于mB、大于nC、等于nD、等于n矩阵A经有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、A与B相似B、A与B不等价C、A与B相等D、r(A)=r(B)设m×n阶矩阵A,B的秩分别为，则分块矩阵(A,B)的秩r适合关系式（）. A、B、C、D、矩阵A经过初等变换后（）.A、不改变它的秩B、改变它的秩C、改变它的行秩D、改变它的列秩设A为三阶方阵，且|A|=-2，则矩阵|A|A行列式||A|A|=（）.A、16C、8D、-8两矩阵A与B既可相加又可相乘的充要条件是（）.A、A、B是同阶方阵B、A的行数=B的行数C、A的列数=B的列数D、A的行数、列数分别等于B的行数、列数初等矩阵（）.A、相乘仍为初等阵B、相加仍为初等阵C、都可逆D、以上都不对线性方程组有解的充分必要条件是a=（）.A、B、-1C、D、1存在有限个初等矩阵，使是A为可逆矩阵的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件矩阵A经过有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、r(A)≠r(B)B、A与B相等C、A的行向量组与B的行向量组等价D、A与B不等价设，，，，则向量组共有（）个不同的极大无关组.A、1B、2C、3D、4设n阶矩阵A的秩为r，则结论（）成立.A、|A|≠0B、|A|=0D、已知矩阵则（）.A、0B、1C、2D、3设A、B均为n阶方阵，则必有（）.A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、|AB|=|BA|D、若均为n阶可逆矩阵，则（）.A、B、C、D、阵的行向量组（）.A、一定线性无关B、一定线性相关C、不能确定D、以上都不对一个向量组若有两个或两个以上的极大无关组，则各个极大无关组所含向量个数必（）.A、不相等B、相等C、大于零且小于2D、大于零且小于3设是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的基础解系B、不一定是的解C、不一定是的解D、有可能是的基础解系设A,B均为n阶矩阵，如果则必有（）.A、A=EB、B=0C、A=BD、AB=BA设n阶矩阵A,B,C满足ABC=E，则必有（）.A、ACB=EB、BAC=EC、CBA=ED、BCA=E设矩阵，则下列结论不正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是可逆矩阵设矩阵，则下列结论正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是对角矩阵已知，则A=（）.A、B、C、D、下列矩阵中，不是初等矩阵的是（）.A、B、C、D、设是齐次线性方程组的二个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的一个基础解系B、有可能是的一个基础解系C、不是的一个解D、不是的一个解设A为n阶方阵，且|A|=8，A*是A的伴随矩阵，则AA*是（）.A、数量矩阵B、单位矩阵C、三角矩阵若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含有D的r+1阶子式等于零，则一定有（）. A、B、设n阶方阵A可逆，数k≠0，则（）.A、B、C、D、给定矩阵，，，下列（）运算可行.A、ACB、CBC、ABCD、AB-BC. =（）.A、B、C、D、一个n维向量组线性相关的充要条件是其中（）.A、含有零向量B、有两个向量的对应分量成比例C、有一个向量是其余向量的线性组合D、每一个向量是其余向量的线性组合设A与B都是n阶方阵，则r(A+B)（）.A、B、C、D、?若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）.A、B、C、D、C和D都不对若齐次线性方程组（Ⅰ）有非零解，则（Ⅰ）的系数行列式（）.A、等于1B、等于5C、等于零D、不等于零D不对设A是m×n矩阵，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，则（）.A、仅有零解时，有唯一解B、有非零解时，有无穷多解C、有无穷多解时，仅有零解D、有无穷多解时，有非零解C不对设向量可由向量组线性表示，则表示法唯一的充要条件是（）.A、全为非零向量AB不对选C或DB、全为零向量C、线性相关D、线性无关此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

线性代数章节练习题

bc
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。（1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵

线性代数(文)习题答案1-2章

第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换一、判断题（对的打√，错的打×）1.消元法求解线性方程组时只有系数参与运算，未知元并未进行运算。

（ × ）2.消元法求解线性方程组时也可以用初等列变换，因为初等列变换也不会改变方程组的解。

（ × ）3.一个矩阵的行阶梯形不唯一，但行最简形唯一。

（√ ）4.行最简形是矩阵经过初等变换能变到的最简单的形式。

（× ）5.矩阵与其行最简形和标准形等价。

（√ ）6.如果两个矩阵等价，它们一定是同型矩阵。

（ √ ）7.求解线性方程组时所用的变换只有三种。

（√ ）8.同一个矩阵的行阶梯形和行最简形的非零行的行数相同。

（ √ ）二、计算题1.将矩阵23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵和标准形。

1221314143213141232232231371202412024120242313701111328303283008891223743237430778111202401111000140014r r r r r r r r r r r r r r r r ↔-------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪- ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭132321202412004011110110300014000140000000000r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1222(1)10202011030001400000r r r +⨯--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭-------行最简形3132515122310202100001000001103011030100000014000140001400000000000000c c c c c c c c -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭543441000010000010000100000010001000000000000c c c c -↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------标准形 2.用矩阵的初等变换解下列线性方程组。

线性代数1_2章精选练习题

线性代数1_2章精选练习题第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f 中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 28．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若22351011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010nn .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 3332312322211312113233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a c， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )；6. bn b b )1(1111211111311 117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x ; 10.21 120000021000121 0001211．aa a aa a a a aD 110110001100001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a . 4．nni in nn n n n n n nna aa aaaaa aa a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ;12.2 ; 13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ;18.7 k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ; 7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

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线性代数第一、二章复习题

第一章行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44. 2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a . 解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a bba. 解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a . 所以a = b = 0. 6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.nn n n a a a a a a a a221121222111000=7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1. 设4322321143113151||-=A 计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解. A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+ =6210320261=-- 2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解. 111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1201201121--=--------n n n n n n n列每列加第 3. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥ 2).解. 当2>nn x x x n x x x nx x x D n n nn ++++++=222222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=nx x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++33322221111+nx x x nx x x n x x x n n n++++++ 323232222111+n x x x n x x x n x x x n n n ++++++313131222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－n x x x nx x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－nx x x n x x x n x x x n n n+++111222111－nx x nx x n x x n n +++ 3131312211= 0当2=n2122112121x x x x x x -=++++4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: ||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.5. 试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组 00010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………010=++n n n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C6. 设).(',620321)(232x F x x x x x xx F 求=解. x x x x x xx F 620321)(232==x x x x xx 3103211222=x x x x xx 310201222=x x x xx 3102101222 =32220021012x xx x xx =26)('x x F =第二章矩阵一. 填空题1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______. 解. βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2. 若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设[]m A αα 1=, αi 是A 的列向量. 对于j = 1, 2, …, m , 令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X , 第j 个元素不为0. 所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j = 1, 2, …, m ). 所以A = 0.3. 设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B 为非零矩阵, 所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量, 满足Ab j = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A | = 0;反之: 若|A | = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B , 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A | = 0.4. 设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充分条件是______. 解. 0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5. []42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ______.解. []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216. 设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则= ______.解. =2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841 E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--11210 7. 设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= ______.解. 由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+. 所以0|3||2|||≠-=+E E A A , 于是A 可逆. 由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8. 设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解. =2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208, =+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100510161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200010102 9. 设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----334212211 1131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110. 设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A , 则A 的逆矩阵1-A = ______. 解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CA B A B C A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A二. 单项选择题1. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1(C) 存在可逆矩阵C , 使B AC C T= (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解. 因为A 可逆, 存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,. 因为B 可逆, 存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以 A A AQ P = B B BQ P . 于是B Q AQ P P B A A B =--11令 A B P P P 1-=, 1-=B A Q Q Q . (D)是答案.2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于 (A) 12||||)2(--B A n(B) 1||||)2(--B A n (C) ||||2B A T - (D) 1||||2--B A解. 121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T. (A)是答案. 3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆. (B) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆. (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆. (D) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 解. 若A 、B 均可逆, 则111)(---=A B AB . (B)是答案.4. 设n 维向量)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααT E A -=, ααTE B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D) ααTE + 解. AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E - + 2ααT －2ααT ααT= E . )21(=ααT(C)是答案. 5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , 设有P 2P 1A = B , 则P 2 =(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101 解. P 1A 表示互换A 的第一、二行. B 表示A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P 2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案. 6. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*等于(A) －A * (B) A * (C) (－1)n A * (D) (－1)n －1A * 解. (－A )* =*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--. (D)是答案. 7. 设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥ 2), A *是A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A n 1**||)(-= (B) A A A n 1**||)(+= (C) A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=解. 1*||-=A A AA A A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为r, 则 (A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定解. n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,, 所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥= 又因为 1-=BC A , 于是r n C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111 所以 r r =1. (C)是答案.9. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n解. 若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则, 矛盾. 所以 n A r <)(. 同理n B r <)(. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T解. =-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641, =-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652. 求下列矩阵的逆矩阵i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1 ii. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100cos sin 0sin cos αααα iii. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000 iv. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解. i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1000010000100001111111*********1 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1100001102102102121220022001010011→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000021210210210210212200110010100101→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000cos sin 0sin cos 1ααααA iii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101. 由矩阵分块求逆公式: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα. 其中T)2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α, T )2,1,2(3--=α. 试求矩阵A .解. 由本题的条件知: =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4. k 取什么值时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆, 并求其逆. 解. 01110001||≠=-=k k A→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011kkA 5. 设A 是n 阶方阵, 且有自然数m , 使(E + A )m = 0, 则A 可逆. 解. 因为 0)(1=+==+∑∑==mi i im mi ii mmA c E A cA E所以 ∑=-=-mi i i mE A cA 11)(. 所以A 可逆.6. 设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵. 解. 因为022=++B AB A , 所以2)(B B A A -=+. 因为B 可逆, 所以0||)1(||22≠-=-B B n所以 0|||)(|2≠-=+B B A A . 所以B A A +,都可逆. 7. 若A , B 都是n 阶方阵, 且E + AB 可逆, 则E + BA 也可逆, 且 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+解. A AB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+ =A AB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+ =E BA BA E =-+ 所以 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8. 设A , B 都是n 阶方阵, 已知|B | ≠ 0, A －E 可逆, 且(A －E )－1 = (B －E )T , 求证A 可逆.解. 因为(A －E )－1 = (B －E )T , 所以(A －E )(B －E )T = E 所以 E E B E B A TT=+--)(, TTB E B A =-)( 由 |B | ≠ 0 知11)(--T B B ，存在. 所以 E B E B A T T=--1))((. 所以A 可逆.9. 设A , B , A + B 为n 阶正交矩阵, 试证: (A + B )－1 = A －1 + B －1.解. 因为A , B , A + B 为正交矩阵, 所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以 111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T10. 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明:||E AB BEE A -=.解. 因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E BE B E E A E A E EE 0000所以ABE B E B E E A E A E EE -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E B E B EE A n n --=-=⋅⋅-因为 n n )1()1(2-=-, 所以||E AB BEE A -=11. 设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵)0,0(0000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i. 试计算|E +AB |, 并指出A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆;ii. 当E + AB 可逆时, 试证明(E + AB )－1A 为对称矩阵.解. i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 0000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka , 2341||kla AB E -=+所以当 2341a kl≠时, E + AB 可逆.ii. 11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E因为A , B 为实对称矩阵, 所以B A+-1为实对称矩阵, 所以(E + AB )－1A 为对称矩阵.12. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ10100A , 求A n . 解. 使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ 假设 kA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则 1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k kk k k k λλλλλλ 所以 nA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---n n n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013. A 是n 阶方阵, 满足A m = E , 其中m 是正整数, E 为n 阶单位矩阵. 今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替, 得到的矩阵记为A 0. 证明E A m=0.解. 因为A m = E , 所以1||=mA , 所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A所以 E E A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i. 证明: n ≥ 3时, E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii. 求A 100.解. i. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A = 所以 E A AA -+=-2233假设 E A A A k k -+=-22则 =-+=-+A A A Ak k 311A E A A A k --++-21=E A A k -+-+221）（所以 E A A A n n -+=-22ii. =-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10500150001 15. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时, A 6 = E . 求A 11. 解. 121232321||=-=A , 所以 ==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为 1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116. 已知A , B 是n 阶方阵, 且满足A 2 = A , B 2 = B , 与(A －B )2 = A + B , 试证: AB = BA = 0. 解. 因为(A －B )2 = A + B , 所以 ))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是 2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-, 所以 BA AB =B A B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为 A 2 = A , B 2 = B , 所以 2AB = 0, 所以0==BA AB .。

线代一二章习题及答案

第一讲行列式例1、下三角行列式nnnn n nnnn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a22112211)12(121111211222111)1(000000000=-=-----τ对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例2、求xx b x a x 1221102085413+----的4x 和3x 的系数.解析：4x 的系数是1；3x 的系数是-10例3、求3阶行列式 754102643--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3=(-3)⨯(-5)-4⨯(-18)+6⨯(-10)=27.例4、1010001001tt tt解析：原式=1 A 11+t A 1n =1+11)1(-+-⋅n ntt=1+ nnt +-1)1(例5、求行列式 2235007022220403--的第四行各元素的余子式的和. 解析：所求为4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++原式=444342412235A A A A +-+将原行列式换为1111007022220403---即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)例6、27718497518100549754102643=--==--08题aaa aa aa a a A 2012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n .分析：证明：初等变换nan nan a a a n an a a a aaa aa a a a aa aa a a a )1()1(34232)1(010000340000023000012201200034000002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→例7、 ?=cA 答A c n；例 8、设4阶矩阵BA B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα解：40,,,8,,,8,,,82,2,2,),2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A例9、已知行列式3123111++++-+--z x y y x z z y xd c b a 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++--→z y x z y x 0)1(339（二）、典型例题例1①22222aaaaa a a a a a a a a a a aa a a a ②xx x x ++++1111111111111111③aa a a ++++4444333322221111④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：解：4)x 00000001114111411141114111411111111111111113+=+→+++++++→++++（所以值x xx x x xxx x x x x xx x x①分析：与②同理 ④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例24321532154215431543254321解：100510501500115111111411411411115111411411411411115111401141014110411105432154321153215152154151543155432154321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875例343211111111111111111x x x x ++++解：+=+++++==+++++++=++++4321431432432143214324321401010********01001001000100000000011101110111011111111111111111111111111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 证明时）当b a ba bab aba ab b a b b a a b b a n n ni iin ≠--==++++++=-∑(00000000011分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式再用归纳法证明之也可以：nn n n abD ab a b ab a bD ba ab b a b ab a bD ba ab b a b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---111000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba baD baD b a b a D D D D n n n n n n nn nn ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n na n aaa a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当第二讲矩阵例、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=301521B .求 B AX =的解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=313315210010101301521101111010)(B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→211213100010001413415200010101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211213X2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110110B .解:建立矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102112012101111011B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21311001112011001111011222110011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011101110100010001033110011300110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110TB⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110B2008年考题: 03=A ,时证明： A E -可逆.证 E A E A A E A E =-=++-32))((.所以A E -可逆例1、设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则C B -为(A)E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 例2、设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 *C .记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100011001PAP P C A 1)(-= 1)(-=PAP C B AP P C C T =)( TPAPD =)(A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010011B C110010011100010011-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=PAP A C例3、设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . 2009题设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*O BA O⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B O A 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B OB 32)( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O C 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O D 32)(( 2009年的考题)解:1-*=CC C先求1-C()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00100011000010010010*********A O O B O B A OE C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→--O ABO E O O E11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----*O ABOO A BO O BA O C 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=**----O A B B A O OA AB B B A O O ABOB A 1111例4、设A 是n 阶非零实矩阵,满足 TA A =*. 证明:)1(>A)2(如果2>n 则1=A解：条件TA A =*,即,)()(Tij T ij a A =即ji ij ij a A ,,∀=（1）inin i i i i A a A a A a A ++=2211022221≥+++=ini i a a a又因为 0≠A , 即A 有非零元素，则2221>+++=in ke k a a a A(2)EA AAAAT==*nAA=2得12=-n A因为>A2-n 是正整数，得1=A例5、 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=**2,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100021012A ,求B .(04一) 解：E BA ABA+=**2E BA E A =-*)2(AB E A A =-)2(AB E A A =-23913112122=⨯=-=AE A B例6 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X .解： 11112)(----+=AAXAAAXA AE X X A 21+=-A AX X 2+=A X A E 2)(=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-4020222106101021152)2(A A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→010424202210001002142262022120110021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→01042424106100010001得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01042424106X例7 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A X A X A 21+=-*,求X .解： X A X A 21+=-*AXE X A 2+=E X A E =-)24(1)24(--=A E X411110112111111111=--=---=A例8 4阶矩阵B A ,满足E BAABA311+=--,已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8000010030100101A 求B . (00一) 解： E BAABA311+=--A B AB 3+=EA B A B A 3+=*83==*AA得2=AE B A E 6)2(=-*1)2(6-*-=A E B例9 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421-=-.(1) 证明E A 2-可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ,求A .(2002)A 可逆解：EB B A 421-=-即A AB B 42-= B A AB 24+= A B E A 4)2(=-由A 可逆得E A 2-可逆例10 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ⇔可逆. (3)BA AB =解：(1)令aE B D bE A C -=-=,aE D B bE C A +=+=,abE bD abE aC aE D bE C +++=++))(( abE bD aC abE bD aC CD 2++=+++D C abE CD ,⇒=都可逆或者直接把bE A -和aE B -相乘abE bB aA AB +--(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((E aE B ab bE A =--)()( EabbE A aE B =--)()( abE bE A aE B =--))((O bB aA BA =--AB bB aA BA =+=例11 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明A AB E 1)(-+也是对称矩阵. 证：验证A AB E A AB E T11)(])[(--+=+ TTTAB E A A AB E ])[(])[(11--+=+ 111)()(])[(---+=+=+=BA E A A B E A AB E A T T T即要证明)()()()(111BA E A AB E A A AB E BA E A ++=⇔+=+---)()(BA E A A AB E +=+⇔。

线性代数练习册第一、二章答案

第一章行列式1-1 二阶、三阶行列式一、填空题1．1- 2 . ()ab b a - 3. 6 4. 22x -1－2 逆序数与n 行列式的定义一．填空题1. 102.(1)2-n n 3. 负 1-3 行列式的性质与计算一、利用行列式的性质计算下列各行列式：12322102100204210042141.199200397120031001233013006001300013c c c c --=--=-- 132320545410005310050053130r r r r -+--=-==--111100000000000000000002.(1)0000000000000000000000000000(1)n n n n n nx y x y y x y xy xy x y x x x y x y x y x y yxx xy x y +--+=+-=+-12341123410234123423411034113413.101034121041214124123101231123c c c c c +++÷2132314241123412342011301131010160022200480111004r r r r r r r r r r -----=----+-----二、试将下列式化为三角形行列式求值：43211331413224422512152215223714173402162592729570113461216420121522152215220120012001209011300330033202163603r r r r c c r r r r r r c c r r ----+-----↔------------+---↔==-+-三、用降阶法计算下列行列式：2131224020003554135435524832312334832112512211c c c c ----+--=--------1323710527102105322701051c c c c --------=-=---四、计算下列行列式：解： 12112100...01100 (01)210...00210...00121...00121 (02)20012...00012...0....................................0 (20)0...2n n n n n D D D ----=-=-11221321n n n n D D D D D D ---⇒-=-==-=-= 111n D D n n ⇒=+-=+1-5 Cramer 法则一、解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . 二、解系数行列式为 λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,或 λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,或 λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第一章复习题一、选择题 1. D 2. B 3. B,D 4. C,D二、填空题1. 122460002. 5 3 0；0 4. 0 三.计算下列行列式3222214250425042542542112111211.1(1)541001412050412322321111232r r r r r r ++--=-----+232154(1)723r r +--=-21212111......111 (1)22 (21)2......22.2333 (31)3......3.............................. (1)......n n n n nn n n n n n n ---=⨯⨯⨯ 1!()!(1)!2!1!i j nn j i n n ≤<≤=-=-∏3.112233111111111111111110111111111101111111111011011111111110nnn a a a a a a a a ++++++=+++各行减去第一行得行列式：111212231311111111111110000100000000011100000000010000000100ni in nnna a a a c c c a a a a a a a =+--=+++--∑111(1)nni i i i a a ===+∑∏四、证明题 1.证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的x 倍加到前一列上去，得到原行列式等于121112111111111010...00001...00 0...01 (1)0010(1)(...)...01n n n nn n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a --+--------+++++++--=-++++=++++-第一章自测题一、填空题1.(1)na - 2. 3- 3. 0 ； 0 4. 2008!二、选择题1.C2.D3.A4. B5. A三、计算题（每小题10分，共30分） 1..解： 23234352315534554011100101(1)7117101710182281118212c c D c c ++--==----+-123274059409010382242224c c c c ++=-=-=()()()()()()11111......1......2................1 (1)1......1nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始，做相同的变换，得原行列式等于：()()1111111......11.....................()!(1)!2!1!()1......()1......j i n i j n n n nnna n a n ax x n n a n a n a a n a n a -≤<≤+----+==-=---+--+∏ 第二章矩阵及其运算2-1 矩阵的运算一．解答：337137⎛⎫⎪--⎝⎭ ，1875814---⎛⎫⎪-⎝⎭二．计算下列矩阵的乘积解答：1.25174⎛⎫ ⎪⎝⎭　2.653010422-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭三、选择题答案：1.B 2.D 3. A 4.C 5.A 四．五．答案略。

线性代数练习题(1-2章)答案

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是－14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

(完整word版)线性代数练习题行列式

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是［ BD ] （A ）行列式主对角线上的元素全为零 (B ）三角形行列式主对角线上有一个元素为零（C ）行列式零的元素的个数多于n 个（D ）行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

线性代数第一、二章复习题

线性代数第一章和第二章复习题一．填空1．.A 为n 阶矩阵，且3=A ，则T A A = 。

2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且2)(=A R ，则a= 。

3．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ有非零解，则λ= .4．n 阶矩阵B A ,满足2222)(B AB A B A ++=+的条件为 .5．设3阶矩阵A 满足5=A ，则行列式12--A ＝________.6．设n 阶矩阵B A ,满足4,5==B A ，O 为零矩阵，则行列式=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12B O O A T7．设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则用111,,---C B A 表示=-1)(ABC8．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a a a A 的转置伴随矩阵*A = . 9．60122231x中元素x 的余子式为。

10．设n 阶方阵A 满足：O E A A =++322, 且已知E A 2+可逆，则=+-1)2(E A ．二、单项选择1．设A 、B 是n 阶矩阵，满足AB=O ，则必有（）（A ） A=B=0 （B ） A+B=0 （C ） 0=A 或0=B （D ）0=+B A 。

2．设 A 、B 、C 都是n 阶矩阵，且 ABC=E ，则必有（）（A ） ACB=E （B ） CBA=E （C ） BAC=E （D ） BCA=E 。

3．设A 、B 是n 阶矩阵，则必有（A ） B A B A +=+ （B ） BA AB =（C ） BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A4．设A 是n 阶矩阵，且0≠=a A ，则*A =（）（A ）a （B ）a 1（C ）1-n a （D ）n a5．设A 、B 均为n 阶非零矩阵，满足AB=O ，则)(),(B R A R （）（A ）必有一个等于零（B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n三、计算下列各题1．解方程0432********14321=++++a a a x a a a xa a a x a a a x a a a a 。

线性代数习题

13、设行列式 D=
3 6 9 12 2 4 6 8 1 2 0 5 6 4 3 3
，则 A41 2 A42 3 A44 =_____.
14.确定排列 217986354 的奇偶性_____（奇排列/偶排列）.
a 15.若 11 a 21
3a11 a12 1 ，则 3a 21 a 22 0
10.求解方程
1 x 1 1 0。 1 1 x 1 1 1 1 x
3
a b
b
b ... b
11.计算行列式 Dn b
b
a b ... b b a ... b ... ... ... ... ... b ... b a
1 10 1 2 12. 计算四阶行列式 3 5 1 2
1 3 6 4
1 1 . 1 1
5. 设 A 为 4 阶方阵，且 A 2 , A =_____. A. 2 C. 8 B. 4 D. 16
6
6. 设 A, B 分别为 n 方阵，是实数，则下列等式错误的是_____.
A. A B A B C. AT A
B. AB A B D. 2 A 2n A
.
)
1 17.计算 2 1 2 3 _____. 3 1 0 2015 18、设 A ，则 A _________ 1 1 2 1 19、设 A ，则 A =_________ 3 4
二、选择题 1、 A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ( A B) 2 A 2 2 AB B 2 ，则必有（A） A E （B） B E （C） A B （D） AB BA 2、设 A 为方阵，如果有矩阵关系 AB AC ，则必有。（A） A 0 （B） B C 时 A 0 （C） A 0 时 B C （D） A 0 时 B C

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

新版线性代数1-2章练习和参考答案

；
10.设 A = ( a ij ) 3×3 ， | A |= 2, Aij 表示 | A | 中元素 a ij 的代数余子式 (i, j = 1,2,3) ，则
( a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 ) 2 + (a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23 ) 2 + ( a 31 A21 + a 32 A22 + a 33 A23 ) 2 =
R ( A) _____ R ( B) ；
3.设一个 m × n 齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，那么该方程组有无穷多个解的充分必要条件是_______________；仅有零解的充分必要条件是；
x1 + 2 x 2 + x3 = 1 ⎧ ⎪ 4.已知方程 ⎨2 x1 + 3 x 2 + ( a + 2) x3 = 3 无解，则 a = ⎪ x + ax − 2 x = 4 1 2 3 ⎩
；
1 0 2 4 −1 x 3.行列式 2 2 −1 1 5 −2
；
4.设有行列式 D =
a1 − b1 a 2 − b1 # a n − b1
a1 − b2 " a1 − bn a 2 − b2 " a 2 − bn ，当 n = 1 时， D = # % # a n − b2 " a n − bn
⎧ λx1 + x 2 + x3 = 1 ⎪ 三、 λ 取何值时，非齐次线性方程组 ⎨ x1 + λx 2 + x3 = λ ⎪ x + x + λx = λ2 2 3 ⎩ 1
1.有唯一解；2.无解；3.有无穷多个解.

线代第1章练习附答案

1 1 x 1 1
7.求行列式
的值。
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
【分析】利用行列式的性质，将第 2，3，4 列加到第 1 列上得
1 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 1 1 x 1
1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1
x
1 x 1 1 1 x x 1 1 1 1 x 1 1 1
C．k≠-1 且 k≠3 D．k≠-1 或≠3
3．已知 2 阶行列式 a1 a2 =m , b1 b2 =n ,则 b1
b2
=（ B ）
b1 b2
c1 c2
a1 c1 a2 c2
A.m-n
B.n-m
C.m+n
D.-（m+n）
xyz
2x 2y 2z
4.设行列式 4 0 3 1, 则行列式 4 0 1 （ A ）
0 a6
0 a8
0
a2 0 0 的值。 0
a4
【分析】仿照上题的思路。
a 1
a2
D (a 9)
a5 a6 a7 a8
a3
a4
a 1 a 2
a3 a4 (a 9)
a5 a6
a7 a8
a 1 a 2 a 5 a 6
(a 9)
4(a 9)
a3 a4 a7 a8
11 1 1 5、计算行列式 1 1 1 1 的值。
3
1 0 1
a b0
解答： b a
a 0
b (a2 b2) 0 a=0, b=0
b a
1 0 1
x2 2 3 6. 设 f (x) 1 2x 3 4 ，则 x 2 的系数为 23 。

线性代数各章习题及答案3

线性代数各章习题及答案3线性代数习题集国际金融学院数学教研组2009年2月目录第一章行列式 (1)第二章矩阵…..…………………………………………………第三章线性方程组……………………………………………第四章矩阵的特征值………………………………………………………第一章行列式1. 计算下列二阶行列式： (1)4131 (2)2112- (3)22b ab a2. 计算下列三阶行列式：(1)598413111 (2)140053101- (3)00000d c b a3. 若0100143=-k kk，求k 的值。

4.当x 取何值时，0010413≠x x x。

5.用行列式定义计算下列行列式：(1)000001002001000 n n - (2)001000020001nn - (3)0001100000100100(4)0100111010100111 5.用行列式性质计算下列行列式：(1)111210321 (2)x x x -------542452222 (3) 2010411063143211111(4)3214214314324321 (5)yy x x -+-+1111111111111111 (6)0 000xyzx z y y z x z y x6.已知1141415=c b a ，求11411414/54c ba 。

7.计算下列行列式：(1)11111110101dc b a ------ (2)2015089684304387021791800004100032- (3) 086180363030526650213220--------- (4)2 10000121000012100001210000121000012 (5)aaa aa a a a aa---------110001100011001101(6) a a 11a a010010(8) xy yy x yx00000000(9))1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n n(10)n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++ 21221211211111(11)11111321321121121121nn n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x(12)0432140123310122210113210--------n n n n n n n n (13)113112211132114321xxxn x x n x n n---8.解下列方程：(1)03132513232213211=--x x (2)03111121111111111=---x x x (3)0011101101110=x x xx 9.用克莱姆法则解下列线性方程组：(1)=+-+-=+-+=-+-=+-+0674522096038524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (2)=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (3) =+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x (4)=++=++=++=++=+10506506506516565454343232121x x x x x x x x x x x x x x10. 判断齐次线性方程组=-+=+-=-+0285042022321321321x x x x x x x x x 是否仅有零解。

2009线性代数一二章小测试

一、填空题1. 若将n 阶行列式D 中的每个元素添上负号后得一新行列式D '，则D '＝ D2. 已知齐次线性方程组12312312322020340x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ=3. 若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于________;4. 若齐次线性方程组中的方程的个数少于未知数的个数，则此方程组必有5. 若,A B 为同阶方阵，则()()2222A B A AB B +-++=6. 设=1α(1,1,1), 2α=(1,2,3), 3α=(1,3,t ) 线性相关，则t =7. 当λ= 时，方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解。

8. =-=A A A A T ，则阶矩阵，且满足为20039. 若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200420030110,4321AP P P A 那么 10. 1. 设n(3≥n )阶矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111a a a a a aa a a a a a ，若矩阵A 的秩为n-1，则a为（） A. 1 B.n -11 C.-1 D 11-n 2. 设321ααα,,是3阶方阵A 的列向量组，且0=Ax 仅有零解，则（）()A 1α可由32αα,线性表出 ()B 2α可由31αα,线性表出== = = - * 2 2 3 2 1 A A A A A A ，则阶矩阵，且满足为()C 3α可由21αα,线性表出 ()D 以上结论都不正确 3. 设12,,βαα线性相关，23,,βαα线性无关，则下列结论正确的是（） A ．123,,ααα线性相关; B ．123,,ααα线性无关; C ．1α可由23,,βαα线性表出; D ．β可由12,αα线性表出 4. 当非齐次线性方程组11m n n m A x B ⨯⨯⨯=满足条件（）时，此方程组有解。

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第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25. =0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=0100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n nn a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a xa a a a xa a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++; 10.21120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k n k k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)22AA =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)((d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。

(a) A k (b)A k (c) A k n (d)A k n4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。

(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)((c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。

(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( )。

(a) 827-(b) 278- (c) 827 (d) 278 8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。

(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 22B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。

（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=11.如果⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221331332123111333231232221131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则=A （）。

（a ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001 (b) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301 (c) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300 (d) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13001000112.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113022131A ，则（）。