离散数学复习题及答案
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1. 写出命题公式﹁（P →（P∨Q））的真值表。
答案：
2.证明
答案：
)
3. 证明以下蕴涵关系成立：
答案：
:
4. 写出下列式子的主析取范式：
答案：
)
(
)
(Q
P
Q
P
Q
P⌝
∧
⌝
∨
∧
⇔
↔
Q)
P
(
Q)
(P
P)
(Q
P)
P
(
Q)
(Q
Q)
P
(
P)
Q)
P
((
Q)
Q)
P
(
P)
Q
(
Q)
P
(
Q
P
⌝
∧
⌝
∨
∧
⇔
∧
∨
∧
⌝
∨
⌝
∧
∨
⌝
∧
⌝
⇔
∧
∨
⌝
∨
⌝
∧
∨
⌝
⇔
∨
⌝
∧
∨
⌝
⇔
↔
Q
Q
P
P⇒
∨
∧
⌝)
(
)
(
)
(R
P
Q
P∨
∧
∧
⌝
5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t
q
答案：
①s →t 前提 {
②t 前提
③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提
⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提
⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提
⑨q ⑦⑧析取三段论I10
！
6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→
q), p, s q
)
()(R P Q P ∨∧∧⌝)
()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)
()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)
()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)
()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)
()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)
(Q R P ⌝∧∧⌝∨
7. 请将下列命题符号化：
所有鱼都生活在水中。
答案： —
令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中
))((W(x)F(x)x →∀
8. 请将下列命题符号化：
存在着不是有理数的实数。
答案：
令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数
Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃
^
9. 请将下列命题符号化：
尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
答案：
令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为
!
10. 请将下列命题符号化：
对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。
答案：
令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x
11. 请将下列命题符号化：
每个人都要参加一些课外活动。
：
)))()((())()((x C x M x x C x M x →⌝∀∧∧∃)),()()((y x S y P x P y x →∧∀∀
令P(x):x是人Q(y): y是课外活动S(x,y):x参加y
12. 请将下列命题符号化：
某些人对某些药物过敏。
答案：
令P(x):x是人Q(y): y是药S(x,y):x对y过敏
`
13. 求)
(
))
(
)
(
(y
yR
y
Q
x
P
y∀
→
→
∃的对偶式:
答案：
14. 求下列谓词公式的前束范式：
答案：
&
15. 证明：
)
,
,
(
))
,
(
)
,
(
(u
y
x
uQ
z
y
P
z
x
zP
y
x∃
→
∧
∃
∀
∀
)
,
,
(
))
,
(
)
,
(
(u
y
x
uQ
z
y
P
z
x
zP
y
x∃
∨
∧
∃
∀
⌝∀
⇔
)
,
,
(
))
,
(
)
,
(
(u
y
x
uQ
z
y
P
z
x
P
z
y
x∃
∨
⌝
∨
⌝
∀
∃
∃
⇔
)
,,(
))
,
(
)
,
(
(u
t s
uQ
z
y
P
x
P
y
x∃
∨
⌝
∨
⌝
∀
∃
∃
⇔ω
ω
))
,,(
)
,
(
)
,
(
(u
t s
Q
z
y
P
x
P
u
y
x∨
⌝
∨
⌝
∃
∀
∃
∃
⇔ω
ω
))
(
)
,
(
)
(
(y
Q
y
x
S
x
P
y
x∧
→
∃
∀
))
(
)
,
(
)
(
(y
Q
y
x
S
x
P
y
x∧
∧
∃
∃
)
,
,
(
))
,
(
)
,
(
(u
y
x
uQ
z
y
P
z
x
zP
y
x∃
→
∧
∃
∀
∀