考研数学概率论讲义+练习
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
考研数学概率统计讲义
设售出一台设备的净赢利为
a( X
)
100, 200,
X 1, 0 X 1.
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概率论与数理统计
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
E[a(X )] a(x) f (x)dx
1
(200)
1 4
e
x 4
dx
100
1 4
e
x 4
dx
0
1
200e
x 4
|10
100e
x 4
|1
Z X 2 Y 2 的数学期望.
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy
x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy
2
2
0
0
r
1
2
r2
e2
rdr d
2
例6 五个独立元件,寿命分别为X1, X 2, , X5,
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值.
求E(X)。 0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得：
分
1500
3000
E(X ) xf (x)dx
x2 15002
dx
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
1500 (分□)
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概率论与数理统计
例4 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
2
k pk .
k 0
这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算
术平均 2 k ak 接近于
k0 N
清华大学 概率考研复习讲义-2
=
(λt)k e−λt , k!
Poisson 定理中的λ称为强度.
k = 0, 1,...
2). Poission 流产生离散型的 P(λ)分布
3) Poisson 流产生的连续型分布：Ex(λ)
误差问题产生的分布：U(a,b)与N(μ, σ 2)
2.2.2 重要分布间的关系和性质 1. 重要分布间的关系 2. 重要分布的性质 性质 1 重要离散型分布的最可能值 设 X ~ B(n, p), 则 X 的最可能值是 [(n+1)p] . 如 (n+1)p 是整数， 则[(n+1)p]−1＝np-q 也是最可能值. 这里 [⋅]为取整函数. 设 X ~ Ge( p), 则 X 的最可能值是 1. 设 X ~ P(λ), 则 X 的最可能值在[λ]；如λ＝[λ]，即λ是正整数时， 则λ−1 也是最可能值. 性质 2 B(n, p)的 Poisson 逼近. 定理 2.3.1 (Poisson 逼近) 设 X n ∼B(n, pn )，即对固定的 n 次试验 中，每次试验成功的概率是 pn . 又设存在极限 limn→∞ npn =λ > 0， 则对任意非负整数 k, 有
例 2.1.3 将 3 个球逐个随机放入 4 个分别编号为 1、2、3 和 4
的盒子.令 X 是“有球盒子的最小号码”，求 X 的分布列.
【
⎜⎜⎝⎛
37
1 /
64
2 19 / 64
3 7 / 64
4 1/ 64
⎟⎟⎠⎞
】
例 2.1.4 设 rvX 的 pdf 为
⎧1/ 3 f (x) = ⎪⎨2 / 9
⎧0
【
FX
(x)
=
⎪x ⎪⎨b ⎩
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
2021考研概率统计全考点习题册(第四讲)(1)
第四讲 随机变量的数字特征4.1 设随机变量X 与Y 具有相同分布: 1e {}(0,1,2,)!P X k k k −===,且()2D X Y −=, 则()=E XY ________.4.2 设随机变量()λE X ~，()2EX X Y −=，则{}_______=<EY Y P . 4.3 盒中有5个球，其中有3个白球，2个红球．从中任取两球，求白球个数X 的数学期望．4.4 设随机变量X 的概率密度为则=,=.4.5 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则= .4.6 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，记{}max ,1Y X =，则.______=EY 4.7 设随机变量,X Y 相互独立且分别服从均匀分布()0,6U 及泊松分布()2P ，求()D XY .4.8 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2_______E X Y =．4.9 设随机变量X 的服从参数为1的指数分布，则2()XE X e−+=.4.10 设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为212,0()0 ,0x e x f x x −⎧>=⎨≤⎩，,1)(122−+−=x xe xf π()E X )(X D 2EX424,0()0 ,0x e x f x x −⎧>=⎨≤⎩. （1）求12()E X X +，2212(3)E X X −； （2）又设1X ，2X 相互独立，求12()E X X .4.11 设X 是一随机变量，()E X μ=，2()D X σ=（μ，0σ>常数），则对于任意常数C ，必有（ ）（A ）222[()]()E X C E X C −=− （B ）22[()][()]E X C E X μ−=− （C ）22[()][()]E X C E X μ−<− （D ）22[()][()]E X C E X μ−≥− 4.12 设随机变量X 和Y 的相关系数0.5，()()0E X E Y ==，22()()2E X E Y ==，则2[()]E X Y += .4.13 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y （ ）（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B ）独立的充分条件，但不是必要条件 （C ）不相关的充分必要条件 （D ）独立的充分必要条件4.14 设两个不相关的随机变量X ，Y 的方差分别为4和1，则随机变量42X Y −的方差为 .4.15 设随机变量X 的分布函数为()()10.40.62x F x x −⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ是标准正态分布的分布函数，则______.EX =4.16 某人写好n 封信，又写好n 个信封，在黑暗中把每封信随意放入某一信封中，设X 表示放对的信封数，求EX .4.17 一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该商品的需求Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[]20,10上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店每周所得利润Z 的数学期望.4.18 设连续型随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=elsex x x f ,00,2cos 21π，对X 进行独立重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2EY .4.19 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==_______.4.20 设随机变量X 服从()1,0N ，则24()_______XE X e=.4.21 设随机变量X 和Y 独立同分布，且都服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，求E X Y −，Y X D −.4.22 设随机变量Z Y X ,,相互独立，且()6,0~U X ，()4,0~N Y ，()3~E Z ，求()Z Y X E 32+−，()Z Y X D 32+−.4.23 设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ令∑==ni i X n Y 11，则（ ）（A ）()21cov ,X Y nσ= （B ）()21cov ,X Y σ=（C ）()212n D X Y n σ++=（D ）()211n D X Y nσ+−=4.24 设事件和互不相容，，，记，，和的相关系数为，则（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 4.25 已知随机变量与均服从分布，且，则{}=≤+1Y X P （ ） （A ）（B ） （C ） （D ）4.26 设随机变量.（1）求；（2）求； （3）求与的相关系数，其中表示取整不超过的最大整数. 4.27 设服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充分必要条件是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）4.28 设二维随机变量),(Y X 服从单位圆(){}22,1D x y xy =+<上的均匀分布，问X 和Y 是否独立，是否不相关？ 4.29 设随机变量X 的概率密度为()∞<<−∞=−x e x f x ,21||. （1）求EX 和DX ；（2）求X 与||X 的协方差；并问X 与||X 是否不相关？ （3）问X 与||X 是否相互独立？A B 0()1P A <<0()1P B <<1,0,A X A ⎧=⎨⎩发生不发生1,0,B Y B ⎧=⎨⎩发生不发生X Y ρ0ρ=1ρ=0ρ<0ρ>X Y 31,4B ⎛⎫⎪⎝⎭13XY ρ=1438125815,22XU ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()D X []()D X X −X []X []x x (,)X Y X Y ξ=+X Y η=−()()E X E Y =()()()()2222E X E X E Y E Y −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22E XE Y =()()()()2222E X E X E Y E Y +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
历年考研数学概率论零基础讲义
2016考研数学概率论零基础入门讲目录第一讲随机事件与概率 (1)第二讲一维随机变量及其概率分布 (7)第三讲随机变量的数字特征 (12)【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。
（2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记.第一讲随机事件与概率一、从古典概型讲起1.随机试验与随机事件称一个试验为随机试验，如果满足：（1）同条件下可重复（2）所有试验结果明确可知且不止一个（3）试验前不知哪个结果会发生【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ．②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi .2.古典概率称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足:(1)只有有限个基本事件(样本点)；(2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样．【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样.②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为P( A) =k=事件A所含基本事件的个数n由上式计算的概率称为A 的古典概率．3.计数方法基本事件总数1n （1）穷举法：样本点总数不大时 （2）集合对方法：①加法原理：完成一件事，有n 类方法，第一类方法中有m 1 种方法，第二类方法中有m 2种方法，……，第n 类方法中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 + m 2 + + m n 种办法.②乘法原理：完成一件事，有 n 个步骤，第一步中有 m 1 种方法，第二步中有 m 2 种方法，……，第n 步中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 ⋅ m 2 m n 种办法.③排列：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫排列.所有排列的个数叫做排列数，记作 P m= n (n -1) (n - m +1) =n !(n - m )!.当m = n 时，P m = P n = n !，称为全排列.nn④组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤ n ) 个元素并成一组，叫组合.所有组合的个数mP m m m 叫做组合数，记作C n = n，也有 P n m != C n ⋅ m !.（3）用对立事件思想 4.例题分析【例 1】从 0 到 9 这十个数字中任取 3 个不同的数字，求 （1）三个数中不含 0 和 5 的概率 （2）三个数中不含 0 或 5 的概率 （3）三个数中含 0，但不含 5 的概率【例 2】假设袋中有 5 个球，3 白球 2 黑球，求 （1）先后有放回取 2 球，至少有一白球的概率； （2）先后无放回取 2 球，至少有一白球的概率； （3）任取 2 球，至少有一白球的概率.【例 3】假设袋中有 100 个球，40 个白球，60 个黑球（1）先后无放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率； （2）先后无放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率； （3）先后有放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率；2∑ ∏ （4）先后有放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率. 二、几何概型 1.引例 天上掉馅饼 2.几何概型的定义如果(1)样本空间(基本事件空间)Ω 是一个可度量的几何区域；(2)每个样本点(基本事件) 发生的可能性都一样，即样本点落入 Ω 的某一可度量的子区域 A 的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置及形状无关，我们就称这样的随机试验的概率模型为几何概型，在几何概型随机试验中，如果 S A 是样本空间 Ω 一个可度量的子区域，则事件 A ＝“样本点落入区域 S A ”的概率定义为P ( A ) =S A 的几何测度 Ω的几何测度由上式计算的概率称为 A 的几何概率【评注】 基本事件有限、等可能的随机试验为古典概型；基本事件无限、等可能的随机试验为几何概型． 3.例题分析【例 1】君子有约，上午 9:00-10:00 到新东方大厦门口见面，先到者等 20 分钟即离开，求甲、乙两人相遇的概率.【例 2】在区间(0,1) 中随机取两个数，则两数之和小于 6的概率为 .5三、重要公式求概率1.重要公式总结(1)求逆公式 P ( A ) = 1- P ( A ).(2)减法公式 P (A －B )＝P (A ) －P (AB )． (3)加法公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )P (A ∪B ∪ C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )P (AB )P (AC )P (BC )＋P (ABC )．【注】①设 A 1，A 2，…，A n 是两两互不相容的事件，则 P ( n nA i ) = P ( A i )i =1i =1②若 A 1，A 2，…，A n 相互独立，则 P ( n nA i ) = 1 - [1 - P ( A i )]i =1i =1（4）条件概率公式 设 A 、B 为任意两个事件，若 P (A )＞0，我们称在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为条件概率，记为 P (B ｜A )，并定义3nP (B | A ) = P ( AB )P ( A )(P (A )＞0).【注】(1)条件概率 P (·｜A )是概率，概率的一切性质和重要结果对条件概率都适用，例如：P (B | A ) = 1- P (B | A ),P (B - C | A ) = 1- P (B | A ) - P (BC | A ) > 0 ，等等．(2)条件概率就是附加一定的条件之下所计算的概率．当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”． （5）乘法公式如果 P (A )＞0，则 P (AB )＝P (A )P (B ｜A )．一般地，如果 P (A 1…A n －1)＞0，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2｜A 1)P (A 3｜A 1A 2)…P (A n ｜A 1…A n －1) 【注】A i 先于 A i ＋1 发生时用此公式． （6）全概率公式（全集分解思想）n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i -1 j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一事件 B ，有nnB =A iB , P (B ) = ∑P ( A i)P (B | A i).i -1i -1（7）贝叶斯(Bayes )公式(逆概公式)n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i =1j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一件事 B ，只要 P (B )＞0，有P ( A i | B ) =P ( A i )P (B | A i )(i = 1,2, , n )∑P ( A i)(B | A i)i =1【注】①要注意 P (AB )与 P (B ｜A )的区别：P (AB )是在样本空间为 Ω 时，A 与 B 同时发生的可能性，而 P (B ｜A )则是表示在 A 已经发生的条件下，B 发生的可能性，此时样本空间已由 Ω 缩减为 A ，只要题目中有前提条件： “在 A 发生的条件下”或“已知 A 发生”等等，均要考虑条件概率．②全概率公式是用于计算某个“结果”B 发生的可能性大小．如果一个结果 B 的发生总是与某些前提条件(或原因、因素或前一阶段结果)A i 相联系，那么在计算 P (B )时，我们总是将 B 对 A i 作分解：B =A iB ，应用全概率公式计算 P (B )．如果在 B 发生的条件下探求导致这i4一结果的各种“原因”A i发生的可能性大小P(A i｜B)，则要应用Bayes 公式．2.随机事件相互独立与独立试验序列概型(1)独立性定义描述性定义(直观性定义)设A、B 为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A 与B 相互独立．设A1，A2，…，A n是n 个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，…，A n相互独立．数学定义设A、B 为事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与B 相互独立，简称为A 与B 独立．设A1，A2，…，A n为n 个事件，如果对其中任意有限个事件A i1，A i2，…，A ik(k≥2)，有P(A i1A i2…A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik)，则称n 个事件A1，A2，…，A n相互独立．(2)独立性的判定1°直观性判定：若试验独立其结果必相互独立．例如：甲、乙各自试验结果相互独立；袋中有返回取球其结果相互独立等．2°充要条件．k k〈1〉A1…A n相互独立⇔任意k≥2；P( A ij ) =∏P( A ij ).j =1 j =1特别地A、B 独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．若0＜P(A)＜1，则A、B 独立⇔P(B | A) =P(B | A) =P(B).〈2〉n 个事件相互独立的充要条件是，它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得到的n 个事件相互独立．3°必要条件．〈1〉n 个事件相互独立必两两独立，反之不然．〈2〉n 个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经某种运算后所得的事件是相互独立的．例如，A、B、C、D 相互独立，则AB 与C ∪D 相互独立，A 与BC－ D 相互独立，等等．4°一定独立与一定不独立的判定．概率为1 或零的事件与任何事件都相互独立．如果0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，A 与B 互5不相容或存在包含关系，则 A 与B 不相互独立．【评注】在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：独立性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽象，它难免会有些不尽人意的地方．3.例题分析【例1】假设有10 份报名表，3 份女生报名表，7 份男生报名表。
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
考研数学基础班概率统计讲义汤家凤
考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。
（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
（二）事件的运算12312312341、对事件A，有P(A)??0（非负性）。
2、P(?)??1（归一性）。
??3、设A1,A2,L,A n,L为不相容的随机事件，则有P(U A n)????P(A n)（可列可加性）。
n?1n?1（二）概率的基本性质1、P(?)??0。
n n2、设A1,A2,L,A n为互不相容的有限个随机事件列，则P(U A k)????P(A k)。
k?1 k?13、P(A)??1??P(A)。
4、（减法公式）P(A??B)??P(A)??P(AB)。
Array 1（（23（（1相互独立。
2（（（3）设P (A )??0,P (B )??0，若A ,B 独立，则A ,B 不互斥；若A ,B 互斥，则A ,B 不独立。
四、全概率公式与Bayes 公式1、完备事件组—设事件组A 1,A 2,L ,A n 满足：（1）A i A j ???(i ,j ??1,2,L ,n ,i ?j )；n（2）U A i ????，则称事件组A 1,A 2,L ,A n 为一个完备事件组。
i ?12、全概率公式：设A 1,A 2,L ,A n 是一个完备事件组，且P (A i )??0(i ??1,2,L ,n )，B 为事件，则nP (B )????P (A i )P (B |A i )。
i ?13、贝叶斯公式：设A 1,A 2,L ,A n 为一个完备事件组，且P (A i )??0(i ??1,2,L ,n )，B 为任一随机事件，P (B )P (A i )P (B |A i )1（2概率为3???9，16则P (A 45不发生B1(C)P(AB)??P(A)P(B)；(D)P(AB)??P(A)P(B)。
考研数学概率论练习及解答
解题步骤：①正确理解题意 ②分析考核点（重点，涉及） ③适当选择方法 ④作题格式一、概率论部分1.“几何概型”问题例1 在长l 的线段AB 上任意投掷两个质点M 和N ，则点A 离点M 比离点N 近的概率为( )A ．81 B ．41 C ．21D ．1解 事件A ＝{点A 离点M 比离点N 近}，并且设|AM |＝x ，|AN |＝y ，则0≤x ≤l ，0≤y ≤l ，因此Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤l ，0≤y ≤l }， A ＝{(x ，y )|0≤x ≤y ≤l }，⋅==Ω=2121)()()(22l lL A L A P 故选择C .例2 设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．解 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=例3 设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形G ＝{(x ，y )：1≤x ≤3，1≤y ≤3}上均匀分布，试求随机变量U ＝|X －Y |的概率密度p (u).解 由条件知X 和Y 的联合密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,0,31,31,41),(其他若y x y x f以F (u )＝P (U ≤u )(－∞＜u ＜∞)表示随机变量U 的分布函数.显然，当u ≤0时，F (u )＝0；当u ≥2时，F (u )＝1. 设0＜u ＜2，则{||}1()(,)d d d d 4x y ux y u GF u f x y x y x y -≤-≤==⎰⎰⎰⎰ ,)2(411])2(4[4122u u --=--= 于是，随机变量的密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,20),2(21)(其他若u u u p例4 在长为l 的线段上，任意选取两点M 和N ，求E |M －N |，D |M －N|解 令Z ＝|M －N |，先求p (z )F (z )＝P (Z ≤z )＝P (|M －N |≤z )＝222)(l z l l --， p (z )＝F ′(z )再求E (Z )和D (Z ).例5（1） 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则 P {max {X ，Y }≤1}＝______.答案是：91. 分析 本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.由题设，可知(X ，Y )～U (D )，其中D ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，0≤y ≤3}. 解法1P {max (X ，Y )≤1}＝P (X ≤1，Y ≤1)＝P (X ≤1)·P (Y ≤1)⋅==⎰⎰91)d 31()d 31(1010y x 解法2 由几何概型可知.911}1,1{}1),{max(==≤≤=≤D S Y X P Y X P（2） 在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为____. 答案是：43. 分析 本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.解 设随机取到的两个数为X 与Y ，则(X ，Y )服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以利用二重积分计算⎰⎰=<-Dy x f Y X p .d ),()21|(|σ另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，即⋅=⨯⨯⨯-Ω=<-=43121212121)()()21|(|)(L A L Y X P A P 2.“图解法”问题例1 设事件A 、B 、C 满足P (B )＝2P (A )，P (C )＝3P (A )，并且P (AB )＝P (BC )，则P (A )的取值范围是( )A ．]1,0[B ．]21,0[C ．]31,0[ D ．]41,0[解 由于A ⊃AB ，于是有x ＝P (A )≥P (AB )＝y ＝P (BC )利用加法公式，有1≥P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )－P (BC )＝3x ＋2x －y ≥3x ＋2x －x ＝4x ≥0 即0≤4x ≤1 ⇒0≤x ≤41. 故选择D .例2 设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则P (A )＝_______.解 ()()P A P B =1()()()()[1()]()[1()].4P AB P A P B P A P B P A P A ==-=-=所以 1()2P A =例3 设X ～N (2，σ2)，并且P (2＜X ＜4)＝0.3，则P (X ＜0)＝______.例4 设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，对给定的α(0＜α＜1)，数αu 满足P {X ＞αu }＝α.若P {|X |＜x }＝α，则x 等于(A )2αu (B )21α-u(C )21αu - (D )u 1－α解 由题设，可知u α满足P (X ＞u α)＝α.可见，若要P (|X |＜x )＝α， 即P (|X |≥x )＝1－α， 而P (X ＞x )＝21α-，因此⋅=-21αu x 故选择C .3.“事件独立性”问题①定义相互独立()()(),()()(),()()(),()()()(),P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C ⎧=⎫⎪⎪=⎪⎬⎨⎪=⎭⎪⎪=⎩两两独立②等价定义A. 两两独立+A BA B AB+-与C 独立（三者之一）B. ()()()P AB P A P B = + ()0P C =或1例 设事件A 、B 、C 满足P (AB )＝P (A )P (B )，并且P (C )＝[P (C )]2，则A 、B 、C ( ) A ．一定不是两两独立； B ．不一定是两两独立； C ．一定是相互独立； D ．一定不是相互独立. 解 由P (C )＝[P (C )]2，我们有P (C )＝0或1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒⎩⎨⎧==)()()()()()()()()()()()()(10)()()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P C P B P A P AB P 或 故选择C .证明：(1)对于任意的A ，由于AC ⊂C ，P (AC )≤P (C )＝0 P (AC )＝0＝P (A )P (C )，即A 与C 相互独立 (2)(C ＋C )A ＝A ，P (C A )＝P (A )－P (AC )＝P (A )－P (A )P (C )＝P (A )(1－P (C ))＝P (A )P (C ) 结论：零(或1)概率事件与任何事件都是相互独立的.4.“全概公式”问题例1 袋中装有n 只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行n 次.已知袋中白球数的数学期望为a ，那么第n ＋1次从袋中任取一球为白球的概率是______.解 依题意袋中白球数X 是个随机变量，X 可取1，2，…，n ，且∑=nk 1kP {X ＝k }＝a .若记B ＝“第n ＋1次从袋中任取一球为白球”，A k “第n 次交换后袋中有k 个白球”(k ＝1，2，…，n ).由全概率公式，得n k k X P A B P A P B P nk k k n k }{)|()()(11===∑∑==.){11n ak X kP n n k ===∑=例2（1） 有两个箱子，第一个箱子中有3个白球2个红球，第二个箱子中有4个白球4个红球，先从第一箱当中随机取一个球放入第二个箱子当中.再从第二箱当中取1个球，问它是白球的概率是多少？解 i A 表示第i 次从第i 个箱子取出的白球.53)(1=A P 52)(1=A P 95)|(12=A A P 94)|(12=A A P4523)|()()|()()(1211212=+=A A P A P A A P A P A P . （2）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .分析 离散型随机变量X 和一个连续型随机变量Y 的和是不能确定的，但是本题已知随机变量X 与Y 独立，并且X 只有两个正概率点，这时可以利用全概率公式求U X Y =+的概率密度解 为求出概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤， 先验概率：()10.3P X ==，()20.7P X == 所以U X Y =+的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+=()()1{1}2{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=. 由于X 和Y 相互独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-又因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-例3 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则{2}P Y == ___________ .解 由全概率公式：}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P X 表示从数1,2,3,4中任取一个数，故X 是等可能取到1,2,3,4。
考研数学_概率论与数理统计（09考研数学_概率论与数理统计（基础班）讲义
考研数学基础班概率论与数理统计电子教材主讲：费允杰第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程x x x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ³n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ³n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A ．120种B ．140种C ．160种D ．180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？②重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？③对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？④顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
2015考研数学基础概率习题讲义
p2 P{Y 5} ，则 (
). B. 对任何实数 都有 p1 p2 D. 对任何实数 都有 p1 p2
A. 对任何实数 都有 p1 p2 C. 仅对 的个别值有 p1 p2
8．设随机变量 X 服从标准正态分布，其密度函数为 ( x ) ，分布函数为 ( x ) ，则对任意实数 a 有 ( ). A. ( a) 1 ( x ) dx C. ( a) (a )
a 0
1 a ( x )dx 2 0 D. ( a) 2 (a) 1
B. ( a )
4x3 , 0 x 1 9．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ，则使 P( X a ) P( X a ) 成立的常数 其它 0,
a (
P( A B C ) 9 / 16 ，则 P( A)
. .
4. 设 A 、 B 为事件， P( A) 0.6，P( A B) 0.3 ，则 P ( AB ) 5. 设事件 A 与 B 相互独立，已知 P ( A) 0 .5 ， P ( A B ) 0.8 ，则
B. A 与 B 不互斥 D. A 与 B 互斥
B. P ( B | A ) 0 D. B A ). B. P( A) P( AB) D. P( A) P( AB) ).
9. 设 A 和 B 为任意两个事件，且 A B ， P ( B) 0 ，则必有 ( A. P( A) P( A| B) C. P( A) P( A| B)
0 1/3
1 1/6
2 1/2
(2) P{ X } 、 P{1 X } 、 P{1 X } . 12. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互 独立的，且概率都是 2/5.设 X 表示途中遇到红灯的次数，求 X 的分布律、分布函数. 13．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为 4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则 消耗的雷管数 X 是一离散型随机变量，求 X 的概率分布. 14．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等 1，2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分 钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率. 15. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ，求下列随机变量 Y 的概率密度:
2012年超越考研暑期强化班讲义概率论同步训练解答
P{ X 1 2} P{1 X 3} F (3 0) F (1)
同步训练 P242
2 . 3
x 0, 0, 0.3, 0 x 1, 1. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) 求 X 的概率分布． 0.6, 1 x 2, x 2, 1,
． （答案：1 p ）
2. 设随机变量 X ~ N (10, 2 ) ，已知 P{ X 20} p ，则 P{ X 0} 解：由题意， P{ X 20} 1 (
20 10 10 ) 1 ( ) p ， 0 10 10 10 P{ X 0} 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 p .
fY ( y ) ． （答案： fY ( y )
3(1 y )2 , y ） [1 (1 y )6 ]
解： FY ( y ) P{Y y} P{1 3 X y} P{ X (1 y )3 } ，
3
(1 y )
1 1 1 dx arctan(1 y )3 y ； 2 (1 x ) 2
1 2 0 . 0.3 0.3 0.4
x 0, 0, 2. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) k 求(1)常数 k ；(2) X 的分布函数 F ( x) ； , x 0, 1 x 2 x 0, 0, 2 1 (3) P arctan X ． （答案： k , F ( x) 2 ） 4 arctan x, x 0, 2
同步训练 P233 1. 设盒子中有十只球，其中四只红球，三只白球和三只黑球，现从中不放回地取三次，每次取一个， 求三次所取的球颜色不同的概率.（答案： 解：设 A ：所取求颜色不同；
概率论.pdf
考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。
考研数学一-概率论与数理统计随机事件和概率、随机变量及其概率分布(二).doc
考研数学一-概率论与数理统计随机事件和概率、随机变量及其概率分布(二)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：17，分数：17.00)1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件．已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________2.对二事件A、B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.7，那么P(AB)可能取到的最大值是 1，P(AB)可能取到的最小值是 2．（分数：1.00）填空项1:__________________填空项1:__________________3.设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________4.设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02 1.00）填空项1:__________________5.设随机变量ξ在区间(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+ξr+1=0有实根的概率是______.（分数：1.00）填空项1:__________________6.已知随机变量X 1.00）填空项1:__________________7.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率分布密度f Y(y)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________8.设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X 1.00）填空项1:__________________9.设X和Y为两个随机变量，且P{X≥0，Y≥P{X≥0)=P{Y≥ 1.00）填空项1:__________________10.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞O)，且二次方程y2+4y+X=01.00）填空项1:__________________11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 1.00）填空项1:__________________12.从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=______.（分数：1.00）填空项1:__________________13.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1=______．（分数：1.00）填空项1:__________________14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1｜Y＞a}=______．（分数：1.00）填空项1:__________________15.设随机变量X的概率密度为f(x)=Ae-x2+x，-∞＜x＜+∞，问X服从什么分布(若有参数须答出)?且常数A= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________16.设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥ 1.00）填空项1:__________________17.用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 1.00）填空项1:__________________二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：14，分数：23.00)18.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为1.00）A.B.C.D.19.设随机变量X Y 1.00）A.B.C.D.20.设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X，Y}的分布函数为______∙ A.F2(x)∙ B.F(x)F(y)∙ C.1-[1-F(x)]2∙ D.[1-F(x)][1-F(y)]（分数：1.00）A.B.C.D.21.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为数：1.00）A.B.C.D.22.设随机变量X P{X=1}=A．0．BC 1.00）A.B.C.D.23.设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1，3]上均匀分布的概率密度，若2.00）A.B.C.D.24.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是______∙ A.f1(x)f2(x)．∙ B.2f2(x)F1(x)．∙ C.f1(x)F2(x)．∙ D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．（分数：2.00）A.B.C.D.25.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=______ AB 2.00）A.B.C.D.26.设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，p i=P{-2≤X i≤2}(i=1，2，3)，则______∙ A.p1＞p2＞p3．∙ B.p2＞p1＞p3．∙ C.p3＞p1＞p2．∙ D.p1＞p3＞p2．（分数：2.00）A.B.C.27.i=1，2；且P{X1X2=0}=1．则P{X1=X2}等于______A．0 B 2.00）A.B.C.D.28.设X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P{｜X-μ｜＜σ}：______∙ A.单调增大．∙ B.单调减小．∙ C.保持不变．∙ D.增减不定．（分数：2.00）A.B.C.D.29.设随机变量X的密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈R1．又设x的分布函数为F(x)，则对任意实数a，F(-a)等于______AB 2.00）A.B.C.D.30.设随机变量X，Y独立同分布，______ A．P(X=Y)=1 C（分数：2.00）A.B.C.D.31.设X～N(μ，16)，Y～N(μ，25)，p1=P{X≤μ-4)，p2=P{Y≥μ+5)，则：______∙ A.对任意实数μ，有p1=p2．∙ B.对任意实数μ，有p1＜p2．∙ C.对任意实数μ，有p1＞p2．∙ D.只对部分实数μ，有p1=p2．（分数：2.00）A.B.C.三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：6，分数：60.00)袋中有1个红球、2个黑球与3个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．（分数：6.00）(1).求P{X=1｜Z=0}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).求二维随机变量(X，Y)的概率分布．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (3).设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________设随机变量X6.00）(1).求Y的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).求概率P{X≤Y}．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (3).将一枚均匀硬币连掷3次，X为这3次抛掷中正面出现的次数，Y为这3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值．试写出(X，Y)的分布列和关于X，Y的边缘分布列，并判断X与Y是否独立．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为：8.00）(1).常数A，B，C；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).(X，Y)的概率密度f(x，y)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (3).关于X和Y的边缘密度f X(x)和f Y(y)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (4).甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放入对方袋中，共交换3次．用X表示3次交换后甲袋中的白球数，求X的分布列．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________设随机变量x10.00）(1).常数C；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).X的分布函数F(x)和P{0≤X≤1)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (3).某种产品的次品率为0.1，检验员每天独立地检验6次，每次有放回地取10件产品进行检验，若发现这10件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)．记X为一天中调整设备的次数，试求X的分布列．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________(4).设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 2.00）__________________________________________________________________________________________(5).设随机变量X的绝对值不大于1， 2.00）__________________________________________________________________________________________ 设一设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为砧的泊松分布，求：（分数：18.00）(1).相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________(3).设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，P(X1=0)=0.6，P(X1=1)=0.4 2.00）__________________________________________________________________________________________ (4).设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为户，且各引擎是否正常运行是相互独立的．如果有至少50%的引擎正常运行，飞机就能成功飞行．问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更可取?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________(5).设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 2.00）__________________________________________________________________________________________ (6).设随机变量X，Y，Z独立，均服从指数分布，参数依次为λ1，λ2，λ3(均为正)．求P{X=min(X，Y，Z)}．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________(7).函数 2.00）__________________________________________________________________________________________(8).设X～U(0，1)且X与Y 2.00）__________________________________________________________________________________________(9).设X与Y独立同分布，P(X=1)=p，(0＜p＜1)，p(X=0)=1-p．令 2.00）__________________________________________________________________________________________ 证明：（分数：12.00）(1).若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (2).若随机变量X与自己独立．则必有常数C，使得P(X=c)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (3).设X～N(0，1)．给定X=x条件下时Y～N(ρx，1-ρ2)(0＜ρ＜1)．求(X，Y)的密度以及给定Y=y条件下X的分布．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________(4).设区域D为：由以(0，0)，(1，1) 2.00）__________________________________________________________________________________________ (5).设X服从参数为2的指数分布，求Y=1-e-2X的概率密度f Y(y)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ (6).设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为λ的指数分布(λ＞0)．当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作．求电路正常工作的时间T 的密度f(t)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________。
考研数学概率论辅导讲义
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
考研概率论讲义
概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。
A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。
例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。
例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。
例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。
考研数学基础班概率统计辅导讲义
若 lim M = p ，则对于一切 n ≥ 1, k = 0,1,
N →∞ N
,
n
，有
C C k n−k M N−M CNn
≈ Cnk pk (1− p)n−k .
j ≤ n ，有
5. n 个事件的相．互．独．立．：设 A1, A2 , , An 是 n 个事件，如果对任意的 k (1 < k ≤ n) ，任意 的1 ≤ i1 < i2 < < ik ≤ n ，具有等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) = P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) ，称 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立．
3. 常见的离散型随机变量的分布：
5
(1) 0 −1 分布 X ~ B(0−1) ，其分布律为
P{X = k} = pk (1− p)1−k , k = 0,1, 0 < p < 1 .
(2)二项分布 X ~ B(n, p) ，其分布律为
P{X = k} = Cnk pk (1− p)n−k , k = 0,1, , n, 0 < p < 1 . (3)泊松(Poisson)分布 X ~ P(λ) ，其分布律为
k =1
k =1
和事件.
3. 积事件：事件 A 与 B 同时发生，记为 A ∩ B 或 AB .
∩ ∩ n
∞
类似地，称 Ak 为 n 个事件： A1, A2 , An 的积事件；称 Ak 为可．列．个事件 A1, A2 , 的
k =1
k =1
积事件.
4. 差事件：事件 A 发生而 B 不发生，记为 A − B 称为 A 与 B 的差事件；
1
5. 互不相容性：若 AB = φ ，称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的. 6. 逆事件：若 A ∩ B = φ 且 A ∪ B = Ω ，称 A 与 B 互为逆事件，或对立事件；将 A 的对立
2013张宇考研数学辅导讲义理工类、经济类概率论与数理统计第1-2章习题详解
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提高数学能力湖北省考研概率论与数理统计习题精讲
提高数学能力湖北省考研概率论与数理统计习题精讲提高数学能力——湖北省考研概率论与数理统计习题精讲概率论与数理统计是数学学科中的一门重要课程，对于准备参加湖北省考研的同学来说，掌握好概率论与数理统计的知识，是提高数学能力的关键之一。
本文将对湖北省考研概率论与数理统计中的习题进行精讲，旨在帮助同学们更好地应对考试。
一、概率与随机变量在概率论与数理统计的学习中，概率和随机变量是最基础的概念，也是后续知识的基石。
我们首先来看一道经典的概率问题。
【习题1】设有三只盒子，第一只盒子有两个白球，第二只盒子有两个黑球，第三只盒子有一个白球和一个黑球。
现从这三只盒子中任取一只，然后从中任取一球。
已知所取得是白球，求这个球来自第一只盒子的概率。
解析：首先，设事件A为所取得白球来自第一只盒子，事件B为所取得白球。
根据题意，我们需要求解的是P(A|B)。
由全概率公式可知：P(B) = P(A1)·P(B|A1) + P(A2)·P(B|A2) + P(A3)·P(B|A3)其中，A1、A2、A3表示分别从第一、第二和第三只盒子中任取一只的事件，B|Ai表示事件Ai发生的条件下所取得白球的概率。
根据题意可知：P(A1) = 1/3，P(A2) = 1/3，P(A3) = 1/3P(B|A1) = 2/2 = 1，P(B|A2) = 0/2 = 0，P(B|A3) = 1/2将上述数据带入全概率公式中，得：P(B) = (1/3)·1 + (1/3)·0 + (1/3)·(1/2) = 1/2然后，我们可以利用贝叶斯公式求解所取得白球来自第一只盒子的概率：P(A|B) = P(A)·P(B|A) / P(B)其中，P(A)为从三只盒子中任取一只的概率，即1/3。
将上述数据带入贝叶斯公式中，得：P(A|B) = (1/3)·1 / (1/2) = 2/3因此，所取得白球来自第一只盒子的概率为2/3。