人教版数学九年级上册二次函数
最新人教版初中九年级上册数学《二次函数》精品课件
别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 ,
②m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1 最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数:y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤: (1)将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式,左边是函数(因变量)的形式; (2)判断右边含自变量的代数式是否是整式; (3)判断自变量的最高次数是否是2; (4)判断二次项系数是否不等于0.
产品原产量是20t,一年后的产量是原产量的 (1+x) 倍; 两年后的产量是一年后的产量的 (1+x) 倍.于是两年后的产 量y与增加的倍数x的关系式为 y=20(1+x)2 .
y=20(1+x)2
y=20x2+40x+20 y是x的函数吗?
y=20x2+40x+20表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关
6. 一辆汽车的行驶距离s(单位:m)与行驶时间t(单位:s) 的函数关系式为s=9t+0.5t2,则经过12s汽车行驶了 180 m,行 驶380m 需 20 s.
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外,我也注意到,在解答学生疑问时,需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入,这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导,帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况?”(如篮球投篮的轨迹)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用:求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质,培养直观想象和逻辑推理能力;
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换,提高问题解决能力和数学建模素养;
3.通过二次函数的实际应用,培养数据分析、数学抽象及数学应用素养,增强解决实际问题的能力;
4.在探索二次函数图像与性质的过程中,培养数学运算和数学探究素养,提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数:
1.二次函数的定义:形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数;
2.二次函数的图像与性质:开口方向、顶点、对称轴、最小(大)值;
3.二次函数的顶点式:y=a(x-h)^2+k;
4.二次函数的图像变换:平移、伸缩;
人教版九年级上册数学二次函数课件
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗?
当b≠0时,是一次函数, 当b=0时, 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数,求m的值.
分析:若 y m 1 xm2m 是二次函数,须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 (1)正方体的六个面是全等的正方形,如果 正方体的棱长为x,表面积为y,那么y与x的关 系可以怎样表示?
y 6x2
(2) n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
(3)某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量,如果每年都比上一 年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关 系应怎样表示?
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片:
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线, 在曲线的各个位置上,篮球(水珠)的 竖直高度h与它距离投出位置(喷头)的 水平距离x之间有什么关系?上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子,它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示?这些函数有什么共同特点?请
你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义.
(1) y 6 x2 ;
(2)d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程,不断缩小根的范围,根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值?
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
C.2个
C ).
D.3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点:让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点:让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化,及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶 点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0,0), 顶点是抛物线的最 高点;
增减性相同: 当 x<0时,y随x增大 而增大;当x>0时, y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下; 对称轴都是y轴;
y = ax2(a<0)
(0,0) y轴
在x轴的下方(除顶点外) 向下
当x<0时,y随着x的增大而增大. 当x>0时,y随着x的增大而减小.
当x = 0时,最大值为0.
Thank you!
A.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1
B.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3
综合应用
3.已知y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,且当x>0时,y随x 的增大而减小. (1)求m的值; (2)画出该函数的图象.
解:(1)∵y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,∴m2+m=2且m +1≠0.则m=-2或m=1.又∵x>0时,y随x的增大而减小,∴m+ 1<0,m<-1,故m=-2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时,y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时,y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中,画出函数 y 1 x2 ,y =2x2的图象.
2
解:分别列表,再画出它们的图象,如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2,y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比,有什么共同点
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT课件
第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm,
∴S与C之间的关系式为S =
;
(2)作图如右:
(3)当S = 1cm2时,C2 =16,即C =4cm.
(4)若S ≥ 4cm2,即 因此C ≥ 8cm.
≥4,解得C,≥或8c≤-8(舍去).
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y=2x2.
(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上, 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时,y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2,则k=
是二次函数,且当x> .
分析
是二次函数,即二次项的系数不
为0,x的指数等于2.又因当x>0时,y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此,
,解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33:例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表 表示几组对应值:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y) 3.连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,就得 到y = x2 的图象.
系是什么?
y y=ax2
二次项系数互为 相反数,开口相反 ,大小相同,它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式.
解:由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积, 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2.
3.如图,矩形绿地的长、宽各增加 x m,写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式.
解:由图可得,扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600, 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同,其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢?这就是本章要学习的二次函数.
合作探究
n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系?
分析:每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量,a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c为常数,且a≠ 0; (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但 不能没有二次项.
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 求二次函数的解析式
的学习习惯.
旧知回顾
1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么?
①设一次函数的解析式
;②把点的坐标代入求
方法
待定系数;③把所求系
数值代回原解析式
2.二次函数的解析式有几种形式?
一般式;顶点式 ; 交点式
待定系数法
你能根据下列所给图象的特征,设出它对应的函数表达式吗?
【题型四】几种解析式的灵活应用
例5 已知二次函数 = 2 + + 的图象的对称轴为x=2,且
经过点(1,4),(5,0),求二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=a(x-2)²+k.
+ = ,
把(1,4), (5,0)代入,得 ቊ
解得
+ = ,
所以二次函数的解析式为 =
22.1.4 第2课时 求二次函
数的解析式
1.通过分析已知条件让学生设恰当的函数解析式,达到简便运算、
解决问题的目的,提高学生分析问题的能力.
2.通过类比用待定系数法求一次函数的解析式,掌握用待定系数法
求二次函数的解析式,提高学生的运算能力.
3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌
如图,某建筑的屋顶设计成截面为抛物线形(曲线AOB)的薄
壳屋顶。它的拱宽AB为4 m,拱高CO为0.8 m,施工前要先制
造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?
你知道应该如何设函数表达式吗?哪种方案最简单呢?
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一
定时间后,测试出这种植物高度的增长情况如下表:
方程(组)。
3.解:解得到的方程(组),求待定系数。
第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册
《二次函数》知识点总结【知识点1 二次函数的表达式】1. 一般式: . 顶点坐标: . 对称轴: .2. 顶点式: .顶点坐标: . 对称轴: . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的 开口方向 ;①当0>a 时,抛物线的 ; ②当0<a 时,抛物线的 ; ③ ||a 越大,抛物线的开口 .3.常数项c 决定抛物线 与y 轴 交点的位置 . ①当0=c ,抛物线与y 轴交于 ; ②当0>c ,抛物线与y 轴交于 ; ③当0<c ,抛物线与y 轴交于 .5.根据a 、b 、c 的符号,画出二次函数的草图:①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2的增减性: 【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数,即02=++c bx ax . ①当 ,抛物线与x 轴有两个交点; ②当 ,抛物线与x 轴有1个交点; ③当 ,抛物线与x 轴有没有交点;2.求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点的过程: 3.求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的过程:4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图,那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;2.系数a 和b 共同决定抛物线 对称轴的位置 . ①a 和b 同号,对称轴在原点的 ; ②a 和b 异号, .4.根据图象判断出a 、b 、c 的符号:方法总结:第一步:求出对称轴;第二步:用箭头在对称轴两侧标出上升和下降;第三步:描述增减性.①当 时,随的增大而减小; ②当 时, 随的增大而增大;∵轴上的点, 为零,∴ . ∵轴上的点, 为零,∴ .②不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ___________; ③不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________.④ a + b + c 0 ,4a 2 b + c 0 , 9a +3 b + c 0 .【知识点4 抛物线的平移】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的平移口诀:“上下平移, ;左右平移, .” 【 * *知识点5 抛物线的对称 ** 】抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的解析式为 . 抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的解析式为 . 【 * *知识点6 二次函数图象的画法 ** 】 画出二次函数3-2-2x x y =的的图象.【典型例题 】1.m2+1+2x −是二次函数,则m 的值为( )C. −1D. 1或−12.【求顶点坐标 】抛物线y =2(x −3)4的顶点坐标是( ) A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)3.【与坐标轴的交点 】抛物线y =−x 2+4x −4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 34.【平移】将函数y =x 2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位5.【平移】抛物线y =x 2+6x +7可由抛物线y =x 2如何平移得到的( )A. 先向左平移3个单位,再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位,再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位,再向左平移3个单位D. 先向右平移3个单位,再向上平移2个单位 6.【图象与性质】对于抛物线y =−3(x +1)2−2,下列说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x >−1时,y 随x 的增大而减小 C. 函数最小值为−2D. 顶点坐标为(1,−2)7.【增减性】已知(−3,y 1),(−1,y 2),(2,y 3)是抛物线y =−3x 2+6x +m 上的三个点.则( ) A. y 1<y 3<y 2B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 2<y 3D. y 2<y 1<y 38.【最值】已知二次函数y=x2−4x+2,关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是( )A. 有最大值−1,有最小值−2B. 有最大值0,有最小值−1C. 有最大值7,有最小值−1D. 有最大值7,有最小值−29.【系数与图象】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B. C. D.10.【求解析式】如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象,求二次函数的解析式.11.如图,已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A(−1,−1)和点B(3,−9).(1)求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标;(2)点C是抛物线与x轴的一个交点,点D是抛物线与y轴的交点,求三角形ACD 的面积;(3)已知点M(x1,y1)和N(1+x1,y2)在抛物线对称轴的右侧,判段y1和y2的大小.12.在运动会比赛时,九年级的一名男同学推铅球,已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图所示),如果这名男同学的出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).(1)求出这个二次函数的解析式;(2)请求出这名男同学比赛时的成绩?13.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.(1)建立平面直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)如果水面下降1m,则水面宽度是多少米?14.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件50元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元,求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价2元,每天可多销售16件,那么每天要想获得最大利润,每件售价应多少元?最大利润是多少?。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数1 二次函数
【题型四】根据实际问题列二次函数
例4 已知一块矩形绿地的长为x m,面积为y ㎡.
(1)若该矩形绿地的长为宽的2倍,则宽为_____m,y与x之间的关
>
=
系式为___________,自变量x的取值范围是__________;
( − )
(2)若该矩形绿地的长比宽多6 m,则宽为__________m,y与x之间
−
=
>
的关系式为___________,自变量x的取值范围是________.
例5 王先生存入银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本
息自动转存为又一个一年定期(年利率不变).设一年定期的存款年
利率为x,两年后王先生得本息和y万元,写出y与x之间的关系式.
解:y=2(1+x)²
二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0,a,b,c是常数)
y=ax2;
特殊形式
y=ax2+bx;
y=ax2+c(a ≠0,a,b,c是常数).
【教材习题】完成课本29页练习1,2题.
【作业本作业】完成 对应练习.
【实践性作业】找一张自己喜欢的照片,量一量它的长和宽,假
设要在这张照片的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设
(一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,我们就说
y 是x的函数)
2.我们学过哪些函数?它们的关系式是怎样的?
(一次函数:y=kx+b(k≠0);正比例函数:y=kx(k≠0)
已知长方形窗户的周长为6 m,窗户面积为y ㎡,窗户
人教版初中数学九年级上册第二十二章22.1.2二次函数的图象与性质
y 轴右侧,y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点:a 值越大,抛物线的开 口越小.
4 2 -4 -2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数的图象.
y x2, y 1 x2, y 2x2 2
对比抛物线, y=x2和y=-x2.它 们关于x轴对称吗? 一般地,抛物线 y=ax2和y=-ax2呢?
函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=2x2在x轴
的 上 方(除顶点外)。
(2)抛物线
y
2 3
x2
在x轴的
下 方(除顶点外),
当 x〈 0 时,y随着x的 增大而增大 ;
当 x 〉0 时,y随着x的 增大而减小 ,
当 x = 0 时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当 x
0 时,y<0.
6、若抛物线 y 6x2上点P的坐标为
当x>0时,
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0; ,0) 2、函数y=-3x2的图象的开口向下 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是 _(_0_,0)
y x2
y x2
在同一坐标系内,抛物线 y ax2与抛物线 y ax2 是关 于x轴对称的.
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳知识点1 二次函数的概念和一般形式1.概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
其中, x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
【注意】(1)自变量x的最高次数是2,a≠0,b,c可以为0;(2)含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。
2.一般式:y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数,a≠0)知识点2 二次函数的图像和性质1.二次函数的图像:是一条平滑的曲线叫做抛物线。
2.二次函数图像的画法:①列表;②描点;③连线。
3.二次函数的解析式(4种形式)(1)y = ax 2(a≠0)(2)y = ax 2+k(a,k是常数,a≠0)(3)y = a(x-h)2(a,h是常数,a≠0)(4)y = a(x-h)2+k(a,k,h是常数,a≠04.二次函数的图像和性质:分别从五种图像(4种特殊+1个一般式)和7个性质(顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究)。
如下图:二次函数的图像与性质a <05.图像平移后的解析式:y = a(x-h)2+k(a,k,h是常数,a≠0)平移规则:左加右减,上加下减。
知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式:一般式、顶点式、交点式。
(1)已知抛物线上普通的3点的坐标,一般选用一般式;(2)顶点在原点,可设y = ax 2(3)顶点在x轴上,若抛物线与x轴有一个交点,可设y = a(x-h)2;若抛物线与x轴有两个交点,可设y=a(x-x1)(x-x2);(4)顶点在y轴上(或对称轴在y轴上),可设y = ax 2+k;(5)已知顶点(h,k),可设顶点式y = a(x-h)2+k知识点4 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴(直线y=0)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
14.已知y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,且当x>0时,y随x的 增大而减小.
(1)求m的值; (2)画出该函数的图象.
解:(1)∵y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,∴m2+m=2且m+ 1≠0.则m=-2或m=1.又∵x>0时,y随x的增大而减小,∴m+1<0,m <-1,故m=-2
解:(1)直线AB的解析式为y=-x+2,抛物线 的解析式为y=x2
(2)令直线 AB 与 y 轴相交于点 E,在 y=-x+2 中,当 x=0 时,y=2,
∴点
E
y=-x+2, 的 坐 标 为 (0 , 2) , ∴ OE = 2. 联 立 y=x2,
解
得
x1=1, y1=1,
x2=-2, y2=4,
_增__大____,当x>0时,y随x的增大而__减__小___. 练习2:已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而_增__大____.(填“增
大”或“减小”)
1.已知二次函数y=x2,则其图象经过下列点中的( A ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,-4) D.(4,2)
A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
12.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标 系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是____8____.
13.如图是下列二次函数的图象:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y =dx2.比较a,b,c,d的大小,用“>”连接为___a_>__b_>__d_>__c____.
∴点
C
的坐标为(-2,4),∵S△BOC=12
OE·(xB-xC)=12
第22章二次函数全章知识点归纳总结人教版九年级数学上册
初三上学期二次函数全章知识点归纳总结【例1】下列函数是二次函数的有()①y=(x+1)2﹣x2;②y=﹣3x2+5;③y=x3﹣2x;④y=x2−1x+3.A.1个B.2个C.3个D.4个【变式11】下列函数中,是二次函数的有()①y=√x2+2;②y=﹣x2﹣3x;③y=x(x2+x+1);④y=11+x2;⑤y=﹣x+x2.A.1个B.2个C.3个D.4个【例2】若y=(a+1)x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数,则a的值是()A.1B.﹣5C.﹣1D.﹣5或﹣1【变式21】函数y=(a﹣5)x a2+4a+5+2x﹣1,当a=时,它是一次函数;当a=时,它是二次函数.【例3】关于函数y=(500﹣10x)(40+x),下列说法不正确的是()A.y是x的二次函数B.二次项系数是﹣10C.一次项是100D.常数项是20000【例4】下列具有二次函数关系的是()A.正方形的周长y与边长x B.速度一定时,路程s与时间tC.正方形的面积y与边长x D.三角形的高一定时,面积y与底边长x【例5】某种商品的价格是2元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:元)随每次降价的百分率x的变化而变化,则y关于x的函数解析式是()A.y=2(x+1)2B.y=2(1﹣x)2C.y=(x+1)2D.y=(x﹣1)2【变式51】据省统计局公布的数据,合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币,若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是()A.y=2.4(1+2x)B.y=2.4(1﹣x)2C.y=2.4(1+x)2D.y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)【例1】用配方法将下列函数化成y=a(x+h)2+k的形式,并指出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.(1)y=12x2﹣2x+3;(2)y=(1﹣x)(1+2x).【变式11】把下列二次函数化成顶点式,即y=a(x+m)2+k的形式,并写出他们顶点坐标及最大值或最小值.(1)y=﹣2x﹣3+12x2(2)y=﹣2x2﹣5x+7【变式12】用配方法可以解一元二次方程,还可以用它来解决很多问题例如:因为5a2≥0,所以5a2+1≥1,即:当a=0时,5a2+1有最小值1.同样,因为﹣5(a2+1)≤0,所以﹣5(a2+1)+6≤6有最大值1,即当a=1时,﹣5(a2+1)+6有最大值6.(1)当x=时,代数式﹣3(x﹣2)2+4有最(填写大或小)值为.(2)当x=时,代数式﹣x2+4x+4有最(填写大或小)值为.(3)矩形花园的一面靠墙,另外三面的栅栏所围成的总长度是14m,当花园与墙相邻的边长为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:x … 0 1 2 3 4 … y…52125…(1)求该二次函数的表达式; (2)当x =6时,求y 的值;(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象.【变式21】如图,已知二次函数y =−12x 2+bx +c 的图象经过A (2,0)、B (0,﹣6)两点. (1)求这个二次函数的解析式;(2)求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点; (3)在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴. 【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” ③常数项c :总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 【知识点4 二次函数图象的平移变换】 (1)平移步骤:变式21例2①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ①保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【例4】把抛物线y =ax 2+bx +c 的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,所得的图象的解析式是y =(x ﹣3)2+5,则a +b +c = .【变式41】要得到函数y =﹣(x ﹣2)2+3的图象,可以将函数y =﹣(x ﹣3)2的图象( ) A .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 B .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 C .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 D .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 【知识点5 二次函数图象的对称变换】 (1)关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;(2)关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;(3)关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; (4)关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.向上 向下【例1】已知二次函数y =x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1,x 2,x 3对应的函数值分别为y 1,y 2,y 3.当﹣1<x 1<0,1<x 2<2,x 3>3时,y 1,y 2,y 3三者之间的大小关系是( ) A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 3<y 1C .y 3<y 1<y 2D .y 2<y 1<y 3【例2】在二次函数y =﹣x 2+bx +c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:则m 、n 的大小关系为x … ﹣1 1 3 4 … y … ﹣6m n﹣6…A .m <nB .m >nC .m =nD .无法确定0a >0a <【变式21】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=12C.直线x=1D.直线x=32【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】二次函数的图象【例1】抛物线y=(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1,0).下列式子中正确的是()A.x1﹣x2=m B.x2﹣x1=m C.m(x1﹣x2)=n D.m(x1+x2)=n【变式11】抛物线y=x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【例2】二次函数与一元二次方程有着紧密的联系,一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题.请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题:若s,t(s<t)是关于x的方程1+(x﹣m)(x﹣n)=0的两根,且m<n,则m,n,s,t的大小关系是()A.s<m<n<t B.m<s<n<t C.m<s<t<n D.s<m<t<n【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】审:审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系);设:设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确;列:列函数解析式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数;解:按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题;检:检验所得的解,是否符合实际,即是否为所提问题的答案;答:写出答案.【例1】为优化迪荡湖公园的灯光布局,需要在一处岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域,且要求这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?【变式11】爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后,他发现二次三项式也可以配方,从而解决一些问题.例如:x2﹣6x+10=(x2﹣6x+9﹣9)+10=(x﹣3)2﹣9+10=(x﹣3)2+1≥1;因此x2﹣6x+10有最小值是1,只有当x=3时,才能得到这个式子的最小值1.同样﹣3x2﹣6x+5=﹣3(x2+2x+1﹣1)+5=﹣3(x+1)2+8,因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8,只有当x=﹣1时,才能得到这个式子的最小值8.(1)当x=时,代数式﹣2(x﹣3)2+5有最大值为.(2)当x=时,代数式2x2+4x+3有最小值为.(3)矩形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10m),在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板),现有能围成14m长的木板,当AD长为多少时,自行车场地的面积最大?最大面积是多少?【例2】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=9cm.P、Q两点同时从点B、D出发,分别沿BA、DA 方向匀速运动(当P运动到A时,P、Q同时停止运动),已知P点的速度比Q点大1cm/s,设P点的运动时间为x秒,△P AQ的面积为ycm2,(1)经过3秒△P AQ的面积是矩形ABCD面积的1时,求P、Q两点的运动速度分别是多少?3(2)以(1)中求出的结论为条件,写出y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.【变式31】廊桥是我国古老的文化遗产,如图,是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米,抛物线最高点C到水面AB的距离为10米,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,求这两盏灯的水平距离EF.(结果保留根号)。
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ;
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__;
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以,y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象,并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点,函数都有最__大__值,最 _大___值均为__y_=_0_; (6)函数的增减性都相同: 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_, 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》知识小结与复习
解:(1)∵抛物线过点(3,8),(-1,0),(0,5),
8 则 0
9a 3b c, a b c,
解得
a b
1, 4,
5 c.
c 5.
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
(2)顶点M的坐标为(2,9), 对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5,0), 过M作MN⊥AB于N,则
S四边形ABMD =S△AOD+S梯形DONM +S△MNB
教学反思
本课时是对本章知识点的全面总结,教学 时,教师注重引导学生回忆知识点并构建知识 结构框图,同时辅以典型例题,复习和巩固所 学知识点,最后教师详细讲解解题思路和分析 过程.
4.已知抛物线y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标;
解:(1)
y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
1 2
(
x
3)2
7.
开口:向上,
对称轴:x=3,
顶点坐标:(3,-7).
(2)
0
1 2
(x轴的交点:
(3 14,0),(3 14,0).
ab<0;②b2-4ac>0;③9a-3b+c<0;④b-4a=0;
⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0, x2=-4. y 其中正确的结论有( B )
A.①③④ B.②④⑤
-4 -2 O
x
C.①②⑤ D.②③⑤
专题训练四 二次函数与一元二次方程的关系
(黑龙江牡丹江中考)已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a,b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧;
② b=0 <=> 对称轴是y轴;
③ a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习:
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图,说出a,b,
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限,则a,b,c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示,则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 ( 4 ) 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表:
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二次函数k h x a y +-=2)(的图象和性质
一、教材分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质,学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质,只是研究函数的方法都是按照函数解析式----定义域----图象----性质的方法进行的,基于这种情况,我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法,即:利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此,本节课的内容十分重要。
二、教学目标
1、知识与技能
会用描点法画出二次函数)0a ,,()(2
≠+-=,k h a k h x a y 是常数的图象,掌握抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的图象之间的关系,熟练掌握函数k h x a y +-=2)(的有关性质,并能用函数k h x a y +-=2)(的性质解决一些实际问题。
2、过程与方法
经历探究k h x a y +-=2)(的图象及性质的过程,体验k h x a y +-=2
)(与2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法。
3、情感态度价值观
在探究k h x a y +-=2
)(的图像过程中,体会由易到难,循序渐进的学习过程。
通过观察函数的图象,归纳函数的性质等活动,感受学习数学的价值。
三、自主预习
预习教材第35至36页,完成自主预习区。
四、合作探究
活动1 在同一坐标系内,画出二次函数221x y -=,12
12--=x y ,1)1(212-+-=x y 的图象. 处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,交流成果,如图所示,教师投影订正.
思考下列问题:小组合作完成.
(1)指出1)1(212-+-=x y 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性。
(2)1)1(212-+-=x y 可以由221x y -
=怎样平移而得到? (3)归纳:① k h x a y +-=2)(的图象和性质。
(1)0>a ,开口_________,当x =_______时,函数y 有最_____值为____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而______,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而_________.
(2)0<a ,开口_________,当x =_______时,函数y 有最_____值为____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而______,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而_________.
(3)它的对称轴是直线x =h ,顶点坐标为(h , 0).
②由函数2y ax =的图象平移得到函数2
()y a x h k =-+的图象的规律. 活动2 实际应用
例1 教材第36页例4
分析:本题是运用所学的二次函数的有关知识解决实际问题,关键是把实际问题转化为二次函数,那么,建立恰当的直角坐标系尤为重要.
解法一:从问题中的信息可知,可设抛物线的顶点坐标为(1,3),则抛物线经过点(3,0),画出抛物线草图,设出解析式为)30(3)1(2≤≤+--x x a y ,由抛物线经过点(3,0),解得43-=a 即可得到问题的答案。
讨论:直角坐标系还有其他建立的方法吗?若有,求出结果还一样吗?
解法二:让抛物线的最高点在直角坐标系的原点上。
学生独立解决后,与教师和同学共同完善解题过程及方法。
学生小组讨论解决。
四、当堂检测
1、教材第37页练习。
2、提升练习
已知k h x a y +-=2)(是由抛物线22
1x y -
=向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线。
①求出a 、h 、k 的值;
②在同一坐标系中,画出k h x a y +-=2)(与221x y -
=的图象; ③观察k h x a y +-=2)(的图象,当x __________,y 随x 的增大而增大;当x __________,y 随x 的
增大而减小,并求出函数的最值.
④观察k h x a y +-=2
)(的图象,你能说出对于一切x 的值,函数y 的取值范围吗? 五、拓展提升
如图,已知直线l :2+-=x y 与y 轴交于点A ,抛物线k x y +-=2
)1(经过点A ,其顶点为B ,另一
抛物线)1(2)(2>-+-=h h h x y 的顶点为D ,两抛物线相交于点C.
(1)求点B 的坐标,并说明点D 在直线l 上的理由;
(2)设交点C 的横坐标为m ,交点C 的纵坐标可以表示为:________或
________,由此进一步探究m 关于h 的函数关系式。
六、课后作业
一、选择题
1、二次函数n m x a y ++=2
)(的图象如图,则一次函数n mx y +=的图象经过( )
A 、第一、二、三象限
B 、第一、二、四象限
C 、第二、三、四象限
D 、第一、三、四象限
2、已知A (1,y 1),B (5-,y 2),C (2,y 3)在函数3)2(2++=x y 图象上,则321,,y y y 的大小
关系是( )
A 、321y y y >>
B 、231y y y >>
C 、213y y y >>
D 、312y y y >>
3、已知二次函数)0()(2≠++=a m m x a y ,无论m 取何实数值,其图象的顶点都在( )
A 、直线y=x 上
B 、直线y=-x
C 、x 轴上
D 、y 轴上 二、填空题
4、抛物线)0()(2≠++=a k h x a y 的顶点在第四象限,则h ____0, k ____0.
5、已知点A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)在二次函数1)1(2+-=x y 的图象上,若121>>x x ,则2
1_
______y y (填写“>”“<”或“=”) 6、抛物线6)2(22
--=x y 的顶点为C ,已知3+-=kx y 的图象经过点C ,则这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________.
三、解答题
7、把二次函数k h x a y +-=2
)(的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数1)1(2
12-+=x y 的图象. (1)试确定a, h, k 的值;
(2)指出二次函数k h x a y +-=2)(的开口方向,对称轴和顶点坐标.
8、如图,已知抛物线)0)()(2(1>+-=a a x x a
y 与x 轴交于点B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线过点M (-2,-2),求实数a 的值;
(2)在抛物线的对称轴上找一点H ,使CH+EH 的值最小,直接写出点H 的坐标.。