第7章 多采样率信号处理

第七章多采样率信号处理

7.1、信号的抽取

抽取对信号频谱的影响

设x(n)=x(t)|t=nT s，如果希望将抽样频率f s减小M倍，一个最简单的方法是在x(n)中每隔M点抽取一点，依次组成一个新的序列x’(n)，即

x’(m)=x(Mm) m=-∞～+∞ (7.1)

(n)：

为了便于讨论x’(n)和x(n)时域及频域的关系，现定义一个中间序列x

1

(7.2a)

或（7.2b）

式中p(m)是一脉冲串序列，它在M的整数倍处的值为1

样率减少M倍的抽取，（7.1.1）和（7.1.2）式的含意如图7.1.1所示，图中M=3。

显然

（7.3a）

而

（7.3b）

所以

（7.4）

式中X’(e jω)和X(e jω)分别是x’(n)和x(n)的DTFT。可见，X’(e jω)是原信号频谱X(e jω)先作M倍的扩展再在ω轴上每隔2π/M的移位叠加，如图7.1.2(b)和（c）所示，图中M=2。

图7.1.2 抽取后对频域的影响

（a）原模拟信号x(t)的频谱X(jΩ)；

（b）x(n)的频谱X(e jω)，没有发生混叠；

（c）作M=2倍的抽取，X’(e jω)中发生混叠；

由抽样定理，在第一次对x(t)抽样时，若保证f s≥2f c，那么抽样的结果不会产生混叠，如图7.1.2(a)和（b）所示。对x(n)作M倍抽取后得x’(n)，若保证能由x’(n)重建x(t)，

那么，X’(e jω)的一个周期

也应等于X(jΩ)，这要求抽样频率与信号最高频

率之间必须满足f

s ≥2Mf

c

。如果不满足，那么X’(e jω)将发生混叠，如图（c）所示。因为M

是可变的，所以很难要求在不同的M下都保证f

s ≥2Mf

c

。为此，可以在抽取之前先对x(n)

作抗混叠低通滤波，然后再抽取，如图7.1.3(a)所示。

时域上抽取前后信号的关系

令h(n)为一理想低通滤波器，即

（7.5）

如图7.1.3（c）所示。令滤波后的输出为w(n)，则

再令对w(n)抽取后的序列为y(n)，则

（7.6）

该式实际将低通滤波和抽取两个过程统一起来处理，因为不需关心x(n)中的非M整数倍点，所以统一处理时实际省略了对这些点的滤波处理，从而减少了运算量。

(a)对x(n)先作低通滤波再抽取；(b) x(n)的频谱；（c）低通滤波器的频响；

（d）对x(n)滤波后的频谱W(ejω)；（e）对w(n)作抽取后得到的y(m)的频谱。

抽取前后信号频谱的关系

分析表明, 抽取后信号的频谱与原信号频谱间的关系为:

为轴，即在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频谱只是幅度相差M倍。但若以ω

y

则频率轴应扩展M倍，如图7.1.3（e）所示。

推导：

为了讨论y(n)与x(n)频谱之间的关系，我们先从y(n)的Z变换入手，即

因为p(m)可以看成是周期为M的离散序列，可展开为傅立叶级数形式：

所以有

令相对Y(e jω)的圆周频率为ωy，相对X(e jω)的圆周频率为ωx，则

又因为 W(z)=H(z)X(z)

所以（7.7）

且 (7.8) 这样，我们可由（7.7）及（7.8）式得到Y(e jω)和X(e jω)的关系，即

（7.9）

式中，若|ω

y |≤π，则|ω

x

|≤M，这也正是（7.4）式所给出的关系。但在该式中，由于有

H(e jω)的存在，其频谱被限制在|ω

x |≤π/M内，所以，可仅考虑ω

y

的一个周期，故上式可

简化为

（7.10）

7.2、信号的插值

如果将x(n)的抽样频率f s增加L倍，得w(n)，w(n)即是对x(n)

示。插值的方法很多，一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。

回想信号抽取前后的傅立叶变换关系

其中，X(e jω)为原序列的傅立叶变换，X

1

(e jω) 为原序列的非M整数倍处变为零后的傅立叶变换，X´(e jω) 为对原序列降采样率1/M倍后的傅立叶变换。

想象一下，现在的x(n)相当于降采样处理中的x´(n)，如果我们在x(n)每相邻两个点

之间填充L-1个零，相当于降采样处理中的x

1

(n)，L相当于降采样处理中的M。从傅立叶

变换关系看，插零序列x

1(n)的傅立叶变换X

1

(e jω)相当于所要求的内插序列y(n)的傅立叶

变换Y(e jω)（相当于降采样处理中的原序列x(n)的傅立叶变换X(e jω)）的L项周期沿拓，周期为2π/L，如果再加一低通滤波器滤出主值频谱，也就得到了所要求的内插序列y(n)。

插零后的信号及其频谱。

插值前后信号频谱的关系。

时域上插值前后信号的关系。

插零后的信号及其频谱

因此内插方法为，首先在x(n)每相邻两个点之间填充L-1个零，然后再对该序列作低通滤波处理。即令

（7.11）如图7.2.1所示。

（a）原信号（b）插入L-1个0后的w(n),L=2

记x(n)，w(n)的DTFT分别为X(e jω

x )，W(e jω

y

)，由于

ωy=2πf/f sy=2πf/(Lf sy)=ωx/L（7.12）

所以

(7.13)

若令z=e jωy，则W(z)=X(z L)。因为ωx的周期为2π，所以ωy的周期为2π/L。上式说明，插零后信号的频谱W(e jω)在(-π/L~π/L)内等于

X(e jω

),相当于将X(e

jω

x)作了周期压缩。如图7.2.2。

插值前后信号频谱的关系

实际上W(e jω

y

)除在(-π/L~π/L)内等于X(e jω),还有周期延拓部分（即多余的映像部分），

为此，我们在插值后仍需使用低通滤波器以截取W(e jω

y

)的一个周期，去掉多余的映像。为此，令