面面平行的判定定理

（１）平面内有一条直线与 平面平行，，平行吗？
（1）中的平面α，β不一定平行。如图， 借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行 平面BCC’B’ ，但平面 ABCD与平面BCC’B’ 不 平行。
（２）平面内有两条直线与平 面平行，，平行吗？
（2）分两种情况讨论：
Q P
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥平面BCC’B’，但平面 ABCD与平面BCC’B’不平行。
面面平行
方法总结
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。
第三步：利用判定定理得出结论。
课堂练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P,Q, R,分别为 A1A,AB,AD的中点 。 求证：平面PQR∥平面CB1D1.
分析：连结A1B，
PQ∥ A1B
如果平面β内的两条直线是相交的直线，两 个平面是不是一定平行？
如图，AC与BD相交，AC∥平面A’B’ C’D’ ， BD∥平面A’B’C’D’，在平面A’B’ C’D’上可以找 到两个相交直线A’C’和B’D’与AC和BD分别平 行，显然平面ABCD与平面A’B’ C’D’平行。
两条相交直线才是关键
小试：
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面．×
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ （1）平行 （2）相交
//
a
怎样判定平面与平面平行呢？
情景引入：
(1)三角板的一条边所在直线与桌面平行， 这个三角板所在平面与桌面平行吗？ (2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平 行，情况又如何呢？ 当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时, 这个三角板所在平面与桌面平行。
A1B ∥CD1
故PQ∥CD1
P R Q
同理可得，……
小结：
1.证明面面平行的方法 （1）面面平行的定义，（两个平面没有公共点） （2）面面平行的判定定理，（一个平面内两条相交直线与另一 个平面分别平行） （3）面面平行判定定理的推论，（一个平面的两条相交直线与 另一个平面的两条直线平行） 2.面面平行判定定理的应用：要证面面平行，需要证线面 平行，而要证线面平行，一定要证线线平行。 在立体几何中，证明线线平行，有时需要添加辅助线，但 是做题要按照先找后作的原则，找不到两条相交直线的时 候再作，并且辅助线一般通过找三角形的中位线，或者按 平行四边形的平行关系来完成。
变式、正方体ABCD——A1B1 C1D1中，E、F 、 G 分别是棱BC、C1D1 、 B1C1的中点。求证：面 EFG//平面BDD1B1.
D1 F
分析：由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 同理GE ∥平面BDD1B1
G
A1 B1
C1
D E A B
C
∵FG∩GE＝G
故得面EFG//平面BDD1B1 线线平行 线面平行
总结归纳：
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
图形表示：

b
P
a
符号表示：
线面平行
线不在多 重在相交
ａä ，ｂä ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
面面平行
思考:由直线与平面平行的判定定 理，“a∥β,b∥β” ，又可用什么 条件替代？由此可得什么推论？ 推论 如果一个 平面内有两条 相交直线分别 a b 平行于另一个 α 平面内的两条 直线，那么这 β 两个平面平行.
2.2.2
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面 平行的方法呢? （1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行．
a

b
a Ü b a // a // b
Ú源自文库
线线平行
线面平行
例1 、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平 面AB1D1//平面C1BD 证明： ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B， 又D1A Ú 平面C1BD, C1B Ü 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD , 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1, 所以，平面AB1D1∥平面C1BD。