第一节微分中值定理-资料
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
1第一节 微分中值定理
例1. 对 f ( x ) x 2 x 3 [1, 3]上验证罗尔定理,
2
并求出一个 .
证:
f ( x ) x 2 x 3 在 [1,3] 上连续,
f ( x ) 2( x 1), f ( x) 在 (1,3) 上可导,
f (1) 0 f (3),
(1) 在[a, b] 连续; (2) 在(a, b) 可导;
b f (a ) a f (b) ( 3) ( a ) (b) , ba
(a , b), s.t .
( ) 0,
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0. ba
证毕.
另一证法: 作辅助函数
( (a, b))
sin b sin a cos (b a )
| sinb sina || cos || b a |
|ba|.
推论1: x I : f ( x ) 0
f ( x) C .
证: x1、x2 I (不妨设 x1 x2 ),
A
C
y f ( x)
M N
D
B
o a
1 x
2 b
x
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
f (b) f (a ) f ( )( b a ), ( (a , b))
说明: 拉格朗日中值公式精确地表达了函数在
一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的
f ( x)在[ x1 , x2 ]满足拉格朗日中值定理 故 ,
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( ( x1 , x2 )).
第三章微分中值定理资料
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有 一点C(F (), f ()),在 该点处的切线平行于 A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
F (2 )F (b)
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
以上两个都可说明问题.
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
高等数学3.1----微分中值定理
f
f
.
即 f f 0 变形为 x f x f x 0
所以构造函数为 F x x f x 证其满足罗尔定理即可。
注：可推广至
f
nf
,
所以构造的辅助函数为
F x xn f x.
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若结论可变形为 f x g x f x g x 0,
第三章
第一节 微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔定理
1.费马（Fermat）引理
设
在 U x0 内有定义，且
x U x0 , 有
，那么
存在，
证明：设 x U x0 时，
则
x0 xU x0 , 有 f x0 x f x0
x 0时，f x0 x f x0 0
x 0时，
x
0
则 lim x0
f x0 x
x
f x0 0 f x0 0
f x0 0
f x0 f x0 f x0 f x0 0
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注： 1.导数等于零的点称为函数的驻点（稳定点、临界点）
y
C
y f (x)
A
B
o a 1
例8
证明：x 0
时， x 1 x
ln 1 x x.
f
f
b
f a
分析：即证
1
ln1 x ln1
1
ba
1 x
x
显然，区间取 0, x, 函数取 f x ln 1 x
证明：f x ln 1 x在0, x 上满足拉格朗日中值定理
则至少存在一点 0, x, 使
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
微分中值定理
22此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 . 证 若对x0的某邻域内的任何x,恒有f(x)≤f(x0).
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
第一节 微分学中值定理
柯西(Cauchy)中值定理 三、柯西 中值定理
柯西（Cauchy） 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 上连续, 内可导, 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且 不为零， F ' ( x)在(a, b)内每一点 (x 处均 不为零，那末在(a, b)内 至少有一点ξ(a < ξ < b),使等式
几何解释: 几何解释
A( F (a ), f (a ))，B( F (b), f (b))
y
C
X = F( x) Y = f ( x)
AB弦的斜率： 弦的斜率： 弦的斜率
f (b) − f (a ) k= F (b) − F (a )
A
B
D
F(ξ2 )F (b )
o
F (a ) F(ξ1 )
∴ 在( 0,1)内至少存在一点 ξ, 有
f (1) − f (0) f ′(ξ ) = 1− 0 2ξ
即 f ′(ξ ) = 2ξ[ f (1) − f (0)].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 罗尔定理、 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange F( x) = x
π π 又 Q f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π 即C = . 2 π ∴ arcsin x + arccos x = . 2
x 例2 证明当 x > 0时, < ln(1 + x ) < x . 1+ x 证 设 f ( x ) = ln(1 + x ),
微积分 第四章 第一节 中值定理
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一讲微分中值定理
第一讲微分中值定理第一篇：第一讲微分中值定理第一讲微分中值定理教学内容：1.罗尔定理；2.拉格朗日中值定理；3.柯西中值定理.教学目的与要求：1.深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；2.熟练掌握用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明等式或不等式解题方法.【教学重点】拉格朗日中值定理.【教学难点】与中值定理有关的证明.§3.1 微分中值定理一、罗尔定理（Rolle）1.定理：条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连（3）f(a)=f(b).结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0（即方程f'(x)=0在（2）f(x)在开区间(a,b)内可导；(a,b)内至少有一实根）.2、几何意义：在满足条件（1）（2）（3）的曲线弧上，至少有一点在该点处曲线的切线平行于x轴（如下图）3.证明：分析：根据几何图形，预计值f'(x)=0的点可能是f(x)在[a,b]上的最大值或最小值.证：由f(x)在[a,b]上连续⇒存在M，m，使m≤f(x)≤M，∀x∈(a,b).（1）若m=M,则f(x)≡M, 从而f'(x)=0，此时，任取一点ξ∈(a,b)，都有f'(ξ)=0.（2）若M>m, 则M、m至少有一个不等于f(a)和f(b)，不妨设即至少有一点ξ∈(a,b)，M≠f(a)=f(b),则最大值M在[a,b]的内部达到，使M=f(ξ).下面证明f'(ξ)=0.由于M=f(ξ)为最大大值，所以, ∀x∈(a,b)有f(x)-f(ξ)≤0,于是f(x)-f(ξ)保号性≤0，f'(ξ)=f+'(ξ)=limx→ξx-ξ可导+另一方面，f(x)-f(ξ)f'(ξ)=f(ξ)=limx→ξx-ξ可导'--保号性≥0，所以0≤f'(ξ)≤0⇒f'(ξ)=0.综上所述知，当条件成立时，至少有一点ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0.或者说f'(x)=0 在(a,b)内至少有一个实数根.例1 设a0aaa+1+2+⋅⋅⋅+n-1+an=0，试证明方程n+1nn-12a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an=0在0与1之间至少有一个实数根.证（关键是构造一个函数f(x)，确定闭区间，使之满足罗尔定理的条件，且所作的函数f(x)应该使f'(x)=a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an.作函数f(x)=a0n+1a1nax+x+⋅⋅⋅+n-1x2+anx，取闭区间为[0,1]，显然，n+1n2f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，又f(0)=0=f(1)=a0a+1+⋅⋅⋅+an，n+1n于是，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=0.即a0ξn+a1ξn-1+⋅⋅⋅+an=0.即方程a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an=0在(0,1)内至少有一个实数根.二、格朗日中值定理1、定理：条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)在开区间(a,b)内可导.结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=⋂f(b)-f(a).b-a2、几何意义：在满足（1）、（2）的曲线段AB 上，至少有一点处的切线平行于弦AB.3、证明：方法1：作函数ϕ(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)(x-a)（曲线与弦的b-a纵坐标之差），在[a,b]用罗尔定理即可证得结论.方法2：分析：证明的关键是寻找一个满足罗尔定理条件的函数，寻找的方法是将结论式变形为f(b)-f(a)-(b-a)f'(ξ)=0，令F'(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(x)，由此可得F(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x).证：作函数F(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x).显然F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，又F(b)-F(a)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(b)-[(f(b)-f(a))a-(b-a)f(a)]=(f(b)-f(a))(b-a)-(b-a)(f(b)-f(a))=0，即F(b)-F(a)=0.所以由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=C.即f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ)=f(ξ)，或'f(b)-f(a).b-a注：当b<a时，公式也成立.4、拉格朗日结论式的另外几种形式（1）f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)，0<θ<1.（这是因为a<ξ<b⇒0<ξ-a<b-a⇒0<ξ-ab-a<1，令θ=ξ-ab-a即可.）（2）f(x+∆x)-f(x)=f'(ξ)∆x(=f'(x+θ∆x)∆x)，ξ∈(x,x+∆x)（取b=x+∆x,a=x即可）（3）∆y=f'(x+θ∆x)∆x，0<θ<1.注：（3）式是∆y的精确表达式，而dy=f'(x)∆x只是∆y的近似表达式.故拉格朗日中值定理也称为有限增量定理或微分中值定理.5、有关定理定理若∀x∈(a,b)，有f'(x)=0，则f(x)≡C.反之也真（显然）.即f'(x)≡0⇔f(x)≡C.证：取一定点x0∈(a,b)，∀x∈(a,b)，只须证明f(x)=f(x0)即可.因为f(x)在(a,b)内可导，所以f(x)在以x0和x为端点的闭区间上连续，开区间内可导，从而由拉格朗日中值定理知，存在ξ在x0与x之间，使f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)=0，即f(x)=f(x0).再由x0的固定性和x的任意性知，∀x∈(a,b)，均有f(x)=f(x0)，f(x)≡f(x0)（常数）.推论若∀x∈(a,b)，有f'(x)=g'(x)，则f(x)=g(x)+C（作F(x)=f(x)-g(x)，用上面的定理即可得证）.例2 验证f(x)=x在[0,1]上拉格朗日中值定理的正确性.解显然f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故至少存在一点22ξ∈(0,1)，使f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)，下面求出具体的ξ，由f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)1⇒1-0=2ξ⇒ξ=∈(0,1)，2即确实存在ξ∈(0,1)，使f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)成立.三、柯西中值定理定理：条件：1.f(x),F(x)在闭区间[a,b]上连续，2.在开区间(a,b)内可导，且F'(x)≠0；f(b)-f(a)f'(ξ)结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使成立.=F(b)-F(a)F'(ξ)几何意义和证明过程详见教材P70.四、三个定理之间的关系因为在柯西中值定理中，取F(x)=x即变为拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中，加条件f(b)=f(a)即可得罗尔定理，故它们之间的关系是罗尔定理←−−−−特例f(a)=f(b)推广−−−→拉格朗日中值定理←−−−−特例F(x)=x−−−→推广柯西中值定理小结1.罗尔定理；2.拉格朗日中值定理；3.柯西中值定理.4.三个定理之间的关系作业练习： p71习题 3.1: 1，2；作业: p71 习题 3.1: 6，7，9；p97—99 第3章(自测题)1(1)，(2)，(3)，(4)，2(1)，(2)，5.预习：第三章§3.2 p71—74,第二篇：微分中值定理的证明题微分中值定理的证明题1.若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)=f(b)=0，证明：∀λ∈R，∃ξ∈(a,b)使得：f'(ξ)+λf(ξ)=0。
微分中值定理
∴ f ( x ) − f ( 0) = f ′( ξ )( x − 0), ( 0 < ξ < x ) 1 x ′( x ) = Q f ( 0 ) = 0, f , 由上式得 ln(1 + x ) = , 1+ x 1+ ξ 1 1 又Q0 < ξ < x < < 1, 1< 1+ ξ < 1+ x 1+ x 1+ ξ x x x ∴ < < x, 即 < ln(1 + x ) < x . 1+ x 1+ ξ 1+ x
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
格 日 Lagrange） 值 理 如 函 中 定 数f(x)在 拉 朗 （ Lagrange） 果 数 在 区 [ 导, 闭 间 a, b]上 续 在 区 (a, b) 内 导 那 在 连 , 开 间 可 , 末
(a, b)内 少 一 ξ(a < ξ < b)， 等 至 有 点 使 式
二 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 微分中值定理的核心是拉格朗日 中值定理，费马定理是它的预备定理， 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理——费马（Fermat）定理 费马（ 预备定理 费马 ）
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′(ξ ) = 0.
f (b ) − f (a ) 即 f ′( ξ ) − =0 b−a
第三章第一节微分中值定理
§3.1 微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理定理3.1(罗尔定理) 如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.图罗尔定理的几何意义是：函数()y f x =的曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行x 轴.证明：()y f x = 在[,]a b 上连续 ()f x ∴在[,]a b 上有最大值M 和最小值m(1)若M m =，则()()f x M m =为常数 ()0f x '∴=.(,)a b ξ∴∀∈，都有()0f ξ'=(2)若M m >，则M 和m 中至少有一个不等于()f a .设()M f a ≠，()M f ξ=，其中(,)a b ξ∈ M 是()f x 最大值，[,]x a b ξ∴∀+∆∈有()()f x f ξξ+∆≤， 即()()0f x f ξξ+∆-≤()()0f f ξξ+-''∴==，即()0f ξ'=.证毕0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆ . 0()()()lim 0x f x f f xξξξ--∆→+∆-'=≥∆. ()f x 在(,)a b 可导，则在点ξ处可导 ()()()f f f ξξξ+-'''∴==例1 函数3()3f x x x =-在[3,3]-上满足罗尔定理条件，求符合罗尔定理结论的ξ. 解：2()33f x x '=-令()0f x '=，即2330x -=解得1x =或1x =- 而1、1-(3,3)∈- 取1(3,3)ξ=±∈-即为所求.二、拉格朗日(Lagrange)定理定理3.2(拉格朗日定理)如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 或()()()()f b f a f b a ξ'-=- 图拉格朗日定理的几何意义是：f x上至少存在一点，使得过曲线()A a f a，该点的切线平行于连结(,())B b f b两点的弦.(,())证明：设置辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，[,]x a b ∈ 显然()F x 满足罗尔定理的前两个条件()()()()()()f b f a bf a af b F a f a a b a b a--=-=--. ()()()()()()f b f a bf a af b F b f b b b a b a--=-=--.又()()()()f b f a F x f x b a-''=-- 所以()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=- 所以()()()f b f a f b aξ-'=-. 定理证毕 所以()()F a F b = 由罗尔定理知 在(,)a b 内至少存在一点ξ使得()0F ξ'=例2 函数3()f x x =在[0,3]上满足拉格朗日定理条件，求符合拉格朗日定理结论的ξ.解：2()3f x x '=，从而2()3f ξξ'= 由拉格朗日定理 2(3)(0)330f f ξ-=- 即33230330ξ-=-，解得3ξ=-或3ξ= 因为3(0,3)∈，所以3ξ=即为所求.三、相关结论在拉格朗日定理中，若令()()f a f b =，则结论变为()0f ξ'=.可见罗尔定理是拉格朗日定理特例.推论1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点的导数都等于零，则函数()f x 在(,)a b 内为一常数.推论2 若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内的每一点的导数()f x '和()g x '都相等，则这两个函数在区间(,)a b 内最多只能差一个常数.。
第一节微分学中值定理-文档资料43页
数；二元及二元以上的函数称为多元函数．
例3 求二元函数 z = 1x2 y2 的定义域． 解 由根式函数的要求容易知道 x，y 必须满足不等式 x2 y2 1, 所以定义域为 D {x ,(y)|x2y2 1 }.
例3 设 zsix n 2 (y2),求 z,z. xy
解 z[coxs2 (y2)]2x2xcoxs2(y2), x z[coxs2 (y2)](2y)2ycoxs2(y2). y
例4 设 u x 2 y 2 z 2 ,求 u x 2 u y 2 u z 2 .
D 内的每一点都连续，则称 f(x, y)在区域 D上连续．
设自变量 x, y 各取得增量 x,y , 函数 z = f(x, y)取得增量
z f x 0 x ， y 0 y ) f x 0 ， y 0 ) ,
称 z 为函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0,y0) 处的全增量． 设函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0,y0) 的某一邻域内有定义，则函
x
存在，则称此极限值为函数 z = f (x,y)在点 P0(x0,y0) 处对 x 的
偏导数，记作
) x zx0 ， y0),或 fxx0 ， y0)， 或 fx x0 ， y0．
类似地，函数 z = f (x,y)在点 P0(x0,y0) 处对 y 的偏导数定义
为 lim fx0,y0 y)-fx0,y0),
是一元函数；(2)求二元函数的偏导数，不需引进新的方法，只需
利用一元函数的求导公式和求导法则．
例1 设 f ( x , y ) x 2 y 2 x y 3 ,求 f x ( 1 , 1 ) f y ( , 1 , 1 ). 解 把 y 看作常量，对 x 求导，得
理学微分中值定理与导数的应用
lim
x2 6x 4 2
注意: 如果
lim
f ( x)仍为 0
型未定式,且f(x),g(x)满足
x x0 g( x)
0
定理条件，则可继续使用洛必达法则.
返回 上页 下页
例2
求 lim x0
sin 2
x
x sin x4
x
cos
x
.
解
sin2 x x sin x cosx
lim
x0
x4
lim
x0
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导，
对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,
f(x)-f(0)=f′( x)x,
即
x
ln(1+x)= 1 x
由于
x 1 x
＜
x
1
＜x,lt;<1 ),
(0< <1)．
x
1 x ＜ln(1+x)＜x．
返回 上页 下页
x 0
x
x 0
x
返回 上页 下页
因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 总有
f( + x)-f()≤0．
当x＞0时, 当x<0时,
f ( x) f ( ) 0
x
f ( x) f ( ) 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
x 0
x
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
(3) lim f ( x) 存在(或为∞) x g( x)
lim f ( x) lim f ( x) x g( x) x g( x)
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结 论将不一定成立.
【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
第一节微分中值定理
f ( x 0 ) 0.
x x0
x x0
0
x
高等数学
二、罗尔中值定理
罗尔定理 若函数 f ( x ) 满足 : (1)在闭区间 [ a , b ] 上连续 ;
在开区间 ( a , b ) 内可导 ; (2)
y
f (a ) f (b)
y f ( x)
A
B
(3) f ( a ) f ( b ),
例2. 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
的正实根 .
高等数学
1
证: (1)存在性
设 f ( x ) x 5 x 1,
5
则 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ]连续 ,
且 f ( 0 ) 1 , f (1 ) 3 .
由零点定理
x 0 ( 0 ,1 ),
高等数学
( x a)
x
B
y f ( x)
说明: 1.辅助函数 F ( x ) 的几何解释
2. 这样的辅助函数可有无穷多个
ba
O
A
a 1
y
f (b) f (a ) ba
x
f (a ) 欲证 ) f xa , )f, ( bs).t . f ( a ) x Cf ( b )C为任意常数 ( b F (x ( ) f ( )
高等数学 例1. 验证函数
f ( x ) x 2 x 3 在区间 [ 1 , 3 ]
2
上满足罗尔定理条件
, 并求出一个
.
解: (1) 验证定理的假设条件满足
因为 f ( x ) 在 [ 1 , 3 ] 上连续 ,
又因为
第一节 微分中值定理
y 1 x
2
x 1,1
2）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Fermat 定理
Rolle 定理
f (a ) f (b) Lagrange 中值定理
F ( x) x
Cauchy 中值定理
中值定理的应用
(1) 常用于其他定理的证明； (2) 用于证明恒等式、不等式、方程的根的 应逐步熟悉 中存在性、中值的存在性，
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
推论1
如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零, 那么 f ( x )在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果函数 f ( x ) 与 g( x ) 在区间 I 上恒有
f ( x ) g( x ),
在区间 I 上 f ( x ) g( x ) C (C 为常数).
f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0.
y O
x0
x
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 在 闭区间 [a , b] 上连 续， 在开区间 (a , b ) 内可导， 且在区间端点的函数值 相等， f (a ) f (b), 则在 (a , b ) 内至少有一点 即
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数 f ( x ) 在闭区 间 [a , b] 上连续, 在开区间 (a , b ) 内可导, 则在 (a , b ) 内至少有一点 (a b), 使得
f (b) f (a ) f ( )(b a )
注: 拉格朗日公式 精确地表达了函数在一个区间上 的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.
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设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
f ( x ) f ( ), f( x ) f( ) 0 ,
26.11.2020
8
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
若x0,
则f有 ( x)f()0; x
f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ;
f (
2
g(
) )
f (0) g(0)
1
1
2
2
f(x) cosx g(x) 1sinx
由柯西中值 1定 1理 1 cso得 isn
2
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20
解方ta程 n2x4
解x得 2n2arc4 t an
当 n 0 时 x 0 ， 2 arc 4 t a2 a nr1 ct 2an
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3
二 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理——费马（Fermat）定理
若 函f数 (x)在(a,b)内 一x0取 点得 最 值 且f(x)在x点 0可 微 ， f(x则 0)0.
2）唯一性
设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0. f(x)在x0,x1之间满足罗 条尔 ,件定理的
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个得 f()0.
但 f(x)5x410(x(0,1))矛盾, 为唯一实根.
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11
将罗尔定理条件f(中 a)去f(b掉 ),得到
所f以 (x0)0
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6
2 罗尔(Rolle)定理(Rolle’s Theorem)
罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]
上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数
值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点
(ab),使得函数f(x)在 y 该点的导数等于零，
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1x 1 1 1,
1x 1
x x x, 1x 1
即x ln1 (x)x. 1x
26.11.2020
16
4 柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x) 及F(x)
在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且F'(x)
5
证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 就f有 (x0x)f(x0),即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 , 从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ;
x f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; 这 f(x 0 样 0 x) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f()存,在
f ( )f ( ). 只f有 ()0 .
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9
注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立.
Y
例如, yx,x[1,1];
注2:若罗尔定理的条件仅
-1
是充分条件，不是必要的.
0 1X
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15
例2 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x () x . 1 x
证 设 f(x )ln 1x (),
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
f(0)0,f(x) 1 ,由上式得 1x
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
(x)满足罗尔定理的条, 件
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
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第一节微分中值定理-资 料
第一节 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
一 问题的提出 二 微分中值定理
1 费马（Fermat）定理 2 罗尔(Rolle)定理
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 4 柯西(Cauchy)中值定理
三 小结与思考判断题
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2
f(b)f(a)f(). ba
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例4 对 函 f(x数 )sixn 及g(x)xcox在 s 区 [0,]间 上
2 验 证 柯 西 中 确 性 值。 定 理 的 正
解： f(x),g(x)在[0,]上连续、, f可 (x)导 cosx,
2 g(x)1sinx0满足柯西中值件 定, 理的条
例如,
x2 -1x1
f(x)
0 x1
f(0)0
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例1 证明方x程 5 x10有且仅有一个. 正实
证：1）存在性
设 f(x)x5x1, 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f(1 )1 . 由零点定理
x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的正实根.
定理
中值定理
中值定理
2）利用中值定理证明等式与不等式.
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思考题
1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个， 结论就可能不成立.
2 若f(x),g(x)满足柯西中值定理件的 , 条
柯西中值定 得证 理： 可如下
fg((b b)) gf((aa))应l用 agr定 an理 g fg((e))b (b ( a a))g f(())
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab)，使等式
f(b)f(a)f'()(ba) 成立.
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
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费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。
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y 几何解释:
曲线在最高点和最低点
显然有水平切线，其斜
率为 0，当切线沿曲线连 续滑动时，就必然经过
o a 1
位于水平位置的那一点 .
yf(x)
a b 2 b x
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在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少
有一点(a b),使等式
f (a) F(a)
f (b) F(b)
f' F'
() ()
成立.
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几何解释:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
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拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 写 x ) x ( 0 成 1 ). 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论1 如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒 那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
x0 (0, 2)则 , 有 x0 (0, 2)使 ,
f ( )
2
g( )
f (0) g(0)
f ( ) g( )
2
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三 小结与思考判断题
1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定
理之间的关系；
Fermat
定理
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
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y
几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
化
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦AB.
o a 1 x
D
2 b
归 证 x明
证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b). 法
弦AB方程为 yf(a)f(b )f(a)(xa).
ba 曲线 f(x)减去A弦 ,B
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
证 明 I上 ： 任 在 x 取 1,x2(x1 两 x2)点 ,
则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) ( x 1 x 2 )
f () 0 , f ( x 2 ) f ( x 1 ) 0 即 f(x2)f(x1)
由x于 1,x2的任意性 f(x)在 ， I上 所 是 以 . 常数
一 问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。