空间向量与空间距离

空间向量与空间距离

1.了解点到直线、平面距离的概念．

2.会用空间向量

求点到直线、平面距离．

空间距离的向量求法

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B

→的长度．()

所成向量AB

(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()

(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条

直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A.534 B.532 C.532 D.132

答案：C

3．已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( )

A ．5

B ．14 C.145 D.45 答案：C

4．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________．

答案：5

探究点一 点到直线的距离

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB

＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．

[解] 因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)，

所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1，2，－3)．

又BC

→＝(0，2，0)， 所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|＝414. 所以点B 到直线A ′C 的距离

d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′

C →|A ′C →|2＝ 4－1614

＝2357.

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量；

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；

(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

1.已知正方体ABCD -A

1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．

解：以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2，0，0)，E (0，

2，1)，F (1，0，2)，则EF →＝(1，－2，1)，F A →＝(1，0，－2)．

|EF →|＝12＋（－2）2＋12＝6，

F A →·EF

→＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， F A →在EF →上的射影长为|F A →·EF →||EF

→|＝16. 所以点A 到EF 的距离d ＝

|F A |2

－⎝ ⎛⎭⎪⎫162 ＝

296＝1746.

探究点二 点到平面的距离

四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面

ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．

(1)求证：DE ∥平面PFB ；

(2)求点E 到平面PFB 的距离．

[解] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P (0，0，2)，F (1，0，0)，B (2，2，0)，E (0，1，1)． FP

→＝(－1，0，2)，FB →＝(1，2，0)，DE →＝(0，1，1)， 所以DE →＝12FP →＋12FB →，

又因为DE ⊄平面PFB ，

所以DE ∥平面PFB .

(2)因为DE ∥平面PFB ，

所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎨⎧n ·FB →＝0n ·

FP →＝0⇒⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，

所以n ＝(2，－1，1)．

又因为FD

→＝(－1，0，0)， 所以点D 到平面PFB 的距离

d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63. 所以点E 到平面PFB 的距离为63.

用向量法求点面距的方法与步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．

(3)求向量：求出相关向量的坐标．

(4)利用公式即可求得点到平面的距离.

2.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面

ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．

(1)求点D 到平面PEF 的距离；

(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，P (0，

0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，0，

F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则

DH

→＝xDE →＋yDF →＋zDP →