第6章时变电磁场共61页
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数学物理方程与特殊函数
第7页/共20页
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量：
温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S n
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
热场
横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
其中： cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
第3页/共20页
T T'
其中： m ds
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方 程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
第17页/共20页
思考判断下列方程的类型
2u 2t
a2
2u 2x
x
2u x2
a2
u t
xu
2u x2
a2
2u t 2
u1u源自122u2
0
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
第13页/共20页
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
第六章 时变电磁场0
C
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d in B dS 于是（6-1）可以写成 （6-2） dt S 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成 的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结 果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感 应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场 不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化 而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在 电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功 C Ein dl 为 in 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有
对安培环路定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导 电流外，还有位移电流；
位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激 发起磁场； 推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场 会激发磁场；
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法 引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波 的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在， 从而反过来证明了位移电流理论的正确性。
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
E D H B 0 t t t t
的改变，即
in
（6-1） 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， 如图6-1所示。 n
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d in B dS 于是（6-1）可以写成 （6-2） dt S 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成 的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结 果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感 应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场 不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化 而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在 电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功 C Ein dl 为 in 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有
对安培环路定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导 电流外，还有位移电流；
位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激 发起磁场； 推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场 会激发磁场；
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法 引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波 的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在， 从而反过来证明了位移电流理论的正确性。
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
E D H B 0 t t t t
的改变，即
in
（6-1） 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， 如图6-1所示。 n
电磁场与电磁波课件第六章时变电磁场
利用散射技术可以对地球表面、气象云层等进行遥感探测，获取 相关信息。
环境监测
通过测量大气中污染物的吸收特性，可以监测空气质量、污染物 排放等环境问题。
医学成像
核磁共振、超声成像等医学成像技术中，利用物质的散射和吸收 特性，实现对人体内部结构的无损检测。
06
时变电磁场的测量与观 测
测量与观测的基本方法
01
描述时变电磁场的运动规律，包括变化的电场和磁 场之间的关系。
02
包括安培定律、法拉第定律和奥斯特定律等基本物 理规律。
03
麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，为电磁 波的传播和辐射奠定了基础。
波动方程与时变电磁场
01
时变电磁场遵循波动方程，描述了电场和磁场随时间
和空间的变化规律。
02
波动方程的解为电磁波，具有振幅、相位、频率和波
描述
时变电磁场可以用麦克斯韦方程组来 描述，其中电场和磁场是相互耦合的， 并且它们的源是电荷和电流。
时变电磁场的重要性
应用广泛
时变电磁场在许多领域都有重要的应 用，如无线通信、雷达、电磁成像、 电磁感应加热等。
基础研究
时变电磁场也是电磁学和物理学领域 的基础研究内容之一，对于深入理解 电磁波传播、辐射和散射等现象具有 重要意义。
时变电磁场的历史与发展
历史回顾
时变电磁场的概念可以追溯到19世纪末麦克斯韦的理论研究 。随着科学技术的发展，时变电磁场的研究不断深入和应用 范围不断扩大。
发展趋势
目前，时变电磁场的研究正朝着更高频率、更短脉冲、更复 杂环境等方向发展，为未来的科技应用提供了更多可能性。
03
时变电磁场的特性
麦克斯韦方程组
电磁波与物质的相互作用
环境监测
通过测量大气中污染物的吸收特性，可以监测空气质量、污染物 排放等环境问题。
医学成像
核磁共振、超声成像等医学成像技术中，利用物质的散射和吸收 特性，实现对人体内部结构的无损检测。
06
时变电磁场的测量与观 测
测量与观测的基本方法
01
描述时变电磁场的运动规律，包括变化的电场和磁 场之间的关系。
02
包括安培定律、法拉第定律和奥斯特定律等基本物 理规律。
03
麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，为电磁 波的传播和辐射奠定了基础。
波动方程与时变电磁场
01
时变电磁场遵循波动方程，描述了电场和磁场随时间
和空间的变化规律。
02
波动方程的解为电磁波，具有振幅、相位、频率和波
描述
时变电磁场可以用麦克斯韦方程组来 描述，其中电场和磁场是相互耦合的， 并且它们的源是电荷和电流。
时变电磁场的重要性
应用广泛
时变电磁场在许多领域都有重要的应 用，如无线通信、雷达、电磁成像、 电磁感应加热等。
基础研究
时变电磁场也是电磁学和物理学领域 的基础研究内容之一，对于深入理解 电磁波传播、辐射和散射等现象具有 重要意义。
时变电磁场的历史与发展
历史回顾
时变电磁场的概念可以追溯到19世纪末麦克斯韦的理论研究 。随着科学技术的发展，时变电磁场的研究不断深入和应用 范围不断扩大。
发展趋势
目前，时变电磁场的研究正朝着更高频率、更短脉冲、更复 杂环境等方向发展，为未来的科技应用提供了更多可能性。
03
时变电磁场的特性
麦克斯韦方程组
电磁波与物质的相互作用
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场理论-04 时变电磁场
2
例: 计算铜中的位移电流密度和传导电流之比
值。设电场为 E0 sin2ft,铜的电导率为 5.8 107 s/m, 0
J 传导 E E0 sin 2 ft 解： D E Jd 2 fE0 cos 2 ft t t Jd 2 f 2 f 0 19 9.6 10 f J 传导
√ ？ √
L
H dl J 传导 ds I
S1
L
H dl J 传导 ds 0
S2
×
S2
L
H dl
S2
J
传导
J d ds J d ds I
证明： H dl J d ds I
B r , t ds 0 D r , t ds
S S
磁通连续性定律
自由 r , t dv
V
高斯定律
注：若场矢量不随时间变化，就是静态场方程
二、麦克斯韦方程的微分形式： D r , t H r , t J 传导 r , t t B r , t E r ,t t B r ,t 0
E in
E in
I
L
四、法拉第电磁感应定律
d d B L Ein dl in dt dt S B ds S t ds B L Ein dl S t ds
2、微分形式 1、积分形式
B S Ein ds L Ein dl S t ds B Ein t
• 结构方程
D E
• 意义：全面体现了电场（包括库仑电场和旋涡 电场）与它的源（电荷、变化磁场）的关系。
例: 计算铜中的位移电流密度和传导电流之比
值。设电场为 E0 sin2ft,铜的电导率为 5.8 107 s/m, 0
J 传导 E E0 sin 2 ft 解： D E Jd 2 fE0 cos 2 ft t t Jd 2 f 2 f 0 19 9.6 10 f J 传导
√ ？ √
L
H dl J 传导 ds I
S1
L
H dl J 传导 ds 0
S2
×
S2
L
H dl
S2
J
传导
J d ds J d ds I
证明： H dl J d ds I
B r , t ds 0 D r , t ds
S S
磁通连续性定律
自由 r , t dv
V
高斯定律
注：若场矢量不随时间变化，就是静态场方程
二、麦克斯韦方程的微分形式： D r , t H r , t J 传导 r , t t B r , t E r ,t t B r ,t 0
E in
E in
I
L
四、法拉第电磁感应定律
d d B L Ein dl in dt dt S B ds S t ds B L Ein dl S t ds
2、微分形式 1、积分形式
B S Ein ds L Ein dl S t ds B Ein t
• 结构方程
D E
• 意义：全面体现了电场（包括库仑电场和旋涡 电场）与它的源（电荷、变化磁场）的关系。
《电磁场与电磁波教程》教学课件—时变电磁场
其方向表示能量的流动方向；
其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位
面积的能量。
H E E
t
(H) 0
E H
t
( E) 0
第五章 时变电磁场
(E H) H E E H
(E
H
)
t
H
2
2
t
E2 2
E2
将上式两边对区域V求积分，得
体积V中单位时间内减 少的储能
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与 磁场相互依存，构成统一的电磁场。
第五章 时变电磁场
电磁感应定律
全电流定律
Maxwell方程组
分界面上边界条件
动态位A ,
达朗贝尔方程
正弦电磁场
坡印亭定理与坡印亭矢量
电磁幅射( 应用 )
第五章 时变电磁场
计算导线损耗的量
例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如 图所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密 度S和功率P。
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，
得
Er
U r ln
b
er
H
I
2 r
e
a
S
§5.1 时变电磁场的波动性
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零， 即J=0、 0
在线性、各向同性的均匀媒质中，E和H满足的麦 克斯韦方程为
E = - H
t
H = E
t
E =0
H =0
第五章 时变电磁场
( E) = - ( H )
第五章---时变电磁场.讲义
势为
d d i dt dt i 1
N
如果定义非保守感应场 Eind沿闭合路径l的积分为l 中的感应电动势，那么式(5 - 1)可改写为
2018/11/14
d l Eind dl dt
(5 - 3)
10
5.1 法拉第电磁感应定律
如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场
2018/11/14 1
第五章 时变电磁场
2018/11/14
时变场知识结构图
2
2018/11/14
3
导入
静电场与恒定磁场的源分别是静止电荷和 恒定电流，它们是相互独立的。
2018/11/14
4
导入
恒定电磁场与时变电磁场场的比较
1.
恒定场的特点
① 涉及的所有物理量仅是空间坐标的函数
E ( x, y, z)
安培环路定律 取S1面有 取S2面有
真空电容器中通过的时变电流是什么？
l
H dl
S1
J dS = i
S2
l
H dl
J dS = 0
23 图 交变电路用安培环路定律
2018/11/14 线积分结果不同！
5.2 位 移 电 流
麦克斯韦认为
电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑 的，而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正。
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为
上式对任意面积均成立，所以
2018/11/14
B E t
12
5.1 法拉第电磁感应定律
法拉第说明了“动磁生电”的现象，但并没有 说明出现感应电动势的真正原因，以及当时变磁场 附近不存在导体回路时会发生什么情况。麦克斯韦 在对电磁感应现象进行深入分析后认识到： 导体中的电流必然由电场引起。 这种由磁场变化激励或者说感应出来 的电场被称为感应电场，其在导体回路 上的环量就是回路上的感应电动势 。不 ε 论有无导体回路，时变磁场都会激励起感应电场。 因此，电磁感应现象的实质是：时变磁场在周 围空间激励起感应电场，若该电场中有导体，就会 在导体上引起感应电流。
d d i dt dt i 1
N
如果定义非保守感应场 Eind沿闭合路径l的积分为l 中的感应电动势，那么式(5 - 1)可改写为
2018/11/14
d l Eind dl dt
(5 - 3)
10
5.1 法拉第电磁感应定律
如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场
2018/11/14 1
第五章 时变电磁场
2018/11/14
时变场知识结构图
2
2018/11/14
3
导入
静电场与恒定磁场的源分别是静止电荷和 恒定电流，它们是相互独立的。
2018/11/14
4
导入
恒定电磁场与时变电磁场场的比较
1.
恒定场的特点
① 涉及的所有物理量仅是空间坐标的函数
E ( x, y, z)
安培环路定律 取S1面有 取S2面有
真空电容器中通过的时变电流是什么？
l
H dl
S1
J dS = i
S2
l
H dl
J dS = 0
23 图 交变电路用安培环路定律
2018/11/14 线积分结果不同！
5.2 位 移 电 流
麦克斯韦认为
电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑 的，而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正。
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为
上式对任意面积均成立，所以
2018/11/14
B E t
12
5.1 法拉第电磁感应定律
法拉第说明了“动磁生电”的现象，但并没有 说明出现感应电动势的真正原因，以及当时变磁场 附近不存在导体回路时会发生什么情况。麦克斯韦 在对电磁感应现象进行深入分析后认识到： 导体中的电流必然由电场引起。 这种由磁场变化激励或者说感应出来 的电场被称为感应电场，其在导体回路 上的环量就是回路上的感应电动势 。不 ε 论有无导体回路，时变磁场都会激励起感应电场。 因此，电磁感应现象的实质是：时变磁场在周 围空间激励起感应电场，若该电场中有导体，就会 在导体上引起感应电流。
第4章-时变电磁场PPT课件
设f+的波形当变量 位置为z=zmax
t
z v
0
时为最大值。令波形最大值的
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
A (A ) A
即
A t ( t) t(A ) A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 原因：未规定 A的就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 A的散度使位函数满足的方程得以简 化。
电磁能量问题有关概念
电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度w来 描述，它表示单位体积中电磁场的能量，通常是坐标与时间的
函数，即 wwr,t
电磁场的能量流密度：电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁 场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表 示。S是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
P S S 外 a ( e ) d S 0 1 2 π I 2 a 2 32 π a d z π a I2 2 R I2
式中
R
1 πa 2
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
《时变电磁场》PPT课件
22
例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E(z,t) E1(z,t) E2 (z,t)
式中
E1(z, t) ex 0.03sin(108 t kz)
E2
(z,t)
ex
0.04
cos(108 t
kz
/
3)
试求：（1）电场的复矢量;。
解：（1）因为
E(z, t) ex 0.03sin(108 t kz) ex 0.04 cos(108 t kz / 3)
2021/3/7
南师大泰州学院 信科系 丁沭沂
2 E k 2 E 0
2
H
k2H
0
(k )
2 2
E H
kc2 E 0 kc2 H 0
(kc c )
电磁场理论及其应用
第4章 时变电磁场
24
4.5.5 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表
示成复数形式。
均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变 的平面波
2021/3/7
南师大泰州学院 信科系 丁沭沂
电磁场理论及其应用
第4章 时变电磁场
5
平面波是一种最简单、最基本的电磁波，它具有电
磁波的普遍性质和规律，实际存在的电磁波均可以
分解成许多平面波，因此，平面波是研究电磁波的
基础，有着十分重要的理论价值；
电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。
时谐场中二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式， 不能将复数形式的场量直接代入。
设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
E(r ,t) E0 cos[t (r )] H (r ,t) H0 cos[t (r )]
06第六章_时变电磁场(定稿9学时)
l
路径的线积分出现了两种不同结果。这就说明，静态场中 的安培环路定律用于时变场时要产生矛盾。麦克斯韦首先 发现并从理论上解决了这一矛盾。他假定在电容器两极板 间传导电流中断处存在另一种电流，称之为“位移电流”，
由一个极板流向另一个极板的位移电流的数值 i d 等于导
线中的传导电流 ic ，而且位移电流与传导电流有相同的 磁效应，即以相同的方式激发磁场。
（6.2.6）
13 23 33
11 12 例如：地磁场作用下的电离层，其介电常数为张量： 21 22 31 32 D E
恒定磁场作用下的铁氧体材料，其磁导率为张量：
B H
11 21 31
S
（6.1.4）
以及反映媒质特性的组成关系：
D 0 E P B M H 0 J E
或：B 0 H M
（6.1.5）
此外，还有表示电荷守恒的电流连续性方程：
d s J ds dt v d , J t
l
（6.1.6）
如前所述，式（6.1.3）是静电场方程 E dl 0 在
时变条件下的推广。同时，在第四章中也将式（6.1.2）
推广用于时变场。为了考察式（6.1.4）是否适用于时变 场，我们来研究电容器在充放电过程中电流与磁场的关 系。
如图示，设电容器中的介质是理想的，因而电容器极 板间不可能有传导电流或运流电流。但当开关接通瞬间， 导线中必然有电流向电容器充电并在空间建立磁场。应用 安培环路定律，若选取由闭合路径 所限定的曲面 S1 与 导线相交，则有：
12 22 32
13 23 33
路径的线积分出现了两种不同结果。这就说明，静态场中 的安培环路定律用于时变场时要产生矛盾。麦克斯韦首先 发现并从理论上解决了这一矛盾。他假定在电容器两极板 间传导电流中断处存在另一种电流，称之为“位移电流”，
由一个极板流向另一个极板的位移电流的数值 i d 等于导
线中的传导电流 ic ，而且位移电流与传导电流有相同的 磁效应，即以相同的方式激发磁场。
（6.2.6）
13 23 33
11 12 例如：地磁场作用下的电离层，其介电常数为张量： 21 22 31 32 D E
恒定磁场作用下的铁氧体材料，其磁导率为张量：
B H
11 21 31
S
（6.1.4）
以及反映媒质特性的组成关系：
D 0 E P B M H 0 J E
或：B 0 H M
（6.1.5）
此外，还有表示电荷守恒的电流连续性方程：
d s J ds dt v d , J t
l
（6.1.6）
如前所述，式（6.1.3）是静电场方程 E dl 0 在
时变条件下的推广。同时，在第四章中也将式（6.1.2）
推广用于时变场。为了考察式（6.1.4）是否适用于时变 场，我们来研究电容器在充放电过程中电流与磁场的关 系。
如图示，设电容器中的介质是理想的，因而电容器极 板间不可能有传导电流或运流电流。但当开关接通瞬间， 导线中必然有电流向电容器充电并在空间建立磁场。应用 安培环路定律，若选取由闭合路径 所限定的曲面 S1 与 导线相交，则有：
12 22 32
13 23 33
五章节时变电磁场 共106页
由上式可以写出： H x 0 , H z 0
0
H t
y
E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方 向的两个分量。 因为矢量恒等式
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
B 0
全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l H
dl
S
J
D t
dS
l H
dl
S
B t
dS
S B dS 0
S D dS V dV
第五章 时 变 电 磁 场
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
0
H t
y
E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方 向的两个分量。 因为矢量恒等式
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
B 0
全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l H
dl
S
J
D t
dS
l H
dl
S
B t
dS
S B dS 0
S D dS V dV
第五章 时 变 电 磁 场
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
第六章 时变电磁场
D
DiD 则 称为 t 位 移 电t流S 密D 度d S DS t Dtd S S(D 6 -8d )S(6-7)
位移位电移流电密流度由，空等间于变该动点的电电位场移所矢形量成，对而时且间空D的间变任化一率。点的
这种真空中的位移电流，同样显示出磁效应。
6
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例6-1 空间某点的电位移矢量依照的规律变化。求该点的位移
如图6-2所示之两导体，其间
具有电容，现将其联结于带有开 关的直流电源。在开关闭合之瞬 间，电源将向两导体电容系统充
电，导体所带的电量q系由电源以 传导电流的形式供给。
图6-2 电源以传导电流
5
本次您浏览到是第五页，共四十五页。
如果围绕导体1作一闭合高斯曲 面S，则有
qsDdS
(6-6)
由电流的定义则有 q
沿导体表面无运流电流，亦无位移电流沿导体表面流动
，得 。
w。w此e w处m
，其方向总具有抵消磁通变化的趋势。
例如当线圈回路的正向磁通增长时
，
感生电动势
13
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这表明线圈回路所感生的电动势，其真实方向与线圈回路 电动势的正方向相反。
图6-6 磁通与电动
势的正方向
图6-7 感生电动势的实
际方向 14
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麦克斯韦第二方程 静电场是位场，位场中电场力作功
方程之一，它是解决时变电磁场问题的一个基本依据。
12
本次您浏览到是第十二页，共四十五页。
§6-3 电磁感应定律
电磁感应定律 法拉第与楞茨经过大量实验，测得导体
回路内所感生的电动势，等于回路交链磁通的变化率的负值
第七章时变电磁场PPT课件
第7页/共65页
2. 麦克斯韦方程
静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。那 么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为如下4 个方程：
积分形式
微分形式
l
H dl
S
(J
D t
)
dS
l
E
dl
S
B t
dS
S B dS 0
S D dS q
H J D t
E B t
B 0
第11页/共65页
爱因斯坦（1879–1955）对于麦克斯韦方程的评述：“ 这个方程的提出是 牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所 包含的意义比我们指出的要丰富得多。”
“在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出 来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与 彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联 系。”
例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分 量为
y
Ey
Ey0
sin
π a
x cos(
t
kz z)
b a
z
Hx
H x0
sin
π a
x cos(
t
kzz)
Hz
Hz0
cos
π a
x sin (
t
kzz)
x
其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及 电流分布。波导内部为真空。
在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
第9页/共65页
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。 为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电 荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程，即
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5、麦克斯韦第四方程表明：由闭合体积在任意时间发出的总电 通等于该体积所包围的电荷
4.3.2 时变电磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为边界条件
1.
电场强度
E的切向分量，满足的边界条件。
2. 电通密度 D的法向分量，满足的边界条件。
3. 磁场强度 H的切向分量，满足的边界条件。
一般情况下，空间可能同时麦存克在斯真韦实断电言流：和电位容移器电中流必，
则安培环路定律为
须有电流存在，而由于这个
Ñ cH rgdlrSJrD trgdSr 电它（流d称is不为p能位laHrc移由e电传mJr流导en产tDtr生，他将
积分形式
current）微。分形式
例：海水的电导率为4S/m，相对介电常数81，求频
4. 磁通密度 B的法向分量，满足的边界条件。
时变电磁场场量的边界条件，与静态场相应场量的边界条件 完全相同
标量形式
E 1t E 2t
D 1n D 2n s
H 1t H 2t J s
B 1n B 2n
J 1n
J 2n
s t
J 1t J 2t 1 2
率为1MHz时，位移电流与传导电流的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
r
E ra rxEmcost
位移电流密度 J rd D t a rx0rEmsint
Jd m 0rE m 4 .5 1 0 3E m
传导电流密度 JcmEm4Em
位移电流与传导电流的比值 Jdm 1.125103 Jcm
5.1 引言 5.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程 5.3 时变电磁场的边界条件 5.4 坡印廷定理—时变电磁场的能量 5.5 时谐电磁场 6.1 6.2 6.3 电磁波的色散与群速 6.4 均匀平面电磁波对平面边界的垂直入射
4.1 引言
知识点： 麦克斯韦方程（积分形式、微分形式、相量形式），
用散度描述时变场：
1、法拉第电磁感应定律 推广
r
电场强度E 的旋度
1、高斯定律
电位移矢量D的散度
2、安培环路定律
修正 磁场强度 Hr的旋度
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度B 的散度
时变电磁场基本方程 ——第一条主线（旋度）
Ñ 蜒 Ñ 蜒 一负、号当应拉设则法c E E 表电 第 总穿 空rr 拉g g 示d 流 电 电过 间d 第ll rr 感，磁 场导 还电 应这感体 存磁S(电表应的 在感EE rr i 流明定磁静应n E reg Er产gd 回律通止E iE 定nrrdl r i)lr生n路。发电律g d 的中生荷SrE r磁d感变产BE tcrr dddc 场tt应化生g d 微总S了时的l r Br分是 g电，静d形S阻动回电rE式E r碍势路场rin 磁。中积g Ed r 场B这会cl 分trr 的就产形gd 变是生式Srd 化法感d B rt0gdSr
例：自由空间中的磁场强度为
H H 0sitn ( z)a y
求：1）位移电流密度 2）电场强度
法拉第定律：
EB
安培定律的修正形式：
r H
Jrt Dr
t
r 1、位移电流密度仅仅是电通密度D 随时间变化的速率
r D 2、由于 t 担当磁场的源，时变电场产生时变的磁场
3、由法拉第定律，时变磁场建立时变电场
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度B 的散度
一、高斯定律
通过一个封闭面净穿出的电通量等于该曲面所包围的总电荷。
积分形式 微分形式
sD ds Qvvd v
r
gDv
表明：时变电场是有散场，与静电场中的形式完全一致，
r 唯一的区别在于此时的电通密度 D 和体电荷密度 v 都
是时变场量
二、磁通连续性定理（磁场的高斯定律）
磁力线永远是闭合的，所以穿过一个封闭面的磁通量等于 离开这封闭面的磁通量，即：
Ñ SB rdsr0 B0
积分形式 微分形式
表明，时变磁场是一个无散场。与静磁场中的形式完全一致，
r 唯一的区别在于此时的磁通密度 B 是时变场量
麦克斯韦方程 — 小结
麦克斯韦方程的物理意义
1、麦克斯韦第一方程表明：时变的磁场不仅由传导电流产生， 而且也由位移电流产生
电动磁势通是的非变保化守：电场沿闭合路径的 积分或，由回磁路场中随出时现间感的应变电化动引势起，表
Ñ Ñ 明ce导E ri或ng 体d 由lr内回 出Er 路现ind d 运g感td动lS r应B r引电g d 起场S rdd tS B trgdS r
二、安培环路定律的修正
Ñ Ñ 关传位定SS于导移向恒S合11J和Jr电电电运r定路cggSd流流流动磁d径沿2SrSr构无：：场的一成关带 具中闭所S2的。电 有的J合有drc ddH 闭q粒 磁t安 g路电d合子效 培Sr径流d 曲在应环 的的l Ñs面电，H 路磁代 D r，场可g定场数dI S应的以r律强和 J 用作产度，qs 电用生的J 即 J流r下磁线：d d 连S的场积s 续定，D分tDrtr原向 但g等d积 微理运 与位S于r分 分，动 带移穿形 形有电。电过式 式粒流此子密闭的度
2、麦克斯韦第二方程表明：时变磁场产生时变电场
3、两方程提示：时变磁场产生时变的电场，而时变电场反过 来又产生时变的磁场；亦即电场传输能量至磁场，它反过来又 回到电场，能量连续地从一个场传输至另一个场，于是迈克斯 韦预言电磁能量可在任意媒质中传播
4、麦克斯韦第三方程证实：磁通永远是连续的，由任意闭合 面在任意时间发出的净磁通量为零
及其应用。
时变电磁场的边界条件（一般形式、相量形式） 坡印亭定理（物理意义、一般形式、相量形式定 理应用）
电磁场在无界媒质中的传播（ 均匀平面波的传 播特性）
平面边界上的垂直入射均匀平面波特性 理解：
感应电场，位移电流，趋肤效应
4.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论：
用旋度描述时场：
4、时变电场和时变磁场是互相依存的
麦克斯韦预言电场和磁场的能量相互转换，在空间以波的形式传播
2、时变磁场的基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论： 用旋度描述时变场：
1、法拉第电磁感应定律
r 推广 电场强度 E 的旋度
用散度描述时变场： 1、高斯定律
电感应强度 D的散度
2、安培环路定律
修正
r 磁场强度 H 的旋度
4.3.2 时变电磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为边界条件
1.
电场强度
E的切向分量，满足的边界条件。
2. 电通密度 D的法向分量，满足的边界条件。
3. 磁场强度 H的切向分量，满足的边界条件。
一般情况下，空间可能同时麦存克在斯真韦实断电言流：和电位容移器电中流必，
则安培环路定律为
须有电流存在，而由于这个
Ñ cH rgdlrSJrD trgdSr 电它（流d称is不为p能位laHrc移由e电传mJr流导en产tDtr生，他将
积分形式
current）微。分形式
例：海水的电导率为4S/m，相对介电常数81，求频
4. 磁通密度 B的法向分量，满足的边界条件。
时变电磁场场量的边界条件，与静态场相应场量的边界条件 完全相同
标量形式
E 1t E 2t
D 1n D 2n s
H 1t H 2t J s
B 1n B 2n
J 1n
J 2n
s t
J 1t J 2t 1 2
率为1MHz时，位移电流与传导电流的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
r
E ra rxEmcost
位移电流密度 J rd D t a rx0rEmsint
Jd m 0rE m 4 .5 1 0 3E m
传导电流密度 JcmEm4Em
位移电流与传导电流的比值 Jdm 1.125103 Jcm
5.1 引言 5.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程 5.3 时变电磁场的边界条件 5.4 坡印廷定理—时变电磁场的能量 5.5 时谐电磁场 6.1 6.2 6.3 电磁波的色散与群速 6.4 均匀平面电磁波对平面边界的垂直入射
4.1 引言
知识点： 麦克斯韦方程（积分形式、微分形式、相量形式），
用散度描述时变场：
1、法拉第电磁感应定律 推广
r
电场强度E 的旋度
1、高斯定律
电位移矢量D的散度
2、安培环路定律
修正 磁场强度 Hr的旋度
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度B 的散度
时变电磁场基本方程 ——第一条主线（旋度）
Ñ 蜒 Ñ 蜒 一负、号当应拉设则法c E E 表电 第 总穿 空rr 拉g g 示d 流 电 电过 间d 第ll rr 感，磁 场导 还电 应这感体 存磁S(电表应的 在感EE rr i 流明定磁静应n E reg Er产gd 回律通止E iE 定nrrdl r i)lr生n路。发电律g d 的中生荷SrE r磁d感变产BE tcrr dddc 场tt应化生g d 微总S了时的l r Br分是 g电，静d形S阻动回电rE式E r碍势路场rin 磁。中积g Ed r 场B这会cl 分trr 的就产形gd 变是生式Srd 化法感d B rt0gdSr
例：自由空间中的磁场强度为
H H 0sitn ( z)a y
求：1）位移电流密度 2）电场强度
法拉第定律：
EB
安培定律的修正形式：
r H
Jrt Dr
t
r 1、位移电流密度仅仅是电通密度D 随时间变化的速率
r D 2、由于 t 担当磁场的源，时变电场产生时变的磁场
3、由法拉第定律，时变磁场建立时变电场
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度B 的散度
一、高斯定律
通过一个封闭面净穿出的电通量等于该曲面所包围的总电荷。
积分形式 微分形式
sD ds Qvvd v
r
gDv
表明：时变电场是有散场，与静电场中的形式完全一致，
r 唯一的区别在于此时的电通密度 D 和体电荷密度 v 都
是时变场量
二、磁通连续性定理（磁场的高斯定律）
磁力线永远是闭合的，所以穿过一个封闭面的磁通量等于 离开这封闭面的磁通量，即：
Ñ SB rdsr0 B0
积分形式 微分形式
表明，时变磁场是一个无散场。与静磁场中的形式完全一致，
r 唯一的区别在于此时的磁通密度 B 是时变场量
麦克斯韦方程 — 小结
麦克斯韦方程的物理意义
1、麦克斯韦第一方程表明：时变的磁场不仅由传导电流产生， 而且也由位移电流产生
电动磁势通是的非变保化守：电场沿闭合路径的 积分或，由回磁路场中随出时现间感的应变电化动引势起，表
Ñ Ñ 明ce导E ri或ng 体d 由lr内回 出Er 路现ind d 运g感td动lS r应B r引电g d 起场S rdd tS B trgdS r
二、安培环路定律的修正
Ñ Ñ 关传位定SS于导移向恒S合11J和Jr电电电运r定路cggSd流流流动磁d径沿2SrSr构无：：场的一成关带 具中闭所S2的。电 有的J合有drc ddH 闭q粒 磁t安 g路电d合子效 培Sr径流d 曲在应环 的的l Ñs面电，H 路磁代 D r，场可g定场数dI S应的以r律强和 J 用作产度，qs 电用生的J 即 J流r下磁线：d d 连S的场积s 续定，D分tDrtr原向 但g等d积 微理运 与位S于r分 分，动 带移穿形 形有电。电过式 式粒流此子密闭的度
2、麦克斯韦第二方程表明：时变磁场产生时变电场
3、两方程提示：时变磁场产生时变的电场，而时变电场反过 来又产生时变的磁场；亦即电场传输能量至磁场，它反过来又 回到电场，能量连续地从一个场传输至另一个场，于是迈克斯 韦预言电磁能量可在任意媒质中传播
4、麦克斯韦第三方程证实：磁通永远是连续的，由任意闭合 面在任意时间发出的净磁通量为零
及其应用。
时变电磁场的边界条件（一般形式、相量形式） 坡印亭定理（物理意义、一般形式、相量形式定 理应用）
电磁场在无界媒质中的传播（ 均匀平面波的传 播特性）
平面边界上的垂直入射均匀平面波特性 理解：
感应电场，位移电流，趋肤效应
4.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论：
用旋度描述时场：
4、时变电场和时变磁场是互相依存的
麦克斯韦预言电场和磁场的能量相互转换，在空间以波的形式传播
2、时变磁场的基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论： 用旋度描述时变场：
1、法拉第电磁感应定律
r 推广 电场强度 E 的旋度
用散度描述时变场： 1、高斯定律
电感应强度 D的散度
2、安培环路定律
修正
r 磁场强度 H 的旋度