模拟物理-13 随机系统模拟-随机行走

• 另一种推广是，允许粒子在三维空间中行 走
– 仍然能够得到扩散。
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• 我们可以通过随机行走模型推导出扩散方 程。
扩散与熵
• 现在我们从非平衡统计力学的角度再来看 看咖啡杯中的奶油问题。 • 我们用它来说明一个系统如何趋于平衡。
• 我们的初始条件仍然是在一杯黑咖啡的中 心放一滴奶油。 • 为了简单，我们考虑一个二维的杯子。 • 初始时刻，点分布在中点附近。
• 第一、虽然原则上可解，但是实际上不可能完 成这个解。方程太多，计算量太大了。
• 第二、即使我们有足够强大的计算机，这个计 算的结果将是所有粒子的坐标和速度，它们是 时间的函数。虽然细节都在其中，但是它并不 能给我们关于这个过程的真正的理解。
– 理解是指，我们可以把这里学到的东西应用到其它 相似的情况。 – 例如，我们的计算表明这杯咖啡的混合用时20秒， 那么我们可以预言在两倍大的杯子里需要多久实现 混合吗？
• 一个典型的随机问题是扩散。这是一个常见的、 重要的过程。 • 这里我们考虑比较简单的例子。 • 例如，一滴墨水滴到清水中，逐渐混合均匀。 • 或者咖啡杯里的一滴奶油。
– 开始你有一杯黑咖啡， – 在杯子中心轻轻的放一滴奶油， – 白色的奶油会慢慢传播，充满整个杯子，最终变成 均匀的褐色。
• 从微观尺度上来看，这个过程应当这样描 述：
• 在物理过程中，例如溶液中分子的运动， 两步之间的时间近似为常数。所以步数粗 略地正比于时间。 • 我们将把随机行走过程中粒子的位置看作 时间的函数。
别
• 关于随机行走粒子统计性质的最基本结果 是，粒子在行走n步以后的平均位移。
• 因为粒子向左和向右的概率相同，这个平 均值一定为0。 • 把它记为 xn 。尖括号表示对不同粒子做平 均，在模拟中是用一组独立的粒子（walker） 做计算。 • 在前面的程序中使用m=500个粒子，逐个进 行随机行走。
• 现在我们的目标是建立关于奶油与咖啡混合方 式的一种有用的理论上的描述。
• 原则上说，我们可以通过写出所有粒子的运动 方程来做这件事，甚至写下组成奶油和咖啡的 所有分子的运动方程。 • 这样做将给出大量的描述粒子或分子运动的微 分方程（牛顿运动方程或者哈密顿方程等）。 • 原则上，可以解出它们。这些方程的解应当可 以告诉我们任何需要知道的事情。 • 然而这样做有两个缺点。
• 在模拟中我们假设每个粒子都做随机行走。 • 随机行走在二维晶格上进行。
• 每一步只能沿着随机选定的晶格的边走一 个晶格长度。 • 格点上允许多个粒子存在。
• 在每一个时间步，我们随机的选择一个粒 子，让它做随机行走的一步。
• 像预期的一样，奶油随着时间以扩散的方式传 播。 • 接下来我们讨论它和热力学第二定律的关系， 以及和系统趋于平衡的方式之间的关系。 • 一个有用的做法是，考虑系统的熵。 • 熵是无序的量度。 • 一个完全有序的系统，它的熵是零。而一个无 序的系统具有大的熵。 • 统计力学告诉我们封闭系统熵要么增大要么保 持不变。
– 每次粒子按照给定的规则走一步。 – 这一步对应两次碰撞之间的匀速直线运动。
– 碰撞改变速度的方向，在模型中对应为，每一 步的方向是随机的。 – 这个问题中巨大的粒子数目导致这个模型是可 行的。 – 后面将讨论一下近似的程度。
随机行走
• 随机行走有几种不同类型的模拟。
• 最简单的情况是，粒子可以在一条线上行 走，以单位长度为步长。 • 从x=0开始，随机地选择向左或向右，概率 各1/2。
• 一个彻底的计算给出的信息太多了，我们 不关心每个粒子的轨道细节
• 我们真正想要的是粒子行为的统计描述， 是粒子群体到达了什么位置。或者我们想 要的说是一个理论，而不是大量细节。 • 要回答这种问题，知道轨道的平均性质已 经足够了。
• 因为我们寻找粒子行为的平均性质，我们 将用随机模型代替确定过程。一个粒子的 轨道可以用随机行走来模拟：
n
• 因为每一步都是独立的，当 i j 时 si s j 以相等 的概率等于 1 。 • 于是 x s n
2 n n i 1 2 i
• 以上是最简单的随机行走模型。 • 为了真实，有多种推广这个模型的方法 • 一种推广是，允许步长是随机的。
– 仍然能够得到扩散， – 但是扩散常数会发生变化。
– 这滴奶油由大量的“奶油粒子”组成。 – 如果我们有办法看到并追踪每一个粒子穿过咖 啡的运动，我们应当看到它经历了一个复杂的 轨道。 – 粗略地说，它在短时间上按照牛顿第一定律沿 着一条直线运动，直到和其它粒子发生碰撞。 – 每次碰撞应当引起这个奶油粒子速度的急剧变 化，然后它应当按照这个新速度运动，直到下 一次碰撞。
• 本节我们考虑一类系统，随机性在其中具有关 键性作用。 • 我们可以把这类系统叫作随机系统。 • 随机性可以从多个途径产生，例如：
– 无法观察大量粒子的位置和速度，得到系统运动的 完整信息。
– 系统与一个热源接触，热源可以用概率或者统计力 学很好的描述，但是难以作力学描述。
• 即使系统本质的规律是确定性的，不完整的知 识迫使我们求助于统计的、随机的描述。
• 这里的时间t就是步数， • 因子D叫做扩散常数。
• 与自由粒子比较：
• 自由粒子以恒定速度运动，不与其它粒子 的碰撞。 • 它的位移x=vt，线性地随着时间增长。 • 随机行走粒子与原点的方均根距离满足
x 2 ~ t 1/ 2
• 它们逃离原点的过程比自由粒子慢很多。
• 由公式 散。 • 回到咖啡的问题。
x 2 ~ t 1/ 2 描述的这类运动叫做扩
– 这个结果告诉我们许多信息，可以预测杯子尺 寸改变时混合发生得多快。 – 混合大致完成的情况是 x 与杯子直径相当。
2
– 如果我们把杯子直径加倍，我们可以看到需要 用4倍时间达到混合。
• 另一个有趣的问题是扩散常数D的值
– 2*D的值是右图中的斜率。 – 可以看到它接近1 – 这个值可以解析得出。
这里求和是对于所有可能的状态进行的。 Pi是发现系统处于状态i的概率。 为了应用这个定义，我们先定义状态。 我们设想系统被分成正方形网格，比如8*8 一个粒子处于每一个区域是一个状态。
• 首先考虑系统只包含一个粒子。 • 编号为i的状态对应着这个粒子处于网格区 域i • Pi是任意时刻发现粒子处于这个区域的概率。
随机系统的模拟
一、随机行走
参考书：《计算物理》（第2版）N.J. Giordano, H. Nakanishi, 清华大学出版社，影印版
主要内容
• 模拟随机行走 • 扩散的模拟 • 扩散中熵的计算
• 前面我们看到的运动都是确定性的。
• 比如抛体运动，初始时刻速度的大小和方 向给定，那么以后的运动是完全确定的、 可以预言。 • 相似地，在求解电势问题中给定电荷分布 和边界条件，电势的解是唯一的、确定的。 • 前两节讲到的随机数的应用，是把积分转 化成求平均，不涉及物理规律。
• 把n步后的位置 xn写成n个独立步的和 n
xn si
i 1
si 1 • 其中si是第i步的位移， n n n • 相应的 x 2 s s
n
i 1
i
j 1
j

sis j i 1 j 1
• 我们的模拟中有许多粒子。我们可以使用 它们计算Pi。
– 用m个粒子做模拟，处于格子i的粒子数mi与m 的比值正比于一个粒子处于格子i的概率。 mi Pi m
随机选择一个粒子，让它随机走一步
计算每个格子中的粒子数，从而得出Pi
mi Pi m
计算熵
S Pi ln Pi
i
• 这个行为符合熵的性质。 • 初始时刻系统具有高的有序度，熵比较低。 • 随后熵增加。
• 经过长的时候以后，系统的熵达到一个常 数。
修改下面的程序：让粒子每一步走的距离是[-1,1]之间均匀分布的 随机数
• 我们的这个模型可以很好地说明这些想法。
• 初始条件下，所有奶油粒子在杯子的一个 小区域中，系统是高度有序的，有较小的 熵。 • 随后，粒子传播，填满整个杯子，它们的 组织变得更加无序。 • 我们可以通过计算熵来描述这个变换。
• 回忆一下熵的定义
• • • • •
i
S Pi ln Pi
0.6 0.5 0.4 0.3
500 5000
<x>
0.2 0.1 0.0 -0.1 0 20 40 60 80 100
step
2 x • 更有趣和有用的量是 n ，即移动n步以后
位移平方的平均值。 • 在程序中它是x2ave
• 这个量与时间的关系可以很好得用直线描 述 2
xn 2 Dt