the 1 质点在有心力场中运动的一般规律第十章有心力guide download
角动量守恒与行星运动
即其运动规律满足：
d 2r dt 2
f
(r)eˆr
E
1 v2
2
U (r)
L r v
其中： eˆr r / r
质点在有心力场中的运动
• 有心力
所谓有心力，就是方向始终指向（或者背向）固定中心 的力
F f (r )eˆr
该固定中心称为力心。在许多情况下，有心力的大小 仅与考察点至力心的距离有关，即
eˆr方向
d 2r m dt2
r
d
dt
2
f (r)
eˆ 方向
m2
dr dt
d
dt
r
d 2
dt 2
0
(2) 两个守恒量
有心力对原点力矩为零，角动量守恒 对上式两边×r后再对时间积分得到：
m 2r
dr dt
d
dt
r2
d 2
dt 2
0
d dt
mr 2
d
dt
0
mr2 d L(const)
T
r0
b2 a
F
mC2 r0
1 r2
m(4 2a2b2
T 2b2 / a
)
1 r2
4
2
m
a3 T2
1 r2
K a3 / T 2 为与行星无关的太阳系普世常数
mM F G
r2
G
4 2
M
K
4
M
a3 T2
太阳系系统为什么是稳定的?
牛顿提出万有引力理论的时候，有人就问：既然宇宙间( 太阳系)只有引力，为什么这些物体不最终塌缩到一起，还能 处于相对分散的状态？
则有： i
i
L LC LCM
质点的运动规律
质点运动的基本参数
总结词
描述质点运动的参数主要包括位置、速度和加速度。
详细描述
位置是质点在某一时刻所在的空间坐标；速度是质点在单位时间内通过的距离， 表示质点的运动快慢和方向；加速度是速度变化的快慢程度，描述质点速度的变 化趋势。这些参数共同决定了质点的运动状态。
质点运动的基本方程
总结词
牛顿第二定律是质点运动的基本方程，描述了力与加速度之间的关系。
质点的运动规律
• 质点运动的基本概念 • 质点的直线运动 • 质点的曲线运动 • 质点运动的相对性 • 质点运动的实例分析
01
质点运动的基本概念
Hale Waihona Puke 质点的定义总结词质点是一个理想化的物理模型，用于描述具有质量的点在空间中的运动轨迹。
详细描述
质点被视为一个仅具有质量、没有大小和形状的点。在研究物体运动时，忽略 其形状和大小，只考虑其质量，这样的点即为质点。质点是物理学中一个非常 重要的理想化模型，用于简化复杂系统的运动分析。
运动规律
遵循开普勒三定律和牛顿万有引力定律， 描述卫星轨道和速度的变化。
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某固定轴的旋转运动。
运动参数
角速度、角加速度、转动惯量等。
运动规律
遵循转动定律和角动量守恒定律，描述刚体的角速度和角动量的变 化。
THANKS
感谢观看
实例
汽车在平直的公路上刹车行驶。
03
质点的曲线运动
圆周运动
01
02
03
定义
质点在平面内沿着一个固 定的圆周路径运动，其轨 迹是一个闭合的曲线。
描述参数
通常使用角速度、角加速 度、线速度和线加速度等 参数来描述圆周运动。
第一章 质点的运动规律
d 2 x d 2 y d 2z i 2 j 2k 2 dt dt dt
d2y ay 2 dt dt dv y
1 2 1 2 1 2 x0 v0 x t a x t i y0 v0 y t a y t j z0 v0 z t a z t k 2 2 2
12 得：r ro vot at 2
1. r 是矢量。 2. r r ， r r2 r1
s r
r1 (t )
r r2 (t t )
7
2º 速度:
〈1〉 速度的定义：
z
r 平均速度 v t Δr dr 瞬时速度 v lim Δt 0 Δt dt （速度）
x
dr s P1
r (t ) r ( t t )
O y
r
P2
——平均速度的大小≠平均速率 s r v v t t
v
dr
ds v dt dt
——瞬时速度的大小＝瞬时速率
9Байду номын сангаас
〈5〉直角坐标系中，速度表达式 dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
19
定性分析：
v0
∵相同时间内S船＞S绳
l
h
v0 ∴v＞v0 且 v cos
定量分析：
O s x
s l h ds v船 dt dl v0 dt
物理高中第十章总结知识点
物理高中第十章总结知识点第十章《高中物理第一册》主要讲解了质点运动学和牛顿运动定律。
在本章中，我们学习了质点的运动规律、质点的匀变速直线运动、牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律等内容。
通过这些知识点的学习，我们可以更好地理解物体的运动规律和力的作用，为以后的学习打下坚实的基础。
下面将对本章的知识点进行总结。
一、质点的运动规律质点是物理学中研究的基本对象之一，它可以看作是一个几乎没有大小但有质量的物体，可以用一个点来代表。
对于质点的运动，我们需要研究位置、速度和加速度三个物理量。
1. 位置质点的位置是描述其所在位置的物理量，通常用坐标系表示。
在直角坐标系中，我们可以用x、y、z来表示位置，而在运动学中一般用x表示。
位置矢量r可以通过坐标系来表示，它的大小就是质点到坐标原点的距离，方向由原点指向质点，通常用箭头表示。
2. 速度质点的速度是描述其运动快慢和方向的物理量，通常用v来表示。
平均速度和瞬时速度是两种不同的速度概念。
平均速度是指在某一时间段内质点的位移与时间的比值，可以用Δx/Δt来表示；而瞬时速度是指质点在某一瞬时的速度，可以通过速度矢量v来表示。
3. 加速度质点的加速度是描述其速度变化快慢和方向的物理量，通常用a来表示。
平均加速度和瞬时加速度也是两种不同的加速度概念。
平均加速度是指某一时间段内速度变化量与时间的比值，可以用Δv/Δt来表示；而瞬时加速度是指质点在某一瞬时的加速度，可以通过加速度矢量a来表示。
二、质点的匀变速直线运动匀变速直线运动是指质点在直线上做匀速运动或者做变速运动的情况。
对于匀变速直线运动，我们需要研究其位移、速度和加速度的关系。
1. 位移位移是指质点从初始位置到末位置所经的路径长度和方向的物理量，通常用Δx来表示。
在匀变速直线运动中，位移可以通过速度和时间的关系来表示，即Δx=vΔt。
2. 速度速度是指质点在单位时间内所运行的路程，可以用v来表示。
在匀变速直线运动中，速度可以通过加速度和时间的关系来表示，即v=v0+at。
质点运动的基本规律
质点运动的基本规律质点运动是物理学研究的重要课题之一，它描述了质点在空间中随时间变化的位置、速度和加速度等相关属性。
质点运动的基本规律包括匀速直线运动、匀变速直线运动以及曲线运动等，下面将对这些规律进行详细探讨。
一、匀速直线运动匀速直线运动是指质点在直线上以恒定的速度运动。
在匀速直线运动中，质点的位移与时间呈线性关系，即位移随时间的变化率保持不变。
根据位移与时间的线性关系可以得到匀速直线运动的位移公式：$s = v \cdot t$，其中$s$表示位移，$v$表示速度，$t$表示时间。
在匀速直线运动中，速度和加速度均保持不变，速度的大小等于位移与时间的比值，即$v = \frac{s}{t}$，加速度为零，即$a = 0$。
质点在匀速直线运动中所经过的路径是直线，速度的方向与路径的方向一致。
二、匀变速直线运动匀变速直线运动是指质点在直线上以变化的速度运动。
在匀变速直线运动中，质点的速度随时间的变化呈线性关系，即速度随时间的变化率保持不变。
根据速度随时间的线性关系可以得到匀变速直线运动的速度公式：$v = u + a \cdot t$，其中$u$表示初始速度，$a$表示加速度，$t$表示时间。
在匀变速直线运动中，加速度保持不变，加速度的大小等于速度随时间变化率的绝对值，即$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$，质点的位移与时间的关系则可通过速度的时间积分得到：$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$。
三、曲线运动曲线运动是指质点在空间中沿着曲线轨迹运动。
在曲线运动中，质点的速度和加速度的方向可能随时间变化，因此其运动状态比直线运动复杂。
对于质点的曲线运动，我们可以利用瞬时速度和瞬时加速度来描述其运动规律。
瞬时速度定义为质点在某一时刻的瞬时位移与时间间隔的比值，瞬时加速度定义为质点在某一时刻的瞬时速度的变化率。
曲线运动中的速度和加速度可以分解为沿曲线路径的切线方向和垂直于切线方向的法线方向两个分量。
有心力场中的运动
引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
第十讲 质点的有心运动和两体问题
第四章 质点的有心运动和两体问题第十讲 有心力和质点的有心运动教学时间：1学时教学目的要求：1、使学生掌握有心力，质点有心运动的概念及基本特征。
2、使学生熟练掌握质点有心运动的基本方程和比耐公式并能利用这两套方程求解实际问 题。
重点：质点有心运动的基本方程和比耐公式及其应用。
难点：比耐公式的推导。
教学方法：数学推导结合典型实例分析。
讲授要点及内容：（一） 有心力和质点的有心运动一、基本概念1、有心力：若质点在运动过程中所受力的作用线始终通过某一定点，则该质点所受的力称 为有心力，定点称为力心。
2、质点的有心运动：质点在有心力作用下的运动。
二、有心力及质点有心运动的特征1、有心力的特征1）有心力的量值一般为矢径r （质点到力心的距离）的函数，其方向与r r 共线，指向力心为引力（负值），背离力心为斥力（正值）。
在极坐标系下，有心力表示为 ( ) 0 F F r r = uu r u r （力心为极点）2）有心力对力心的力矩为零（r r 与F u r 共线）3）有心力是保守力证明：在极坐标系下，质点在有心力作用下沿曲线L 从 A B ® ，有心力所做功为 ( ) ( ) ( ) 00 BB B A A Aw F d r F r r d rr F r dr =×=×= òòò uu r uu r u r r ——与路径无关，故有心力为保守力。
2、质点有心力运动的特征根据质点有心力的特征，可得出质点有心运动的特征1）质点作有心运动是对力心的动量矩守恒，质点必作平面曲线运动。
在柱坐标系下， 质点对力心的动量矩 ( )0002 J r mv m rr r r r mr k q q q ××× æö =´=´+= ç÷ èø uu r uu r uu r u r r r r 为恒矢量 J u r 的量值： 2 J mr q × ==常数， 2 r q × ——速度矩，也为常数。
力学基础质点运动规律
力学基础质点运动规律质点运动规律是力学基础的重要内容之一。
它描述了质点在不同力的作用下所呈现的规律性运动。
本文将介绍质点运动规律的基本概念、牛顿三定律以及质点在各种力下的运动规律。
一、基本概念质点是物理学中一个理论上的假设，假设物体可以被简化为不具有大小和形状的点。
质点运动规律则是研究质点在各种力作用下的运动状态和轨迹的学科。
二、牛顿三定律牛顿三定律是力学的基本定律，描述了质点在外力作用下的运动规律。
1. 第一定律（惯性定律）：质点在没有外力作用时将保持静止或匀速直线运动。
质点的运动状态只有在受到外力的作用时才会发生改变。
2. 第二定律（运动定律）：质点的加速度与作用在其上的合力成正比，与质点的质量成反比。
即F=ma，其中F为作用在质点上的合力，m为质点的质量，a为质点的加速度。
3. 第三定律（作用与反作用定律）：对于任意两个相互作用的物体，彼此施加的力大小相等、方向相反，且作用在彼此的物体上。
三、质点在不同力下的运动规律在实际问题中，质点并不总是受到单一的力作用，可能同时受到多个力的作用。
下面将介绍质点在不同力下的运动规律：1. 自由落体：当质点只受到重力作用时，其运动规律符合自由落体运动。
自由落体运动的规律是质点的竖直位移与时间的平方成正比，即s=h0+1/2gt^2，其中s为质点的位移，h0为初始高度，g为重力加速度，t为时间。
2. 斜抛运动：当质点同时受到重力和一个斜向的初速度时，其运动规律符合斜抛运动。
斜抛运动的规律是质点的水平位移与时间成正比，竖直位移与时间的平方成正比。
横向位移x=v0xt，竖直位移y=v0yt-1/2gt^2，其中v0x为初始水平速度，v0y为初始竖直速度。
3. 弹性碰撞：当质点在碰撞中受到弹力作用时，其运动规律符合弹性碰撞运动。
弹性碰撞运动的规律是质点的动量守恒和动能守恒。
即质点在碰撞前后的总动量和总动能保持不变。
四、总结质点运动规律是力学研究的基础之一，通过牛顿三定律可以描述质点在外力作用下的运动规律。
质点在有心力场中的运动
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v3m s1)
第三宇宙 速度
必须满足12 m
v3 2
2 1
m
v2 2
2 1
mv3 2
v3 v22 v32 v22 (v3 v)2
16.7103(m s1)
第三宇宙 速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
2. 轨迹方程
A2
远日点
r
o
A1
近日点
1 1 (1 cos)
圆锥 曲线
rp
1 圆或椭圆 1 双曲线 1 抛物线
式中 p是个决定图形尺寸的常数，半正焦
弦， 是偏心率
3. 宇宙速度
第一宇宙速度（环绕速度）
以卫星和地球为研究
对象，忽略大气阻力，系
统机械能守恒。取无穷远
2 1
mv3 2
G
r Msm
物体相对太阳的速度
v3
2GMs 42.2103(m s1) r
宇宙速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8103 m / s
物体相对于地球的发射速度 v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球
引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能
宇宙速度
第二宇宙速度（逃逸速度）
物体在地面发射时系统的机械能为：
有心力
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2 质点在有心力场中的运动性质 (2)2.1 有心力的意义 (2)2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)3.1 牛顿定律法 (4)3.2 比耐公式 (5)3.3 守恒定律法 (5)3.4 分析力学法 (5)4 应用举例 (7)结束语 (11)参考文献 (12)内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。
关键词：有心力运动性质求解方法Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.Key words：Central force The nature of sports Solution1 引言质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。
有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。
对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。
质点在有心力场中的运动
学特 征 为动 量矩 守 恒 为 计算 方便
,
机 械 能守 恒
所 以有 心 力对 力 心 的力矩
以
后.Βιβλιοθήκη =尸又户=
0
,
[s]
:
了一
由 力矩 与 动量 矩 的关 系
:
_ -
m 司 ( ( r l 司 r
: “
;
1
掠 面 速度或 面 积
U
由 上式 知
、
夕=
h 为速 度矩 (
二 一
f
盯_
滋 . 伙
t d
-
勒 定律 对椭 圆 进行 面 积分 和周 期 积 分导 出 牛顿 万 有 引 力定律
一
、
,
户
=
( h 为常 数 ) (
,
5
)
或 任意位 置 它 的动 能 与势 能 之和 是 一 个 恒 定不 变 的 常 数 质点 的 动能 和 势能 之和 叫做 质点 的机 械 能
用 符号 E 来表 示
, ,
通 过实 例加 以说 明
布 句 昨
_
、
,
司_
-
。 U
[1] 求
u
( 和
7
) ) 和 (刀 由 (3
因 此运 动 质 点 在 有心 力 场 中 动 量矩 为一 恒 量
即: J
=
一一
t d
又
-
速度 ) 【 ] 所 以通 过 上 述 对 质点 在 有 心 力 场 中 运 Z 动形 式
,
代替 r
。
夕的 微分 方 程
、
运 动 规律 分 析可 知 质点 在 有心 力场 中的 运
。
在 进
中心力场质点运动规律
E
1 vc v1 1 h / R
E
a
3 2
h 3 T R (1 ) 2 R E
3 2
2
10.4 轨道根数
定义：确定卫星的空间位置所需要的参数。
确定轨道平面的位置 升交点赤经Ω 、轨道倾角i 确定轨道形状 半长轴 a、 偏心率e 确定轨道在轨道面内的位置 近地点角距ω 确定卫星在轨道上的位置 真近点角θ
10.2 中心力场中质点运动规律
rV H 常数 r 2
质点在中心力场中运动时，动 量矩是守恒的。
eθ
V rθ
V
er
r
o
地球 θ
P
Vr r
飞行轨道
1 2 E V E 常数 2 r
质点在中心力场中运动时，
图10.9 中心力场中质点P的速度
能量是守恒的。
3、轨道公式
目标轨道
原轨道
Va 2
Va
控制前
a
Va1
控制后
图10.16 轨道面控制
如空间站发射到其轨道上，过一段时间需要给空间站乘员送 食品等补给品和空间站需要的燃料等其他补给品，同时需要把空 间站里试验过的东西等带回地面。一般用飞船或航天飞机执行此 任务，为此空间站和飞船或航天飞机交会对接才行。
两个空间飞行器，在空间某一点上会合 叫做交会； 两个空间飞行器连接成一体 叫做对接。 为了对接需要先交会。
rp a(1 e)
ra a(1 e)
b
rp
开普勒三定律 开普勒第一定律： 所有行星都以太阳为焦点的椭圆轨道上运行。
开普勒第二定律： 单位时间内矢量r扫过的面积为常数。
在dt时间内，矢量r扫过的面积为：
2015-10-9中心力场
k m F 2 r
2
开普勒第一定律
2 2 2 2 2
hu F h 1 2 2d u h u 2 u 2 m p p r d
h m F 2 p r
平方反比引力
2
iii.开普勒第三定律
2 2A r h
2 A h t t0 2 ab h
2) 开普勒定律
开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于 椭圆的一个焦点上。(1609)
开普勒第二定律：行星和太阳之间的联线(矢径)，在 相等的时间内所扫过的面积相等。(1609)
开普勒第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴 的立方成正比。(1619) 牛顿的万有引力定律(1687)：
GMm k m F 2 2 r r
1 r u
r
1 k A cos 2 h
2
轨道方程
2) 行星运动的分类I－圆锥曲线的几何判据
圆锥曲线正焦弦的一半
p r 1 e cos
偏心率
原点：力心：焦点
h2 p 2 k h2 e Ap A 2 k
r
1 k A cos 2 h
2
i. 椭圆
c e 1 a
由于 r 和 v始终在垂直于 J 的曲面内，所以质点
做平面曲线运动。
从角动量的大小为常数可得出位矢的掠面速度为 常数。
dA r dt 2
2
2 r re mr eJ J r mv mr r
constant 为行星对太阳的动量矩为常数，故 mr 行星所受力对太阳的力矩为零；又行星受力不为零， 因此必受有心力，太阳是力心。
功和能_第9讲_有心力场中质点的运动简介2
v0 r0
E<0
椭圆
E>0 双曲线
E=0 抛物线
E = E1 > 0 ，双曲轨道
rmin = r1 ≤ r < ∞
E = E2 = 0 ，抛物轨道
rmin = r2 ≤ r < ∞
E = E3 < 0 ，椭圆轨道
r3min ≤ r ≤ r3max
近地点、远地点
E = E0 = Veff min ，圆轨道
§4.9 有心力场中质点的运动简介2**
一. 有效势和轨道特征
1 2
m r& 2
+
L2 2mr
2
+V (r)
=
E
径向动能： 1 mr&2 离心势能：等效斥力势能
2
有效势能：
Veff
(r)
=
L2 2mr 2
+V (r)
在径向 r 方向，质点相当于在保守场 Veff (r ) 中运动，径向动能和有效势能相互转化。
对万有引力场：
1 2
mr&
2
+
L2 2mr
2
− GMm r
=E
近、远地点： r& = 0
r 2 + GMm r − L2 = 0 E 2mE
rr vr
E < 0 时 2 根，椭圆轨道 — 束缚态。
E = 0 时 1 根，抛物轨道，刚好逃逸， 动能全部转化为势能。
E > 0 时 1 根，双曲轨道，不受约束。
r = r0
【思考】由势能曲线求椭圆轨道周期
二. 变轨 改变初始条件 rr0 , vr0 可改变轨道特征。 【例】宇宙飞船变轨：圆 → 椭圆轨道
质点运动知识点
质点运动知识点质点运动是物理学中的基本概念之一，描述了质点在空间中的位置、速度和加速度等运动状态。
本文将介绍质点运动的基本概念、运动的描述方法以及常见的运动类型。
一、质点运动的基本概念质点是物理学中对物体简化处理的概念，将物体的大小、形状等因素忽略，将物体看做一个点，仅考虑其质量和位置。
质点运动描述了质点在空间中的位置随时间的变化情况。
二、运动的描述方法为了方便描述质点的运动，引入了坐标系的概念。
通常情况下，选择一个固定的参考点作为原点，选择适当的方向作为坐标轴，可以用数学的方式描述质点的位置。
质点的位置通常用三个坐标数值表示，分别是x、y、z轴上的位置。
速度是描述质点运动状态的物理量，表示质点单位时间内位移的大小和方向。
常用的速度描述方法有瞬时速度和平均速度两种。
瞬时速度表示质点在某一时刻的速度，可以通过求导数的方式得到。
平均速度表示质点在某一时间段内的速度，可以通过位移的比值求得。
加速度是描述质点运动状态变化的物理量，表示质点单位时间内速度改变的大小和方向。
常用的加速度描述方法有瞬时加速度和平均加速度两种。
瞬时加速度表示质点在某一时刻的加速度，可以通过求导数的方式得到。
平均加速度表示质点在某一时间段内的加速度，可以通过速度变化的比值求得。
三、常见的运动类型1. 直线运动：质点在一条直线上运动，可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
匀速直线运动指质点在单位时间内位移相等，速度不变的运动。
变速直线运动指质点在单位时间内位移不等，速度发生变化的运动。
2. 曲线运动：质点在曲线轨迹上运动，可以分为弯曲运动和螺旋运动两种情况。
弯曲运动指质点运动轨迹呈弯曲形状，速度方向和大小均不变化。
螺旋运动指质点同时具有沿直线移动和绕轴旋转的运动形式，速度方向和大小均发生变化。
3. 往复运动：质点在有限区间内往复移动的运动形式，可以分为简谐运动和非简谐运动两种情况。
简谐运动指质点在往复运动中，加速度与位移之间满足简谐关系的运动。
有心力的基本性质
& (r θ ) = 0
2
动量矩守恒
4. 有心力是保守力
证明
2
v ∇× F = 0
机械能守恒 1 m(r 2 + r 2θ 2 ) + V (r ) = E & & 二、轨道微分方程（比耐公式）
& m(&& − rθ ) = F (r ) r 2& r θ = h
由方程
d 2u − mhu 2 ( 2 + u ) = F 可证明： dθ
d 2u 1 2 1 = [ 2 − ] 2 dθ 2a cos θ cosθ
三、平方反比引力－－－行星的运动
1.
用比耐公式求行星的轨道方程 已知
F (r ) ⇒ u → r
k 2 = GM
太阳（M）与行星(m)间的万有引力：
GMm k 2m F = − 2 = − 2 = −mk 2u 2 r r
解：
r=
h2 k 2 1 + 1 + 2 h 2 E k 4 m ⋅ cos(θ − θ 0 )
两种方法结果比较
2E h 2 e = 1+ ( 2) m k
e的物理于意义
e <1 e =1 e >1
E<0 E =0 E >0
椭圆 抛物线 双曲线
说明：轨道的形状由总能量E决定，而E守恒，所以
1 2 k 2m E = E0 = mv0 − 2 r0
分量形式
直角坐标：
x m&& = F (r ) x r m&& = F (r ) y y r
极坐标：
& m(&& − rθ ) = F (r ) r & && m(rθ& + 2rθ ) = Fθ = 0
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（A）
因而可得
t=∫
r (t )
dr 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
r ( t =0 )
原则 上从这个积分可求出 r = r (t ) . 再将 求 得 的 r 代入角动量守恒式, 可得积分 Ldt θ = ∫ 2 +C （B） mr 式中 C 为积分常数, 原则上通过积分可求得 θ 与 t 的关系: θ = θ (t ) .
(1) 由于 r 和 v 始 终在 垂 直 于角动量 LO 的平
面内, 所以质点必做平面曲线运动; (2) 从角动量 大 小 为 常 数可 得出 位矢 的 掠面 速度为常量. 用极坐标表示得 =h r 2θ h 是两倍的掠面速度.
通 常 有 重 要 意义 的有心力的大 小 都是质点 到 力心距离的函数, 故力可写成 r F = F (r ) r
第十章
有心力
万有引力, 两荷电质点间的库仑引力或斥力, 都是有心力 . 两种力与两质点间距离的关系是平 方反比关系, 是非线性的， 给求解问题带来困难. 单体问题——二体问题； 三体问题是 19 世纪 经典力学中两大难题之一 , 最终证明它的解不可 能表达为解析形式 . 实际问题大多要用计算机数 值计算解决. 在数值计算研究中, 20 世纪 80 年代 发现了圆型限制性三体问题中也有混沌现象. 经典力学理论虽很古老, 但在现代宇航中仍然 创造着令人惊叹的辉煌成就.
§10.1 质点在有心力场中运动的一般规律
一、单体问题 最 简 单最 基本 的问题是单体问题 , 即 研究一 个 质点的 运动 , 它 所受 的 作 用力的 作 用线 始 终都 通过惯 性系中一 固定 点 , 即 力心是 固定 的 . 这 种 力 ( 力 场 ) 称 为有心力 ( 有心力 场 ). 行星绕太阳运 动时受到 的万有引力 , 电 子绕原子核转动时受到 的库仑引力, 都可近似看做有心力. ——模型 二、质点在有心力场中运动具有的守恒律、 动力
r= p 1 + e cos θ
其中 p 为半正焦弦, e 为偏心率, 极轴沿椭圆长轴 方 向 . 为了 应 用方 便 , 把 一 些 常 用的关系式也 随 之列出, a, b, c 分别为半长轴、 半短轴、 半焦距.
e = c a
a2 − b2 = c2
b = a 1− e2
b2 p = a 1− e = a
2 并引入变量 u = 1 r 代替 r , 消去时间（ h = r θ ）
= h = hu 2 θ r2
= r dr dr d 1 2 1 du 2 du θ = hu = − h = hu = − 2 dt dθ dθ u dθ dθ u
2 d du d du d du 2 2 2 d u r = − h = − h θ = − h hu = −h u dt dθ dθ dθ dθ dθ dθ 2
容易证明此力的旋度为零, 即
∇× F = 0
又由于力场是稳定的, 所以， 这样的有心力是保 守 力 , 因此 , 质点在 运动过 程 中 还 有 第 二 个守恒 律: 机械能守恒, 它的极坐标表示式为
1 2 + V (r ) = E (常数） 2 + r 2θ mr 2
(
)
既已 证明在有心力 场 中质点 做 的是平 面曲 线 运动 , 则 可 按 两 个 自 由 度处 理 , 由 两 个守恒律得 出 的两 个 一 阶微分 方 程 作 为解决单体问题的 动 力 学方 程 是 足够 的 . 根据 力 场具 有 球对 称 性 , 我们 采用极坐标是最适宜的. 我们 也可 从 牛顿 运动定律出 发 建立 动 力学 基 本方程: 2 ) = − ∂V m( r − rθ ∂r
引入有效势能(简称有效势) Veff , 令
Veff L2 = V (r ) + 2mr 2
于是机械能守恒方程成为
1 2 + Veff (r ) = E mr 2
我们看到 , 引 入 有 效势 能的 好处 是 把 原 来二 维 问题 化 为一 维 问题 , 即 化 为质点在一 维势 场 中 运动 , 这 是一种 重 要的 处 理 问题的方 法 . 在不 同 问题中, 有效势能的表达式是不同的. 从上t 并代入(B)式得轨道方程
dr = dt 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
（A）
θ =∫
L dr 2 r 2m[E − V (r )] − L r2
2
+C
从(A)式可知, 当
2 L2 [E − V (r )] − 2 2 = 0 m m r 时, r 将取极值. 若上式有两个根, 通常一个是极
+ 2r ) = 0 θ m ( rθ 或 d =0 mr 2θ dt
通过它们可导出上述两个守恒律. 三、有效势 利用角动量守恒消去 θ 变量, 即利用
= mh = L mr θ
2
或
= L θ mr 2
机械能守恒方程可改写为
1 2 L2 + V (r ) + mr =E 2 2 2mr
2
(
)
试利用比尼公式求出行星所受的力. 解 将轨道方程用 u 来表达, 则为
u=
2 2
1 + e cos θ p
− e cos θ 1 + e cos θ F = − mh u + p p
mh 2 2 =− p u
即
mh 2 1 F (r ) = − p r2
进一步研究将导致万有引力定律的发现.
代入并以 F ( r ) 代替 −
∂V ∂r , 即得轨道微分方程
2 d 1 u ( ) − mh 2 u 2 + u = F dθ 2 u
这个方程又称为比尼(比耐)公式. 式中 F (1 u ) 是有 心力在径向的投影, 斥力取正值, 引力取负值. 引 入变 量 u = 1 r , 进 行 变 量 变 换 , 是一种 巧 妙 的方 法 , 它不 仅 导 出 了 轨道微分 方 程 , 而 且 有 利 于 微分 方 程 的求解 . 我们看到通过这 种 变 换 , 对于与距离 2 次、 3 次平方成反比的有心力, 它的 轨道微分方程都将变为线性的. 例题 1 已知一行星在有心力场中运行的轨道 为圆锥曲线
小值 rmin 另一个是极大值 rmax , 轨道一般将不闭合. 质点从 rmax → rmin → rmax 矢径转过的角度为 L dr 2 rmax r ∆θ = 2 ∫ rmin L2 2m[E − V (r )] − 2 r 只有当经 n 次这样的循环后, 矢径转过的角度 n∆θ 等 于 2π 的整 数 (m ) 倍时 , 即 ∆θ = 2π (m n) , 而 (m n ) 为 有 理 数 时 , 轨道才 是 闭合曲 线 . 经研究证明 当 有 心力大 小 与距离平方 成 反比或与距离一 次 方 成 正 比(即各向同性谐振子情况)时, 轨道是闭合曲线, 问题是可 积 的 . 一 般 情况 , 轨道将 不 闭合 , 经 无 限长时间后, 轨道将填满两个同心圆之间的区域.
学方程 本节 研究质点在有心力 场 中 运动具 有的一 般 规律, 不涉及力的具体形式. 首先我们关心运动中存在哪些守恒律. 假设 质点 仅受 有心力的 作 用 , 若取 力心为 参 考点, 则在运动中所受力矩恒为零 r×F =0 因此有角动量守恒 r × mv = c (常矢) 从这一守恒律又可得出:
四、轨道微分方程 为避开求积分的困难, 先解决运动轨道问题. 从运动微分方程开始, 通过变量变换, 消去 t , 建 立轨道微分 方 程 ( 这 是一种 重 要数学方 法 ), 即 建 立力和轨道之间的直接联系:
力 ⇔ 轨道
我们从如下两方程出发
2 ) = − ∂V m( r − rθ ∂r + 2r ) = 0或 d mr 2θ =0 θ m ( rθ dt